解析版江苏省苏锡常镇四市届高三教学情况调研二数学试题.docx

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解析版江苏省苏锡常镇四市届高三教学情况调研二数学试题

江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研

（二）数学试题

一、填空题：

本大题共

位置上.

14小题，每小题

5分，计

70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定

1．（5分）（2013?

镇江二模）已知

i是虚数单位，复数

对应的点在第

四象限．

考点：

复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．

专题：

计算题．

分析：

熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键．

解答：

解：

∵

=

所对应的点为（

2，﹣1）位于第四象限．

故答案为四．

点评：

熟练掌握复数的运算法则和几何意义是解题的关键．

2．（5分）（2013?

镇江二模）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x＞1}，则A∩?

UB{x|﹣1≤x≤1}．

考点：

交、并、补集的混合运算．

分析：

本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．

解答：

解：

∵全集U=R，集合A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x＞1}，

∴?

UB）={x|x≤1}

∴A∩（?

UB）={x|﹣1≤x≤1}

故答案为{x|﹣1≤x≤1}

点评：

本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．

3．（5分）（2013?

镇江二模）已知数列{an}的通项公式为

an=2n﹣1，则数据a1，a2，a3，a4，a5的方差为8．

考点：

极差、方差与标准差．

专题：

概率与统计．

分析：

先根据数列{an}的通项公式得出此数列的前5

项，再计算出平均数，再根据方差的公式计算．

解答：

解：

数列{an

n

12

3

4

5

}的通项公式为

a=2n﹣1，则数据

a，a

，a

，a

，a即数据1，3，5，7，9，它们的平

均数=（1+3+5+7+9）=5；

则其方差=（16+4+0+4+16）=8．

故答案为：

8．

点评：

本题考查数列的通项公式及方差的定义，属于基础题．

4．（5分）（2013?

镇江二模）“x＞3”是“x＞5”的分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空）

必要不充分

．

条件（请在“充要、充分不必要、必要不充

考点：

必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题：

不等式的解法及应用．

分析：

由题意，由前者不能推出后者，由后者可以推出前者，故可得答案．

解答：

解：

若“x＞3”，则“x＞5”不成立，如当x=4．

反之，“x＞5”时“x＞3”，一定成立，

则“x＞3”是“x＞5”的必要不充分条件．

故答案为：

必要不充分．

点评：

本题主要考查四种条件的判断，属于基础题．

5．（5分）（2013?

镇江二模）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则

此双曲线方程为．

考点：

双曲线的标准方程．

专题：

计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

不妨取双曲线x2﹣=1（a＞0）的右焦点F（，0），利用点F到其一条渐近线y=x的距离

为可求得a的值，从而可得答案．

解答：

解：

∵双曲线方程为x2﹣=1（a＞0），

∴其右焦点F（

∵点F到渐近线

y=

，0），y=

x的距离为

x为它的一条渐近线，

，

∴

==

，

∴a=3．

∴则此双曲线方程为：

x2﹣=1．

故答案为：

x2﹣=1．

点评：

本题考查双曲线的标准方程，考查点到直线间的距离，求得a的值是关键，属于中档题．

6．（5分）（2013?

镇江二模）根据如图所示的流程图，输出的结果T为．

考点：

程序框图．

专题：

图表型．

分析：

分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是计算不满足

循环条件n≤4时，变量T的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，

不难得到输出结果．

解答：

解：

程序在运行过程中各变量的值如下表示：

是否继续循环Tn

循环前/12

第一圈是3

第二圈是4

第四圈是5

第五圈否

故最后输出的T值为：

故答案为：

．

点评：

求一个程序的运行结果我们常用模拟运行的方法，但在模拟过程中要注意对变量值的管理、计算及循环条件的判断．必要时可以用表格管理数据．

7．（5分）（2013?

