模式识别作业2.docx
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模式识别作业2.docx
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模式识别作业2
作业一:
在一个10类的模式识别问题中,有3类单独满足多类情况1,其余的类别满足多类情况2。
问该模式识别问题所需判别函数的最少数目是多少?
答案:
将10类问题可看作4类满足多类情况1的问题,可将3类单独满足多类情况1的类找出来,剩下的7类全部划到4类中剩下的一个子类中。
再在此子类中,运用多类情况2的判别法则进行分类,此时需要7*(7-1)/2=21个判别函数。
故共需要4+21=25个判别函数。
作业二:
一个三类问题,其判别函数如下:
d1(x)=-x1,d2(x)=x1+x2-1,d3(x)=x1-x2-1
1.设这些函数是在多类情况1条件下确定的,绘出其判别界面和每一个模式类别的区域。
2.设为多类情况2,并使:
d12(x)=d1(x),d13(x)=d2(x),d23(x)=d3(x)。
绘出其判别界面和多类情况2的区域。
3.设d1(x),d2(x)和d3(x)是在多类情况3的条件下确定的,绘出其判别界面和每类的区域。
答案:
1
2
3
作业三:
两类模式,每类包括5个3维不同的模式,且良好分布。
如果它们是线性可分的,问权向量至少需要几个系数分量?
假如要建立二次的多项式判别函数,又至少需要几个系数分量?
(设模式的良好分布不因模式变化而改变。
)
答案:
如果它们是线性可分的,则至少需要4个系数分量;如果要建立二次的多项式判别函数,则至少需要
个系数分量。
作业四:
用感知器算法求下列模式分类的解向量w:
ω1:
{(000)T,(100)T,(101)T,(110)T}
ω2:
{(001)T,(011)T,(010)T,(111)T}
答案:
将属于ω2的训练样本乘以(-1),并写成增广向量的形式。
x①=(0001)T,x②=(1001)T,x③=(1011)T,x④=(1101)T
x⑤=(00-1-1)T,x⑥=(0-1-1-1)T,x⑦=(0-10-1)T,x⑧=(-1-1-1-1)T
第一轮迭代:
取C=1,w
(1)=(0000)T
因wT
(1)x①=(0000)(0001)T=0≯0,故w
(2)=w
(1)+x①=(0001)
因wT
(2)x②=(0001)(1001)T=1>0,故w(3)=w
(2)=(0001)T
因wT(3)x③=(0001)(1011)T=1>0,故w(4)=w(3)=(0001)T
因wT(4)x④=(0001)(1101)T=1>0,故w(5)=w(4)=(0001)T
因wT(5)x⑤=(0001)(00-1-1)T=-1≯0,故w(6)=w(5)+x⑤=(00-10)T
因wT(6)x⑥=(00-10)(0-1-1-1)T=1>0,故w(7)=w(6)=(00-10)T
因wT(7)x⑦=(00-10)(0-10-1)T=0≯0,故w(8)=w(7)+x⑦=(0-1-1-1)T
因wT(8)x⑧=(0-1-1-1)(-1-1-1-1)T=3>0,故w(9)=w(8)=(0-1-1-1)T
因为只有对全部模式都能正确判别的权向量才是正确的解,因此需进行第二轮迭代。
第二轮迭代:
因wT(9)x①=(0-1-1-1)(0001)T=-1≯0,故w(10)=w(9)+x①=(0-1-10)T
因wT(10)x②=(0-1-10)(1001)T=0≯0,故w(11)=w(10)+x②=(1-1-11)T
因wT(11)x③=(1-1-11)(1011)T=1>0,故w(12)=w(11)=(1-1-11)T
因wT(12)x④=(1-1-11)(1101)T=1>0,故w(13)=w(12)=(1-1-11)T
因wT(13)x⑤=(1-1-11)(00-1-1)T=0≯0,故w(14)=w(13)+x⑤=(1-1-20)T
因wT(14)x⑥=(1-1-20)(0-1-1-1)T=3>0,故w(15)=w(14)=(1-1-20)T
因wT(15)x⑧=(1-1-20)(0-10-1)T=1>0,故w(16)=w(15)=(1-1-20)T
因wT(16)x⑦=(1-1-20)(-1-1-1-1)T=2>0,故w(17)=w(16)=(1-1-20)T
因为只有对全部模式都能正确判别的权向量才是正确的解,因此需进行第三轮迭代。
第三轮迭代:
w(25)=(2-2-20);
因为只有对全部模式都能正确判别的权向量才是正确的解,因此需进行第四轮迭代。
第四轮迭代:
w(33)=(2-2-21)
因为只有对全部模式都能正确判别的权向量才是正确的解,因此需进行第五轮迭代。
第五轮迭代:
w(41)=(2-2-21)
因为该轮迭代的权向量对全部模式都能正确判别。
