高考复习机械波点点清专题4 机械波的周期性和多解问题.docx
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高考复习机械波点点清专题4机械波的周期性和多解问题
机械波点点清专题4波传播的周期性和多解性问题
1.波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性:
时间间隔Δt与周期T的关系不明确.
每经过nT,质点完成n次全振动回到原来的状态,在时间上形成多解,多解通式为t
=nT+Δt.
②空间周期性:
波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确.
在波形图上,相距nλ的质点振动状态完全一致,在空间上形成多解,多解通式为x=nλ+Δx.
(2)双向性
①传播方向双向性:
波的传播方向不确定.
只告诉波速不指明波的传播方向,应考虑沿两个方向传播的可能,即沿x轴正方向或沿x轴负方向传播。
②振动方向双向性:
质点位移、速度方向不确定.
质点达到最大位移处,则有正向和负向最大位移两种可能,质点在某一确定位置,振动速度方向有向上、向下(或向左、向右)两种可能;
(3)波形的不确定:
在波动问题中,往往只给出完整波形的一部分,或给出几个特殊点,波形就有多种情况,形成波动问题的多解性。
2.求解波的多解问题一般思路
(1)根据题设条件结合多解的主要因素判断是唯一解还是多解
(2)根据周期性、双向性、波形的隐含性,采用从特殊到一般的思维方法,即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx,确定时间t和距离x的关系通式。
若此关系为时间,则t
=nT+Δt(n=0,1,2,…);若此关系为距离,则x=nλ+Δx(n=0,1,2,…).
(3)根据波速公式v=Δxλ
或v=Δt
=λf求波速。
T
题型1波形的不确定性形成多解
【典例1】(2013年重庆卷)(多选)一列简谐横波沿直线传播,某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6m,且这两质点之间的波峰只有一个,则该简谐波可能的波长为
()
A.4m、6m和8mB.6m、8m和12m
C.4m、6m和12mD.4m、8m和12m
【解析】根据题意,有以下三种情况符合要求:
λ1
ab=6m,即
2
=6m,λ1=12m.cd=6m,
即λ2=6m.
3
ef=6m,即λ3=6m,2
λ3=4m,故C正确,A、B、D错误.
【答案】C
题型2双向性形成多解
【典例2】(双向性)一列简谐横波在t=0时刻的波形如图中的实线所示,t=0.02s时刻的波形如图中虚线所示。
若该波的周期T大于0.02s,则该波的传播速度可能是()
A.2m/sB.3m/sC.4m/sD.5m/s解析这类问题通常要设出波的传播方向:
(1)设波向右传播,则在0时刻x=4cm处的质点向上振动,t=0.02s时刻该质点运动到
1λ0.08
波峰的位置,由题意知T>0.02s,则t=T,即T=0.08s,v=
4
=
T0.08
m/s=1m/s。
(2)设波向左传播,则在0时刻x=4cm处的质点向下振动,t=0.02s时刻该质点运动到
30.08
λ0.08
波峰的位置,由于T>0.02s,则t=T,即T=
s,v=
=0.08
m/s=3m/s。
43T
3
综上所述,只有B选项正确。
答案B
题型3波传播的周期性形成的多解
【典例3】(多选)](空间周期性)一列简谐横波沿x轴的正向传播,振幅为2cm,周期为T。
已知为t=0时刻波上相距50cm的两质点a、b的位移都是1cm,但运动方向相反,其中质点a沿y轴负向运动,如图所示,下列说法正确的是()
A.该列简谐横波波长可能为150cm
B.该列简谐横波波长可能为12cmC.当质点b的位移为+2cm时,质点a的位移为负
5T
时刻质点b速度最大12
E.质点a、质点b的速度始终大小相等,方向相反
[解析]根据质点的振动方程:
x=Asinωt,设质点的起振方向向上,且a、b中间的距离小于1个波长,则b点:
1=2sinωt,所以ωt=π,a点振动的时间比b点长,所
11
6
5π5ππ2π
以由1=2sinωt2,得ωt2=
,a、b两个质点振动的时间差:
Δt=t2-t1=-=
66ω6ω3ω
TTλ
n+1
。
则通式为
3λ=50cm,n=0,1,2,3,…;
则波长可以为λ=150
3n+1
