初中数学中因动点产生的最值问题的研究的结题报告.docx
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初中数学中因动点产生的最值问题的研究的结题报告
篇一:
关于《初中数学作业分层设计的研究》结题报告
关于《初中数学作业分层设计的研究》课题的
结题报告
摘要:
“数学分层作业设计”是指教师在设计作业时,根据不同层次学生的情况,设计出不同的、适合各类学生的作业,从而帮助、促使不同层次的学生都能有效地完成作业,通过不同层次的练习达到良好的学习效果。
分层作业的设计研究,有利于学生的兴趣爱好的发展.关键词:
初中数学;分层;作业;设计
一、课题研究的背景与意义
(一)课题研究的背景
《数学课程标准》(实验稿)明确指出:
“义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性,使数学教育面向全体学生,实现:
——人人学有价值的数学;
——人人都能获得必需的数学;
——不同的人在数学上得到不同的发展。
这是数学新课程标准对数学教育提出的要求。
从农村学校现状分析,学生大多存在着基础知识及基本能力之间差异。
面向全体学生就不能无视这种差异,而应因人定标、因材施教。
发展性教学理论认为“差异是一种资源”,而承认差异,尊重差异,更是我们实行素质的一个重要理念。
在“让每个学生都能得到最优发展”教育观下,我们必须认清应试教育下作业中存在的问题,并提出符合素质教育标准的形式多样的数学作业形式。
素质教育要求下的教师,设计作业不应仅停留在知识的层面,而应蕴含丰富的教育因素,应有利于调动学生的积极性,着眼于全体学生的可持续发展,力争让每个学生在适合自己的作业中都取得成功,获得轻松、愉快、满足的心理体验。
(一)、我校学生学习现状
当前,在我校初中部各个班级,都存在着学生照抄作业现象,尤其是理科作业。
有的班级这种现象还比较严重。
这严重影响了我校教学质量和学生的学习风气。
学生照抄作业,有学生自己的原因,但更多是教师自身原因。
主要是以下情况造成的。
1、教师在布置课堂作业时没有考虑大多数学生的学习感受,作业太难,学生不会做。
2、教师布置作业量过大。
3、学生上课没听懂。
4没有留给学生足够时间。
(二)、对学生数学基础及学习现状的分析
在现实教育中看,数学学科常常存在比较多的“学困生”,据权威调查显示:
在义务教育阶段数学“学困生”所占的比例在农村初中占30%左右,而且这些学生与班级整体水平的差距显得更悬殊,数学“优等生”也只占30%左右。
通过对学生进行问卷调查发现,21.9%的学生认为初中、小学的最大不同就是课堂知识容量增大了,授课方法也与小学不一样了;20.6%的同学认为老师讲课的速度明显快于小学,因而一开始就感到有些吃力,25.6%的同学认为自己采取与小学时的学习方法并不理想,还有15.6%的同学认为小学数学要远比初中简单,没有充足的思想准备。
在适应初中数学学习的时间上,近一半(43.8%)的学生用了半个学期,32.9%的同学只用了一个月,18.7%的同学用了一个学期,还有14.6%的同学则用了一年或一年以上的时间来适应初中数学学习。
(三)、传统作业分析
1.习题形式单调、陈旧。
主要以计算题和应用题为主,不能从多方面检查和训练学生对知识的理解和掌握。
另外,这种习题的条件和结论多是单一的、不变的,即所谓封闭的、规范的习题,缺乏开放性,不利于能力的培养,更谈不上探究能力和创新意识的培养。
2.时间、内容一刀切。
大部分教师在布置的作业时,往往要求学生(优秀生和学困生)在一定的时间内完成同一的内容,期望达到同一的目标,忽视了学生的个性特点。
3.在初中阶段,鉴于当前我国中小学生负担过重主要表现为“书本多、课程多、作业多、考试多、补习多、竞赛多”的情况,国家教育部明确指出要减轻学生的作业负担,绝非不要作业。
(二)“数学分层作业设计”研究的意义
“数学分层作业设计”是指教师在设计、布置作业时,根据不同层次学生的各种情况,如课堂表现、掌握程度、已有水平等,设计出不同的、适合各类学生的作业,从而帮助、促使不同层次的学生都能有效地完成作业,通过不同层次的练习达到良好的学习效果。
《数学课程标准》(修订稿):
义务教育阶段的数学课程要面向全体学生,适应学生个性的发展,使得:
人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展。
课程内容的呈现应该注意层次化和多样化,以满足学生的不同学习需求。