所以权向量即为(2-2-21),相应的判别函数为
作业五:
编写求解上述问题的感知器算法程序。
程序源码:
#include
usingnamespacestd;
intscale;//每个样本的维数,最多支持十维
intW1_N,W2_N;//第一类的个数以及第二类的个数
doubleW1[1000],W2[1000];//第一、二类的所有样本的增广向量
intC;//初始的算法中的C值
doubleW[10];//初始的算法中的W向量
intmain()
{
cin>>scale>>W1_N>>W2_N;
for(inti=0;i { cin>>W1[i]; if(i%(scale+1)==2)//转化成增广向量 W1[++i]=1; } for(inti=0;i { cin>>W2[i]; W2[i]=-1*W2[i]; if(i%(scale+1)==2)//转化成增广向量 W2[++i]=-1; } scale=scale+1; cin>>C; for(inti=0;i cin>>W[i]; boolflag=false; while(! flag) { boolflag1=true; for(inti=0;i { doubletmp=0.0; for(intj=0;j tmp+=W1[i*scale+j]*W[j]; if(tmp<=0) { flag1=false; for(intj=0;j W[j]=W[j]+W1[i*scale+j]; } } for(inti=0;i { doubletmp=0.0; for(intj=0;j tmp+=W2[i*scale+j]*W[j]; if(tmp<=0) { flag1=false; for(intj=0;j W[j]=W[j]+W2[i*scale+j]; } } if(flag1) flag=true; } cout<<”最后的权向量为: ”< cout< for(inti=1;i cout<<""< cout< return0; } 程序运行截图: 作业六: 用多类感知器算法求下列模式的判别函数: ω1: (-1-1)T ω2: (00)T ω3: (11)T 将模式样本写成增广形式: x①=(-1-11)T,x②=(001)T,x③=(111)T 取初始值w1 (1)=w2 (1)=w3 (1)=(000)T,C=1。 第一轮迭代(k=1): 以x①=(-1-11)T作为训练样本。 d1 (1)= x①=(000)(-1-11)T=0 d2 (1)= x①=(000)(-1-11)T=0 d3 (1)= x①=(000)(-1-11)T=0 因d1 (1)≯d2 (1),d1 (1)≯d3 (1),故 w1 (2)=w1 (1)+x①=(-1-11)T w2 (2)=w2 (1)-x①=(11-1)T w3 (2)=w3 (1)-x①=(11-1)T 第二轮迭代(k=2): 以x②=(001)T作为训练样本 d1 (2)= x②=(-1-11)(001)T=1 d2 (2)= x②=(11-1)(001)T=-1 d3 (2)= x②=(11-1)(001)T=-1 因d2 (2)≯d1 (2),d2 (2)≯d3 (2),故 w1(3)=w1 (2)-x②=(-1-10)T w2(3)=w2 (2)+x②=(110)T w3(3)=w3 (2)-x②=(11-2)T 第三轮迭代(k=3): 以x③=(111)T作为训练样本 d1(3)= x③=(-1-10)(111)T=-2 d2(3)= x③=(110)(111)T=2 d3(3)= x③=(11-2)(111)T=0 因d3(3)≯d2(3),故 w1(4)=w1(3)=(-1-10)T w2(4)=w2(3)-x③=(00-1)T w3(4)=w3(3)+x③=(22-1)T 第四轮迭代(k=4): 以x①=(-1-11)T作为训练样本 d1(4)= x①=(-1-10)(-1-11)T=2 d2(4)= x①=(00-1)(-1-11)T=-1 d3(4)= x①=(22-1)(-1-11)T=-5 因d1(4)>d2(4),d1(4)>d3(4),故 w1(5)=w1(4)=(-1-10)T w2(5)=w2(4)=(00-1)T w3(5)=w3(4)=(22-1)T 第五轮迭代(k=5): 以x②=(001)T作为训练样本 d1(5)= x②=(-1-10)(001)T=0 d2(5)= x②=(00-1)(001)T=-1 d3(5)= x②=(22-1)(001)T=-1 因d2(5)≯d1(5),d2(5)≯d3(5),故 w1(6)=w1(5)-x②=(-1-1-1) w2(6)=w2(5)+x②=(000) w3(6)=w3(5)-x②=(22-2) 第六轮迭代(k=6): 以x③=(111)T作为训练样本 d1(6)= x③=(-1-1-1)(111)T=-3 d2(6)= x③=(000)(111)T=0 d3(6)= x③=(22-2)(111)T=2 因d3(6)>d1(6),d3(6)>d2(6),故 w1(7)=w1(6) w2(7)=w2(6) w3(7)=w3(6) 第七轮迭代(k=7): 以x①=(-1-11)T作为训练样本 d1(7)= x①=(-1-1-1)(-1-11)T=1 d2(7)= x①=(000)(-1-11)T=0 d3(7)= x①=(22-2)(-1-11)T=-6 因d1(7)>d2(7),d1(7)>d3(7),分类结果正确,故权向量不变。 