镇江二模）在1和9之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的和

为．

考点：

等比数列的通项公式．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

设出插入的三个正数，输出构成等比数列公比，由等比数列的通项公式求出公比，然后分别求出插

入的三个数，则答案可求．

解答：

解：

设插入的3个正数分别为a，b，c，构成的等比数列的公比为q，

则，9=1×q4，所以，

3/20

则

a=

，

b=

，

c=

．

所以插入的三个数的和为

故答案为．

．

点评：

本题考查了等比数列的通项公式，是基础的运算题．

8．（5分）（2013?

镇江二模）在不等式组所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整

数的点称为格点）中任取3个点，则该3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为．

考点：

古典概型及其概率计算公式；简单线性规划．

专题：

计算题；作图题．

分析：

根据约束条件作出可行域，找到可行域内的格点，然后求出从所有格点中任取三点的取法种数，排除共线的取法种数，然后利用古典概型概率计算公式求解．

解答：

解：

由，得到可行域如图中阴影部分，

则阴影部分中的格点有（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）共5个点，

从中任取3个点，所有的取法种数为种，

其中只有1种情况共线，即取（3，1），（3，2），（3，3）三点时共线，不能构成三角形，

则3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为p=．

故答案为．

点评：

本题考查了简单的线性规划，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是正确画出图形，找到可行域，并求出格点的个数，是基础题．

9．（5分）（2013?

镇江二模）在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一个正确命题是：

在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有cos2α+cos2β+cos2γ=2．

考点：

类比推理．

专题：

规律型．

分析：

本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分

2

2

别是α，β，则有cosα+cosβ=1，根据长方体性质可以类比推断出空间性质，从而得出答案．

解答：

解：

我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．

由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是

α，β，

则有cos2α+cos2β=1，

我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，

∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，

∴cosα=，cosβ=，cosγ=，

∴cos2α+cos2β+cos2γ

=

=

=2．

2

2

2

γ=2．

故答案为：

cosα+cosβ+cos

点评：

本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：

由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面

的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质，或是将平面中的两维性质，类比推断

到空间中的三维性质．

10．（5分）（2013?

镇江二模）已知圆C：

（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）与直线y=3x相交于P，Q两点，

若∠PCQ=90°，则实数a=．

考点：

直线与圆的位置关系．

专题：

直线与圆．

分析：

（d为圆心C到直线y=3x的距离）即可得出．

利用∠PCQ=90°?

解答：

解：

设圆心C到直线y=3x的距离为d，

∵∠PCQ=90°，∴

．

∴=，又a＞0，解得a=．

故答案为．

5/20

点评：

正确得出∠PCQ=90°?

（d为圆心C到直线y=3x的距离）是解题的关键．

11．（5分）（2013?

镇江二模）分别在曲线y=ex与直线y=ex﹣1上各取一点M与N，则MN的最小值为

．

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．

专题：

导数的综合应用．

分析：

欲求MN的最小值，我们先平移直线y=ex﹣1与曲线y=ex相切，如图，则切线与直线y=ex﹣1间的

距离即可所求的MN的最小值．利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得切线的方程后利用平行线的距离公式求解即可．

解答：

解：

∵切线与直线y=ex﹣1平行，斜率为e，

设切点M（a，b），

又切线在点a的斜率为y′|x=a=ea，

∴ea=e，∴a=1，

∴切点的坐标M（1，e），

∴切线方程为y﹣e=e（x﹣1），即ex﹣y=0；

又直线y=ex﹣1，即ex﹣y﹣1=0

∴d==．

则MN的最小值为．

故答案为：

．

点评：

本题考查导数的几何意义：

导数在切点处的值是切线的斜率．属于基础题．

12．（5分）（2013?

镇江二模）已知向量，满足，，且对一切实数x，

恒成立，则与的夹角大小为．

考点：

数量积表示两个向量的夹角．

专题：

平面向量及应用．

分析：

由已知利用模的计算公式得，化为

，即，

由于对一切实数

x，

（即上式）恒成立，必须满足

+4

≤0，解出即可．

解答：

得

，化为

解：

由

，

∵，．

∴，

∵对一切实数x，（即上式）恒成立，

∴+4≤0，化为

，

得，

∵，∴．

故答案为．

点评：

熟练掌握向量模的计算公式、数量积运算、恒成立问题的等价转化是解题的关键．

13．（5分）（2013?