实施分层作业也有利于学生在完成适合自己的作业中都取得成功,获得轻松、愉快、满足的心理体验。
有利于优化学生的思维品质。
二、课题的实验步骤
1、初步制定课题的实施方案,拟定课题实施方案,拟定实验计划,明确课题目标,研究策落。
2、采用个体调查法,分别对6个实验教师,3个班级的学生进行能力测试,采用问卷、试卷、课堂听课等方法,初步摸清了教师们的数学专业水平,实际教学能力,科研意愿以及生源情况。
情况如下:
其一,教师对数学学科新课程改革理论生疏,对实施教学策落理解不透,不能在实践中运用。
其二,教师都愿意承担实验,但有顾虑,怕教学质量上不去,科研知识少,不知道从何着手,感到困难。
其三,教师数学专业知识不扎实,数学今本共欠缺,对理解教材有困难,难以驾驭教材。
3、试验期间措施
第一,进行小本培训。
培训学习内容有新课程继续教育理论,教科研方法,数学实际能力等。
第二、启动实验学科带头人整体实验工程,推动实验不断开展。
第三、专业引领,自主探究。
请上级业务专家指导,讲座,讲评,实验教师自主探究,合作交流,反思总结,探索实验策落与方法。
第四、检查指导,总结完善,实验领导掌握实验动态,定期对实验进行分析,提出指导性建议,不断使实验向前推进,朝着正确的方向发展。
三、课题研究结果和分析
(一)“数学分层作业设计”的必要性
初中数学作业普遍存在诸多问题:
作业机械重复性较多,忽视学生间差距和潜能,形成“一刀切”的局面等。
学生随着年龄的增加,年级的升高,数学学科的难度及知识量也相应增大了,我们发现部分学生开始感到学数学很吃力,学习劲头明显没有以前足了,两极分化的现象开始萌芽。
初中数学作业普遍存在:
一是作业机械重复性较多;二是作业形式单调,缺乏思维问题;三是作业量分布不均;四是忽视学生间差距和潜能,形成“一刀切”的局面等。
学生对这样的数学作业非常反感。
大量的作业占去学生的课余大部分时间,抑制了他们自身兴趣爱好的发展,抑制了学生个性的发展,严重影响了学生身心健康的发展。
设计不同层次的作业,能让教师从不同的角度了解学生掌握知识、发展能力的综合信息,从这些信息中,教师不但可以比较准确地了解学生“学”的情况,还能及时发现教师“教”所存在的问题,从而为教师进一步改进教学方法,调节教学结构提供了有力的科学依据。
二、数学分层作业设计的有效途径
国家教育部明确指出要减轻学生的作业负担。
作业是教学的基本篇二:
初中数学动点问题及练习题带答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:
动中求静.
数学思想:
分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自主探究能力,促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲:
(1)运动观点;
(2)方程思想;(3)数形结合思想;(4)分类思想;(5)转化思想等.研究历年来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教学中研究对策,把握方向.只的这样,才能更好的培养学生解题素养,在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点.
专题一:
建立动点问题的函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?
下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二:
动态几何型压轴题
动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:
等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
(一)点动问题。
(二)线动问题。
(三)面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有:
1、特殊探路,一般推证。
2、动手实践,操作确认。
3、建立联系,计算说明。
三、专题二总结,本大类习题的共性:
1.代数、几何的高度综合(数形结合);着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想:
数学结合、分类讨论、方程、函数.