cm(n=0,1,2,3,…);当n=0时,λ=150cm,由于n是整数,
所以λ不可能为12cm,故A正确,B错误。
当质点b的位移为+2cm时,即b到达波峰时,
结合波形知,质点a在平衡位置下方,位移为负,故C正确。
由ωt=π,得t=π=T
T5T
11,
66ω12
当t=
2
-t1=
时质点b到达平衡位置处,速度最大,故D正确。
由题意及以上分析可知,12
a、b两质点间的距离不可能是半波长的整数倍,则两质点的速度不可能始终大小相等、方向相反,故E错误。
[答案]ACD
λ
点间只有一个波峰和一个波谷,且波峰距Q点的距离为
,试求:
4
(1)若波由P传至Q,波的周期;
(2)若波由Q传至P,波的速度;
解析:
(1)若波由P传到Q,由题结合波形得到,
n+3
t=4T,得T=
4t=2.4
s(n=0,1,2,…)。
4n+34n+3
(2)若波由Q传到P,由题结合波形得到,t=
n+1
4T,
得T=2.4s。
4n+1
又由题意可得波长λ=0.8m,
λ1
则波速v==(4n+1)m/s(n=0,1,2,…)。
T3
(3)从t=0开始,波形每隔半个周期时,P、Q间(P、Q除外)只有一个波峰或波谷,即只有一个质点的位移等于振幅,
T1.2m
=
24n+1
s(m=1,2,3,…;n=0,1,2,…)。
答案:
(1)2.4
4n+3
s(n=0,1,2,…)
1
(2)
3
(4n+1)m/s(n=0,1,2,…)
1.2m
(3)
4n+1
s(m=1,2,3,…;n=0,1,2,…)
图10
A.波的周期的最大值为2s
B.波的周期的最大值为2s
9
C.波的速度的最小值为9m/s
D.这列波不能发生偏振现象
E.这列波遇到直径r=1m的障碍物会发生明显的衍射现象
解析0.2m=
1λ,因波向左传播,则由图象可知波向左传播的距离为
9
n+
10λ(n=0、1、
10
2…),所以0.2s=
9
n+2
10T(n=0、1、2…),n=0时,周期最大,最大值为Tm=
9
λ
s,波
速最小,最小值为vmin=
Tm
=9m/s,所以选项A错误,B、C正确;横波可以发生偏振现象,
选项D错误;因为障碍物的直径r=1m<λ=2m,则这列波遇到此障碍物可以发生明显的
衍射现象,选项E正确。
答案BCE
题型4波传播的双向性和周期性形成的多解
A.v为5m/sB.v为35m/sC.f为50Hz
D.f为37.5Hz
【答案】ABD
【解析】由波形图可以读出:
若波向右传播时波传播的最小距离为0.1m;若波向左传播时,波传播的最小距离为0.3m,λ=0.4m,考虑到波形图的时间、空间周期性知,这列波向右、向左可能传播的距离分别是:
x右=(nλ+0.1)m=(0.4n+0.1)m,(n=0,1,2,…)
x左=(nλ+0.3)m=(0.4n+0.3)m,(n=0,1,2,…)向右、向左传播对应的周期分别为T右、T左,则:
-21
Δt=2×10
s=nT右+
T右(n=0,1,2,…)
4
或Δt=nT左+
3
T左(n=0,1,2,…)4
xx右
由v=得,v右==(20n+5)m/s,
tΔt
左
v=x左=(20n+15)m/s,
Δt
1
由f=
T
得,f右=(50n+12.5)Hz,
f左=(50n+37.5)Hz
令n取不同的值可得A、B、D三项正确.
【典例7】(双向性和时空周期性)一列横波沿x轴传播,图中实线表示某时刻的波形,虚线表示从该时刻起0.005s后的波形.
(2)如果周期小于0.005s,则当波速为6000m/s时,求波的传播方向.
【答案】:
(1)400m/s1200m/s
(2)向左传播
【解析】:
(1)如果周期大于0.005s,波在0.005s内传播的距离小于一个波长.如果波向右
右
传播,从题图上看出传播的距离为2m,由此可得波速为v=Δx=400m/s;
Δt
如果波向左传播,从题图上看出传播的距离为6m,由此可得波速v
=Δx=1200m/s.
左
Δt
(2)由题图知波长λ=8m,波的传播距离为Δx=vΔt=6000m/s×0.005s=30m=3.75λ,所以波向左传播.
A.0.60mB.0.30mC.0.20mD.0.15m
【答案】B
【解析】可以画出PQ之间的最简单的波形,如图所示:
由于P、Q之间可以含有多个完整的波形,则xPQ=(n+1)λ(n=0,1,2,…)
2
整理可以得到:
λ=2xPQ(n=0,1,2,…)
2n+1
当n=0时,λ=0.3m
当n=1时,λ=0.1m,故选项B正确,A、C、D错误.