镇江二模）已知x，y均为正数，，且满足，

，则的值为．

考点：

函数与方程的综合运用．

专题：

转化思想；三角函数的图像与性质．

7/20

分析：

由，两边同乘以x2+y2得到；把

代入上式得，可化为，

利用立方和公式可以把cos6θ+sin6θ化为1﹣3sin2θcos2θ，可化为，与

sin2θ+cos2θ=1联立，即可解得sin2θ与cos2θ．再根据得

，即可得出sinθ与cosθ，即可求出答案．

解答：

解：

∵，∴，化为

，（*）

∵

，

∴

，

，代人（*）得

，

化为

，

6

6

2

2

4

4

2

2

2

2

2

﹣3sin

2

2

θ]=1﹣

∵cos

θ+sin

θ=（cos

θ+sinθ）（cosθ+sin

θ﹣sin

θcosθ）=1×[（cosθ+sinθ）

θcos

3sin2θcos2θ，

∴

，

化为

，与sin2θ+cos2θ=1联立

，解得

或

．

由

得

．故取

．解得

，

∴

．

故答案为

．

点评：

本题综合考查了三角函数的恒等变形、单调性、平方关系、立方和公式、配方法、方程思想等基础

知识与基本方法，需要较强的推理能力和变形能力、计算能力．

14．（5

分）（2013?

镇江二模）已知a为正的常数，若不等式

对一切非负实数

x恒成立，

则a的最大值为8

．

考点：

函数恒成立问题．

专题：

综合题；函数的性质及应用．

分析：

依题意，可将

a分离出来，构造函数，f（x）=4（1++

）（x≥0），利用该函数的单调递增的性

质求其最小值，即可求得

a的最大值．

解答：

解：

∵a＞0，x≥0，

≥1+﹣，

∴≥1+﹣==

∴0＜a≤4（1++）对一切非负实数x恒成立．

令f（x）=4（1++）（x≥0），则0＜a≤f（x）min．

∵f′（x）=4（+

）＞0，

∴f（x）=4（1++）（x≥0）在[0，+∞）上单调递增，

∴f（x）min=f（0）=8．

∴0＜a≤8．

故a的最大值为8．故答案为：

8．

点评：

本题考查函数恒成立问题，分离参数a，构造函数f（x）=4（1++

=，

）（x＞0）是关键，也是难

点，考查创新思维与转化思想，属于难题．

二、解答题：

本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．（14分）（2013?

镇江二模）如图，在△ABC中，，角A的平分线AD交BC于点D，设∠BAD=α，

．

（1）求sin∠BAC和sinC；

（2）若，求AC的长．

9/20

考点：

正弦定理；同角三角函数间的基本关系．

专题：

解三角形．

分析：

（1）利用三角函数平方关系、倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式即可得出；

（2）利用正弦定理、向量的数量积即可得出．

解答：

解：

（1）∵

，

，

∴

．

则sin∠BAC=sin2α=

=．

∴cos∠BAC=cos2α=2cos2α﹣1=

．

sinC=

=

=

=

．

（2）由正弦定理得

，∴

，∴

BC，

∵，∴．

由上两式解得．

又由，得，解得AC=5．

点评：

本题综合考查了三角函数平方关系、倍角公式、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理、向量的数量积等知识与方法．需要较强的推理能力和计算能力．

16．（14分）（2013?