2.以形为载体,研究数量关系;通过设、表、列获得函数关系式;研究特殊情况下的函数值。
专题三:
双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析,供读者欣赏.1以双动点为载体,探求函数图象问题。
2以双动点为载体,探求结论开放性问题。
3以双动点为载体,探求存在性问题。
4以双动点为载体,探求函数最值问题。
双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。
专题四:
函数中因动点产生的相似三角形问题
专题五:
以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类问题方法巧妙,耐人寻味。
例1.如图,已知在矩形abcd中,ad=8,cd=4,点e从点d出发,沿线段da以每秒1
个单位长的速度向点a方向移动,同时点f从点c出发,沿射线cd方向以每秒2个单位长的速度移动,当b,e,f三点共线时,两点同时停止运动.设点e移动的时间为t(秒).
(1)求当t为何值时,两点同时停止运动;
(2)设四边形bcfe的面积为s,求s与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;(3)求当t为何值时,以e,f,c三点为顶点的三角形是等腰三角形;(4)求当t为何值时,∠bec=∠bfc.
a
edf
例2.正方形abcd边长为4,m、n分别是bc、cd上的两个动点,
bc上运动时,保持am和mn垂直,
当m点在
(1)证明:
rt△abm∽rt△mcn;
(2)设bm?
x,梯形abcn的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当m点运动到什么位置时,四边形abcn面积最大,并求出最大面积;
(3)当m点运动到什么位置时rt△abm∽rt△amn,求此时x的值.
ad
n
b
m
c
例3.如图,在梯形abcd中,ad∥
bc,ad?
3,dc?
5,ab?
∠b?
45?
.动
点m从b点出发沿线段bc以每秒2个单位长度的速度向终点c运动;动点n同时从c点
出发沿线段cd以每秒1个单位长度的速度向终点d运动.设运动的时间为t秒.(09年济南中考)
(1)求bc的长。
(2)当mn∥ab时,求t的值.
(3)试探究:
t为何值时,△mnc为等腰三角形.
c
例4.如图,在rt△aob中,∠aob=90°,oa=3cm,ob=4cm,以点o为坐标原点建
立坐标系,设p、q分别为ab、ob边上的动点它们同时分别从点a、o向b点匀速运动,
速度均为1cm/秒,设p、q移动时间为t(0≤t≤4)
(1)求ab的长,过点p做pm⊥oa于m,求出p点的坐标(用
t表示)
(2)求△opq面积s(cm2),与运动时间t(秒)之间的函数关系式,当t为何值时,s有最大值?
最大是多少?
(3)当t为何值时,△opq为直角三角形?
(4)若点p运动速度不变,改变q的运动速度,使△opq为正三角形,求q点运动的速度和此时t的值.
答案解析
f
e例1.解:
(1)当b,e,f三点共线时,两点同时停止运动,如图2所示.?
?
?
(1分)
由题意可知:
ed=t,bc=8,fd=2t-4,fc=2t.
a
∵ed∥bc,∴△fed∽△fbc.∴
d
fdfc
?
edbc
.
∴
2t?
42t
?
t8
.解得t=4.
∴当t=4时,两点同时停止运动;?
?
(3分)
b
图2
c
(2)∵ed=t,cf=2t,∴s=s△bce+s△bcf=
12
×8×4+
12
×2t×t=16+t2.
即s=16+t2.(0≤t≤4);?
?
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?
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?
?
(6分)(3)①若ef=ec时,则点f只能在cd的延长线上,
∵ef2=(2t?
4)?
t?
5t?
16t?
16,
2
2
2
ec2=4?
t?
t?
16,∴5t?
16t?
16=t?
16.∴t=4或t=0(舍去);
2
2
2
2
2
②若ec=fc时,∵ec2=4?
t?
t?
16,fc2=4t2,∴t?
16=4t2.∴t?
