九年级数学北师大版上册教案13 正方形的性质与判定2课时.docx
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九年级数学北师大版上册教案13正方形的性质与判定2课时
1.3正方形的性质与判定
第1课时
【教学目标】
了解正方形的有关概念,理解并掌握正方形的性质定理.
【教学重难点】
重点:
探索正方形的性质定理.
难点:
掌握正方形的性质的应用方法,把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容.
【教学过程】
一、探究导入
【显示投影片】
显示内容:
展示生活中有关正方形的图片,幻灯片(多幅).
【活动方略】
教师活动:
操作投影仪,边展示图片,边提出下面的问题:
1.同学们观察显示的图片后,有什么联想?
正方形四条边有什么关系?
四个角呢?
正方形是矩形吗?
是菱形吗?
为什么?
正方形具有哪些性质呢?
学生活动:
观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片.进行联想.易知:
1.正方形四条边都相等(小学已学过);正方形四个角都是直角(小学学过).
实验活动:
教师拿出矩形按左图折叠.然后展开,
让学生发现:
只要矩形一组邻边相等,这样的矩形就是正方形;同样,教师拿出活动菱形框架,运动中让学生
发现:
只要菱形有一个内角为90°,这样的特殊菱形也是正方形.
教师活动:
组织学生联想正方形还具有哪些性质,板书画出一个正方形,如下图:
学生活动:
观察、联想到它是矩形,所以具有矩形的所有性质;它又是菱形,所以它又具有菱形的一切性质,归纳如下:
正方形定义:
有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形性质:
(1)边的性质:
对边平行,四条边都相等.
(2)角的性质:
四个角都是直角.
(3)对角线的性质:
两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.
(4)对称性:
是轴对称图形,有四条对称轴.
【设计意图】采用合作交流、发现、归纳的方式来解决重点问题,突破难点.
二、探究新知
【课堂演练】(投影显示)
演练题1:
如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于0,MN//AB,且分别与OA、OB相交于M、N.
求证:
(1)BM=CN;
(2)BM⊥CN.
分析:
本题是证明BM=CN,根据正方形性质,可以证明BM、CN所在ΔBOM与ΔCON是否全等.
(2)在
(1)的基础上完成,欲证BM⊥CN.只需证∠5+∠CMG=90°就可以了.
【活动方略】
教师活动:
操作投影仪.组织学生演练,巡视,关注“学困生”;等待大部分学生练习做完之后,再请两位学
生上台演示,交流.
学生活动:
课堂演练,相互讨论,解决演练题的问题.
证明:
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠COB=∠BOM=90°,OC=OB.
∵MN//AB,∴∠1=∠2,∠ABO=∠3,
又∵∠1=∠ABO=45°,∴∠2=∠3,
∴OM=ON,
∴ΔCON≌ΔBOM,∴BM=CN.
(2)由
(1)知ΔBOM≌ΔCON,
∴∠4=∠5,∵∠4+∠BMO=90°,∴∠5+∠BMC=90°,∴∠CGM=90°,∴BM⊥CN.
演练题2:
如图,正方形ABCD中,点E在AD边上,且AE=AD,F为AB的中点,求证:
ΔCEF是直角三角形.
分析:
本题要证∠EFC=90°,从已知条件分析可以得到只要利用勾股定理逆定理,就可以解决问题.这里应用到正方形性质.
【活动方略】
教师活动:
用投影仪显示演练题2,组织学生应用正方形和勾股定理逆定理分析,并请同学上讲台分析思路,板演.
学生活动:
先独立分析,找到证明思路是利用勾股定理的逆定理解决问题.
证明:
设AB=4a,在正方形ABCD中,DC=BC=4a,
AF=FB=2a,AE=a,DE=3a.
∵∠B=∠A=∠D=90°,由勾股定理得:
EF2+CF2=(AE2+AF2)+(CB2+BF2)=(a2+4a2)+(16a2+4a2)=25a2,
CE2=CD2+DE2=(4a)2+(3a)2=25a2,
∴EF2+CF2=CE2.
由勾股定理的逆定理可知ΔCEF是直角三角形.
【设计意图】补充两道关于正方形性质应用的演练题,提高学生的应用能力.
三、范例点击
例:
已知:
如图,四边形ABCD是正方形,矩形PECF的顶点P在正方形ABCD的对角线BD上,E在BC上,F在CD上,连接AC、AP、PC、EF,若EC=4,CF=3,求PA的长.
分析:
本题运用矩形对角线相等的性质可得EF=PC,运用正方形的性质可得AP=PC,进而可得AP=EF.因此,只要求出EF的值即可.
解:
∵四边形PECF是矩形,∴PC=EF.在RtΔEFC中,
EC=4,CF=3,∴EF='
∴PC=5.∵四边形ABCD是正方形,∴BD⊥AC且BD平分AC,即BD是AC的垂直平分线.∵点P在BD上,∴PA=PC=5.
【方法归纳】与矩形对角线有关的计算问题,主要运用矩形的对角线相等和正方形的对角线的性质,借助第三条线段作“媒介”求线段的长.
四、巩固练习
教材P21随堂练习
五、课堂小结
本节课应掌握:
正方形的概念:
有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形的性质
正方形的四个角都是直角,四条边相等.
正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形既是轴对称图形,也是中心对称图形.