Q是介质中的质点,则下列说法正确的是()
A.这列波的波速可能为50m/s
B.质点a在这段时间内通过的路程一定小于30cm
C.质点c在这段时间内通过的路程可能为60cm
D.若周期T=0.8s,则在t+0.5s时刻,质点b、P的位移相同
E.若周期T=0.8s,从t+0.4s时刻开始计时,则质点c的振动方程为x=0.1sinπt(m)
【答案】:
ACD
【解析】:
由波形图可知波长λ=40m,且0.6s=nT+3T(n=0,1,2,…),解得周期T=2.4
44n+3
s(n=0,1,2,…).当n=0时,T=0.8s,波速v=λ=50m/s,选项A正确;由传播方向沿x
T
轴正方向可知质点a在t时刻向上运动,当n=0时,T=0.8s,则质点a在这段时间内通过
的路程小于30cm,当n=1时,T=24
70
s,质点a在这段时间内通过的路程大于30cm,选
项B错误;若n=1,则T=24s,波传播到c点所用时间为1T,0.6s=7T,质点c振动的时
7044
间为7T-1T=3T,故在这段时间内质点c通过的路程为6A=60cm,选项C正确;若T=
442
0.8s,t+0.5s时刻,质点b、P的位移均为负值,大小相等,选项D正确;若T=0.8s,在
t+0.4s时刻,c点处于波峰,从t+0.4s时刻开始计时,质点c的振动方程为y=选项E错误.
5πt(m),2
3.(多选)(时空周期性)[]A、B两列简谐横波均沿x轴正向传播,在某时刻的波形分别如图中甲、乙所示,经过时间t(t小于A波的周期TA),这两列简谐横波的波形分别变为图中丙、丁所示,则A、B两列波的波速vA、vB之比可能是()
A.1∶1B.2∶1C.1∶2D.3∶1E.1∶3
解析:
选ACE由题图读出,A波波长为λA=24cm,甲图到丙图一定相隔半个周期,所以周期TA=2t;B波波长为λB=12cm,乙图与丁图的波形图相同,经过的时间一定是整
tλ0.24
0.12
λ0.12
0.12n
数个周期,所以周期T=(n=1,2,3,…),波速v==A
=,v=B==,
BA
nTA2t
B
tTBt
n
得到vA∶vB=1∶n,所以A、B两列波的波速vA、vB之比可能是A、C、E,不可能是B、D。
始计时,P、Q两质点的振动图像如图所示.则()A.质点Q开始振动的方向沿y轴正方向B.该波从P传到Q的时间可能为7sC.该波的传播速度可能为2m/s
D.该波的波长可能为6m
【答案】AD
【解析】读图可知,从0时刻开始,质点Q的起振方向沿y轴正方向,A项正确.由题可知,简谐横波的传播方向从P到Q,由图可知,周期T=6s,质点Q的振动图像向左平移4s后与P点的振动图像重合,意味着Q比P的振动滞后了4s,即P传到Q的时间Δt可能为4s,同时由周期性可知,从P传到Q的时间Δt为(4+nT)s,n=0,1,2,…,即Δt=4s,10s,16s,…,
Δx所以B项错误.由v=
Δt
,速度v可能为2.5m/s,1m/s,0.625m/s,…,C项错误.同
理,考虑周期性,由λ=vT可得,波长可能为15m,6m,3.75m,…,D项正确.
5.(多选)(时空周期性)一列横波在t=0时刻的波形如图中实线所示,在t=1s时的波形如图中虚线所示。
由此可以判定此波的()
A.波长一定是4cm
B.周期一定是4s
C.振幅一定是2cm
D.传播速度一定是1cm/s
解析解波的图象的题目,一般可分为两类:
一类是读图,可以直接从图上读出振幅和波长,此题便可读出波长是4cm,振幅是2cm,故选项A、C正确;另一类是根据图象给定的条件,去计算波速、周期,判定波传播的方向,判定某一质点的运动情况及判定某一时刻的波形图。
1
由题可知nT+t=1s(n=0,1,2,3,…)是不确定解,因此选项B错误;同理传播速度v
4
λ
=也不确定,选项D错误。
T
答案AC
6.(双向性时空周期性)如图14-2-27所示,一简谐横波在t=0时的波形是图中实线,在t1=0.2s时的波形是图中虚线,P为介质中x=4m处的质点,则()
图14-2-27
A.该波一定沿x轴正方向传播
B.该波的传播速度可能为5m/s
C.从t=0开始,质点P经过0.2s沿x轴正方向运动1mD.t=0.4s时,质点P的位置y=4cm
33
解析:
当波向左传播时,传播的距离x=nλ+λ=4n+3,0.2s=nT+T,波速v=
44
(20n+15)m/s,T=0.8
4n+3
(n=0,1,2,3,…).当波向右传播时,传播的距离x=nλ
110.8
+λ=4n+1,0.2s=nT+T,波速v=(20n+5)m/s,T=(n=0,1,2,3,…).