2
2
2
2
③若ef=fc时,∵ef2=(2t?
4)?
t?
5t?
16t?
16,fc2=4t2,
2
2
2
2
∴5t?
16t?
16=4t2.∴t1=16?
(舍去),t2=16?
.
∴当t的值为4
16?
时,以e,f,c三点为顶点的三角形是等腰三
角形;?
?
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?
?
(9分)
(4)在rt△bcf和rt△ced中,∵∠bcd=∠cde=90°,
bccd
?
cfed
?
2,
∴rt△bcf∽rt△ced.∴∠bfc=∠ced.?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
(10分)∵ad∥bc,∴∠bce=∠ced.若∠bec=∠bfc,则∠bec=∠bce.即be=bc.∵be2=t?
16t?
80,∴t?
16t?
80=64.
2
2
∴t1=16?
(舍去),t2=16?
.
∴当t=16?
时,∠bec=∠bfc.?
?
?
?
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(12分)
例2.解:
(1)在正方形abcd中,
ab?
bc?
cd?
4,?
b?
?
c?
90°,?
am⊥mn,?
?
amn?
90°,
?
?
cmn?
?
amb?
90°,
d
在rt△abm中,?
mab?
?
amb?
90°,?
?
cmn?
?
mab,
?
rt△abm∽rt△mcn,
(2)?
rt△abm∽rt△mcn,
?
abmc
?
bmcn
2
n
b
m
c
,?
44?
x
?
xcn
,
?
cn?
?
x?
4x
4
,
2
?
y?
s梯形abcn
?
1?
?
x?
4x1212?
?
?
4?
·4?
?
x?
2x?
8?
?
?
x?
2?
?
10,2?
422?
当x?
2时,y取最大值,最大值为10.(3)?
?
b?
?
amn?
90°,
?
要使△abm∽△amn,必须有
ammn
?
abbm
,
由
(1)知
ammn
?
abmc
,
?
bm?
mc,
?
当点m运动到bc的中点时,△abm∽△amn,此时x?
2.
例3.解:
(1)如图①,过a、d分别作ak?
bc于k,dh?
bc于h,则四边形adhk是矩形
∴kh?
ad?
3.
在rt△
abk中,ak?
ab?
sin45?
?
2?
4
bk?
ab?
cos45?
?
2
?
4
在rt△cdh中,由勾股定理得,hc?
?
3
∴bc?
bk?
kh?
hc?
4?
3?
3?
10adbcbkh
(图①)
a
d
n
c
g(图②)
m
(2)如图②,过d作dg∥ab交bc于g点,则四边形adgb是平行四边形∵mn∥ab∴mn∥dg∴bg?
ad?
3∴gc?
10?
3?
7
由题意知,当m、n运动到t秒时,cn?
t,cm?
10?
2t.∵dg∥mn
∴∠nmc?
∠dgc又∠c?
∠c
∴△mnc∽△gdc∴
cncd
?
cmcg篇三:
初中数学动点问题及练习题附参考答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:
动中求静.
数学思想:
分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
专题一:
建立动点问题的函数解析式
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?
下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二:
动态几何型压轴题
动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:
等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
(一)点动问题。
(二)线动问题。
(三)面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有:
1、特殊探路,一般推证。
2、动手实践,操作确认。
3、建立联系,计算说明。
三、专题二总结,本大类习题的共性:
1.代数、几何的高度综合(数形结合);着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想:
数学结合、分类讨论、方程、函数.