由于第五、六、七次迭代中x①、x②、x③均已正确分类,所以权向量的解为: w1=(-1-1-1)T w2=(000)T w3=(22-2)T 三个判别函数: d1(x)=-x1-x2-1 d2(x)=0 d3(x)=2x1+2x2-2 作业七: 采用梯度法和准则函数 式中实数b>0,试导出两类模式的分类算法。 答案: J对w的微分式: 定义: 则由梯度法中w(k+1)和w(k)的关系有: 其中xk是训练模式样本,k是指第k次迭代。 可以看出,当 时,则w(k+1)=w(k),此时不对权向量进行修正;当 时,则w(k+1)=w(k)+C ,需对权向量进行校正,初始权向量w (1)的值可任选。 作业八: 用二次埃尔米特多项式的势函数算法求解以下模式的分类问题 ω1: {(01)T,(0-1)T} ω2: {(10)T,(-10)T} 答案: (1) 按第一类势函数定义,得到势函数 其中 , (2)通过训练样本逐步计算累积位势K(x) 给定训练样本: ω1类为x①=(01)T,x②=(0-1)T ω2类为x③=(10)T,x④=(-10)T 累积位势K(x)的迭代算法如下 第一步: 取x①=(01)T∈ω1,故 第二步: 取x②=(0-1)T∈ω1,故K1(x②)=5 因K1(x②)>0且x②∈ω1,故K2(x)=K1(x) 第三步: 取x③=(10)T∈ω2,故K2(x③)=9 因K2(x③)>0且x③∈ω2,故 第四步: 取x④=(-10)T∈ω2,故K3(x④)=4 因K3(x④)>0且x④∈ω2, 将全部训练样本重复迭代一次,得 第五步: 取x⑤=x①=(01)T∈ω1,K4(x⑤)=27>0 故K5(x)=K4(x) 第六步: 取x⑥=x②=(0-1)T∈ω1,K5(x⑥)=-13<0 故 第七步: 取x⑦=x③=(10)T∈ω2,K6(x⑦)=-32<0 故K7(x)=K6(x) 第八步: 取x⑧=x④=(-10)T∈ω2,K7(x⑧)=-32<0 故K8(x)=K7(x) 第九步: 取x⑨=x①=(01)T∈ω1,K8(x⑨)=32>0 故K9(x)=K8(x) 第十步: 取x⑩=x②=(0-1)T∈ω1,K9(x⑩)=32>0 故K10(x)=K9(x) 其中第七步到第十步的迭代过程中对全部训练样本都能正确分类,因此算法收敛于判别函数 •作业九: 用下列势函数 求解以下模式的分类问题 ω1: {(01)T,(0-1)T} ω2: {(10)T,(-10)T} 答案: 取α=1,在二维情况下势函数为 这里: ω1类为x①=(01)T,x②=(0-1)T ω2类为x③=(10)T,x④=(-10)T 可以看出,这两类模式是线性不可分的。 算法步骤如下: 第一步: 取x①=(01)T∈ω1,则 第二步: 取x②=(0-1)T∈ω1 因K1(x②)=e-(4+0)=e-4>0,故K2(x)=K1(x) 第三步: 取x③=(10)T∈ω2 因K2(x③)=e-(1+1)=e-2>0,故 第四步: 取x④=(-10)T∈ω2 因K3(x④)=e-(1+1)-e-(4+0)=e-2-e-4>0,故 第五步: 取x⑤=(01)T∈ω1 因K4(x⑤)=1-e-(1+1)-e-(1+1)=1-e-2-e-2>0,故K5(x)=K4(x) 第六步: 取x⑥=(0-1)T∈ω1 因K5(x⑥)=e-(0+4)-e-(1+1)-e-(1+1)=e-4-e-2-e-2<0,故 第七步: 取x⑦=(10)T∈ω2 因K6(x⑦)=e-(1+1)+e-(1+1)–1-e-(4+0)=e-2+e-2-1-e-4<0 故 第八步: 取x⑧=(-10)T∈ω2 因K7(x⑧)=e-(1+1)+e-(1+1)-e-(4+0)-1=e-2+e-2-e-4-1<0 故 第九步: 取x⑨=(01)T∈ω1 因K8(x⑨)=e-(0+4)+1-e-(1+1)-e-(1+1)=e-4+1-e-2-e-2>0 故 第十步: 取x⑩=(0-1)T∈ω1 因K8(x⑨)=1+e-(0+4)-e-(1+1)-e-(1+1)=1+e-4-e-2-e-2>0 故 最后,从第七步到第十步的迭代过程中,全部模式都已正确分类,故算法已经收敛于判别函数:
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