镇江二模）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAB是等

边三角形，侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形，

（1）求证：

CM∥平面SAE；

（2）求证：

SE⊥平面SAB；

（3）求三棱锥S﹣AED的体积．

E为

CD

的中点，

M

为SB的中点．

考点：

直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

专题：

计算题；证明题；空间位置关系与距离．

分析：

MN∥AB且MN=

AB，而正方

（1）取SA的中点N，连接MN．△ASB中利用中位线定理，证出

形ABCD中E为CD中点，可得CE∥AB且CE=AB，从而得到CENM为平行四边形，得CM∥EN．最

后用线面平行的判定定理，即可证出CM∥平面SAE；

（2）Rt△SCD中，E为斜边中点，可得SE=CD=1．△ESA中算出SA2+SB2=5=AB2，从而得到

ES⊥SA，同理△ESB中证出ES⊥SB，结合SA、SB是平面SAB内的相交直线，可证出

SE⊥平面

SAB．

（3）根据正方形的性质可得S△AED=

S△ABE，从而得到VS﹣AED=

VS﹣AEB=

VE﹣SAB，由

（2）得

SE是三棱锥E﹣SAB的高，从而算出

VE﹣SAB=，由此即可得到

VS﹣AED=

VE﹣SAB=

．

解答：

解：

（1）取SA的中点N，连接MN，

∵M为SB的中点，N为SA的中点，∴MN∥AB，且MN=AB，

又E是CD的中点，∴CE∥AB，且CE=AB，

∴MN∥CE，且MN=CE，∴四边形CENM为平行四边形，

∴CM∥EN，又EN?

平面SAE，CM?

平面SAE，

∴CM∥平面SAE．

（2）∵侧面SCD为直角三角形，∠CSD=90°，E为CD的中点，∴SE=CD=1，

又∵SA=AB=2，AE=

，

2

2

2

，可得ES⊥SA，同理可证ES⊥SB，

∴SA+SB=5=AB

∵SA∩SB=S，SA、SB?

平面SAB，∴SE⊥平面SAB．

（3）根据题意，得VS﹣AED=VS﹣AEB=VE﹣SAB，

∵SE⊥平面SAB，可得SE是三棱锥E﹣SAB的高

∴VE﹣SAB=S△SAB×SE==

因此，三棱锥S﹣AED的体积为VS﹣AED=VE﹣SAB=×=．

11/20

点评：

本题在四棱锥中证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积．着重考查了空间直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理和锥体体积公式等知识，属于中档题．

17．（14分）（2013?

镇江二模）已知等差数列

{an}的公差

d不为零，且

，a2=a4+a6．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求满足Sn﹣2an﹣20＞0的所有正整数n的集合．

考点：

等差数列的通项公式；数列的函数特性；等差数列的前

n项和．

专题：

计算题；等差数列与等比数列．

分析：

（1）由

，a2=a4+a6．利用等差数列的通项公式建立关于

d，a1，的方程，解方程可求

a1，d，

进而可求an

（2）由等差数列的求和公式可求

sn，代入已知不等式

Sn﹣2an﹣20＞0可求n的范围，进而可求

解答：

解

（1）由

，a2=a4+a6．

可得

联立可得，d2+5d=0

∵d≠0

∴d=﹣5，a1=35

∴an=35+（n﹣1）×（﹣5）=﹣5n+40

（2）

∵Sn﹣2an﹣20＞0

∴

整理可得，n2﹣19n+40＜0

则

即

∵n∈N*

∴所求的n的集合{3，4，5⋯16}

点评：

本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题

18．（16分）（2013?

镇江二模）如图，设A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，

过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），△ABC和△ABD的面积分别为S1与S2．

（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为，求椭圆的离心率；

（2）当点M在线段AB上运动时，求的最大值．

考点：

直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．

专题：

圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（1）由中点坐标公式求出A，B的中点M，把M坐标代入直线

y=得到a与b的关系，结合a2=b2+c2

可求椭圆的离心率；

（2）设出C和D点的坐标，求出直线

AB的方程，由点到直线的距离公式求出

C和D到直线AB

的距离，因为△ABC和△ABD同底，所以把两个三角形的面积比转化为

C，D到直线AB的距离比，

然后借助于基本不等式求最小值．

解