2.以形为载体,研究数量关系;通过设、表、列获得函数关系式;研究特殊情况下的函数值。
专题三:
双动点问题
点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题.它主要以几何图形为载体,运动变化为主线,集多个知识点为一体,集多种解题思想于一题.这类题综合性强,能力要求高,它能全面的考查学生的实践操作能力,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点,现采撷几例加以分类浅析,供读者欣赏.1以双动点为载体,探求函数图象问题。
2以双动点为载体,探求结论开放性问题。
3以双动点为载体,探求存在性问题。
4以双动点为载体,探求函数最值问题。
专题四:
函数中因动点产生的相似三角形问题
专题五:
以圆为载体的动点问题
动点问题是初中数学的一个难点,中考经常考察,有一类动点问题,题中未说到圆,却与圆有关,只要巧妙地构造圆,以圆为载体,利用圆的有关性质,问题便会迎刃而解;此类问题方法巧妙,耐人寻味。
例1.如图,已知在矩形abcd中,ad=8,cd=4,点e从点d出发,沿线段da以每秒1
个单位长的速度向点a方向移动,同时点f从点c出发,沿射线cd方向以每秒2个单位长的速度移动,当b,e,f三点共线时,两点同时停止运动.设点e移动的时间为t(秒).
(1)求当t为何值时,两点同时停止运动;
(2)设四边形bcfe的面积为s,求s与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;(3)求当t为何值时,以e,f,c三点为顶点的三角形是等腰三角形;(4)求当t为何值时,∠bec=∠bfc.
a
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c
例2.正方形abcd边长为4,m、n分别是bc、cd上的两个动点,bc上运动时,保持am和mn垂直,
(1)证明:
rt△abm∽rt△mcn;
当m点在
(2)设bm?
x,梯形abcn的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当m点运动到什么位置时,四边形abcn面积最大,并求出最大面积;
(3)当m点运动到什么位置时rt△abm∽rt△amn,求此时x的值.
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例3.如图,在梯形abcd中,ad∥bc,ad?
3,dc?
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点m从b点出发沿线段bc以每秒2个单位长度的速度向终点c运动;动点n同时从c点出发沿线段cd以每秒1个单位长度的速度向终点d运动.设运动的时间为t秒.(09年济南中考)
(1)求bc的长。
(2)当mn∥ab时,求t的值.
(3)试探究:
t为何值时,△mnc为等腰三角形.
例4.如图,在rt△aob中,∠aob=90°,oa=3cm,ob=
以点o为坐标原点建立坐标系,设p、q分别为ab、ob边上的动点它们同时分别从点a、o向b点匀速运动,速度均为1cm/秒,设p、q移动时间为t(0≤t≤4)
(1)求ab的长,过点p做pm⊥oa于m,求出p点的坐标(用t表示)
(2)求△opq面积s(cm2),与运动时间t(秒)之间的函数关系式,当t为何值时,s有最大值?
最大是多少?
(3)当t为何值时,△opq为直角三角形?
(4)若点p运动速度不变,改变q的运动速度,使△opq为正三角形,求q点运动的速度和此时t的值.
动点练习题答案
例1.解:
(1)当b,e,f三点共线时,两点同时停止运动,如图2所示.?
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(1分)
由题意可知:
ed=t,bc=8,fd=2t-4,fc=2t.
f
a
e
∵ed∥bc,∴△fed∽△fbc.∴
d
fded
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.解得t=4.2t8
∴当t=4时,两点同时停止运动;?
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(3分)
b
图2
c
(2)∵ed=t,cf=2t,∴s=s△bce+s△bcf=
11
×8×4+×2t×t=16+t2.22
即s=16+t2.(0≤t≤4);?
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?
(6分)
(3)①若ef=ec时,则点f只能在cd的延长线上,
∵ef2=(2t?
4)?
t?
5t?
16t?
16,
ec2=4?
t?
t?
16,∴5t?
16t?
16=t?
16.∴t=4或t=0(舍去);
2222
②若ec=fc时,∵ec2=4?
t?
t?
16,fc2=4t2,∴t?
16=4t2.∴t?
2
2
2
2
2
222
③若ef=fc时,∵ef2=(2t?
4)?
t?
5t?
16t?
16,fc2=4t2,∴5t?
16t?
16=4t2.∴t1=16?
,t2=16?
∴当t的值为42
222
16?
e,f,c三
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