六、布置作业
教材P22习题1.7第1、2、3题
第2课时
【教学目标】
1.知道正方形的判定方法,会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.
2.经历探究正方形判定条件的过程,发展学生初步的综合推理能力,主动探究的学习习惯,逐步掌握说理的基本方法.
3.理解特殊的平行四边形之间的内在联系,培养学生辩证看问题的观点.
【教学重难点】
重点:
掌握正方形的判定条件.
难点:
合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.
【教学过程】
―、创设情境,引入新课
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形,那么思考一下,它们之间有怎样的包含关系?
请填入下图中.
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形,还是特殊的平行四边形;而正方形、矩形、菱形都是平行四边形;矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
1.怎样判断一个四边形是平行四边形?
2.怎样判断一个四边形是矩形?
3.怎样判断一个四边形是菱形?
4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形?
议一议:
你有什么方法判定一个四边形是正方形?
二、探究新知
1.探索正方形的判定条件:
学生活动:
四人一组进行讨论研究,老师巡回其间,进行引导、质疑、解惑,通过分析与讨论,师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法.
(1)直接用正方形的定义判定,即先判定一个四边形是平行四边形,若这个平行四边形有一个角是直角,并且有一组邻边相等,那么就可以判定这个平行四边形是正方形;
(2)先判定一个四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形,那么这个四边形是正方形;
(3)先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形,那么这个四边形是正方形.
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理.矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础.这三个方法还可写成:
有一个角是直角,且有一组邻边相等的四边形是正方形;有一组邻边相等的矩形是正方形;有一个角是直角的菱形是正方形.
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法,可当作判定定理用,但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异,所给出的条件各不相同,所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化,在应用时要仔细辨别后才可以作出判断.
2.正方形判定条件的应用
例1:
判断下列命题是真命题还是假命题?
并说明理由.
(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形;
⑵四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形;
(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形;
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形;
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
师生共析:
是真命题,因为四条边相等的四边形是菱形,又四个角相等,根据四边形内角和定理知每个角为90°,所以由有一个角是直角的菱形是正方形可以判定此命题是真命题.
⑵真命题,由四个角相等可知每个角都是直角,是矩形,由对角线互相垂直可判定这个矩形是菱形,所以根据是既是矩形又是菱形的四边形是正方形,可判定其为真.
(3)假命题,对角线平分的四边形是平行四边形,
对角线垂直的四边形是菱形,所以它不一定是正方形.如下图①,满足AO=CO,BO=DO且AC⊥BD但四边形ABCD不是正方形.
(4)假命题,它可能是任意四边形.如上图②,AC⊥BD且AC=BD,但四边形ABCD不是正方形.
(5)真命题.
方法一:
对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线相等的平行四边形是矩形,对角线垂直的平行四边形是菱形,所以是矩形又是菱形的四边形是正方形.可判定其为真.
方法三:
由对角线互相垂直平分可知是菱形,由对角线平分且相等可知是矩形,而既是菱形又是矩形的四边形就是正方形.
总结:
通过辨析,掌握判定正方形的各种方法和思路,从题中所给各种不同条件出发,寻找命题成立的判定依据,以便灵活应用.
例2:
如图,E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,且∠AFE=45°,试说明EF=BE+DF.
师生共析:
要证EF=BE+DF,如果能将DF移到EB延长线或将BE移到FD延长线上,然后就能证明两线段长度相等。
此时可依靠全等三角形来解决.
像这种在EB上补上DF或在FD上补上BE的方法叫做补短法.
解:
将ΔADF旋转到ΔABC,则ΔADF≌ ΔABG
∴AF=AG,∠ADF=∠ABG,DF=BG,
∵∠EAF=45°且四边形是正方形,
∴∠ADF+∠BAE=45°,
∴∠GAB+∠BAE=45°,
即∠GAE=45°,
∴ΔAEF≌ΔAEG(SAS),∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.
讨论:
你能从一张彩色纸中剪出一个正方形吗?
说出你的做法.
你怎么检验它是一个正方形呢?
小组讨论一下.
三、范例点击
例3:
如图,在□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E是BD延长线上的点,且ΔACE是等边三角形.
求证:
四边形ABCD是菱形;
若∠AED=2∠EAD,求证:
四边形ABCD是正方形.
分析:
⑴由已知可得BE垂直平分AC,进而可得AB=BC,再用菱形定义可判定.
(2)由菱形性质可得∠DAC=∠BAC,由已知得∠AED=30°,∠EAO=60°,∠DAE=15°,∠DAO=45°,从而得出∠BAD=90°,问题得解.
证明:
(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=OC.
又∵ΔACE是等边三角形,
∴EO⊥AC,即BD⊥AC,
∴AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形.
∵ΔACE为等边三角形,
∴∠AEO=∠OEC=30〇,∠EAC=60〇.
∵∠AED=2∠EAD,∴∠EAD=15°,
∴∠DAO=45°.又∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DAO=∠BAO=45°,∴∠DAB=90°,∴菱形ABCD为正方形.
四、巩固练习
教材P24随堂练习
通过练习进一步巩固正方形的判定方法的应用.
五、课堂小结
本节课应掌握:
正方形常用的判定方法归纳为(学生讨论归纳后,由教师板书)
对角线相等的菱形是正方形.
对角线垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
六、布置作业
教材P25习题1.8第1、3题.
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