444n+1
由于波传播方向的不确定性,所以据波形图与时间无法判断该波的传播方向,故A错误;据以上分析可知,当波向右传播时,该波的波速可能为5m/s,故B正确;据波传播特点可知,各质点并不随波迁移,而是在平衡位置附近做简谐运动,故C错误;据波的图象可知,t=
0.4s时,质点P的位置y=0,故D错误.答案:
B
7.(波形的不确定)如图甲所示,在均匀介质中P、Q两质点相距d=0.4m,质点P的振动
图像如图乙所示,已知t=0时刻,P、Q两质点都在平衡位置,且P、Q之间只有一个波峰。
求:
(1)波的传播速度;
(2)质点Q下一次出现在波谷的时间。
解析:
(1)由图乙可得该波的周期T=0.2s
若P、Q间没有波谷,P、Q间距离等于半个波长,
λ
即λ=0.8m,波速v=
=4m/s
T
若P、Q间有一个波谷,P、Q间距离等于一个波长,
λ
即λ=0.4m,波速v=
=2m/s
T
3
若P、Q间有两个波谷,则λ=0.4m,即λ=
2
0.8m,3
λ4
波速v==
T3
m/s。
(2)t=0时刻,质点P向下振动,经过0.05s到波谷处,经过0.15s到波峰处
若P、Q间距为一个波长,P、Q同时出现在波谷处,则质点Q下一次出现在波谷的时间是t=0.05s
若P、Q间距为半波长的1倍或3倍,质点Q在波谷时,质点P在波峰,则质点Q下一次出现在波谷的时间是t=0.15s。
答案:
(1)4m/s、2m/s或4
3
m/s
(2)0.05s或0.15s
8.(空间周期性)如图所示,t=0时,位于原点O处的波源,从平衡位置(在x轴上)开始沿y轴正方向做周期T=0.2s、振幅A=4cm的简谐振动。
该波源产生的简谐横波沿x轴正方向传播,当平衡位置坐标为(9m,0)的质点P刚开始振动时,波源
刚好位于波谷。
(3)若该简谐波的波速为v=12m/s,质点Q的平衡位置坐标为(12m,0)(图中未画出)。
请写出以t=1.05s时刻为新的计时起点的质点Q的振动方程。
解析:
(1)由于质点P从平衡位置开始振动,且Δt=1.05s=51
4
内质点P通过的路程s=21A=84cm。
(2)设该简谐波的波速为v,两质点O、P间的距离为Δx
T,故在Δt=1.05s
由题意可得Δx=
n+3
4λ=9m(n=0,1,2,…)
λ180
所以v=
=
T4n+3
m/s(n=0,1,2,…)
当n=0时,该简谐波的波速最大,vm=60m/s。
(3)简谐波从波源传到(12m,0)点所用时间
t=12
s=1s
12
再经t2=t-t1=0.05s点Q的振动方程为
T
即再经
4,质点Q位于波峰位置,则以此时刻为计时起点,质
y=0.04cos10πt(m)。
答案:
(1)84cm
(2)60m/s(3)y=0.04cos10πt(m)
(1)若该列波沿x轴正方向传播,且在Δt时间内传播的距离小于波长,求传播速度;
(2)若该列波沿x轴负方向传播,求传播速度的可能值。
【答案】见解析
【解析】
(1)设该列波的波长为λ,由波的图象可得λ=8m
若该列波沿x轴正方向传播,依题意可知传播距离∆x=3m
所以传播速度v=∆x=3m/s
∆t
(2)若该列波沿x轴负方向传播,传播时间∆t=kT+5T(k=0,1,2...)
8
波的传播速度v=λ
T
由以上两式得v=8k+5
∆t
将∆t=1.0s代入解得:
传播速度的可能值为v=(8k+5)m/s,其中k=0,1,2...
图6
答案见解析
解析
(1)由题图图象可知λ=8m
3
当波向右传播时,波传播距离为s=nλ+λ=(8n+3)m(n=0,1,2…)
8
波速为v=s
8n+3
=
m/s=(16n+6)m/s(n=0,1,2…).
Δt0.5
当波向左传播时,波传播距离为
5
s=nλ+λ=(8n+5)m(n=0,1,2…)8
波速为v=s
8n+5
=
m/s=(16n+10)m/s(n=0,1,2…).
Δt0.5
5
因为37m=4λ+λ,所以波向左传播.
8
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