一次函数和反比例函数知识点总结.docx
- 文档编号:27117449
- 上传时间:2023-06-27
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:197.23KB
一次函数和反比例函数知识点总结.docx
《一次函数和反比例函数知识点总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一次函数和反比例函数知识点总结.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
一次函数和反比例函数知识点总结
一次函数和反比例函数知识
点总结
一次函数知识点总结:
一次函数:
一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。
中考试题中分值约为10分左右题型多样,形式灵活,综合应用性强。
甚至有存在探究题目出现。
主要考察内容:
①会画一次函数的图像,并掌握其性质。
②会根据已知条件,利用待定系数法确定一次函数的解析式。
③能用一次函数解决实际问题。
④考察一ic函数与二元一次方程组,一元一次不等式的关系。
突破方法:
①正确理解掌握一次函数的概念,图像和性质。
②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。
③掌握用待定系数法球一次函数解析式。
④做一些综合题的训练,提高分析问题的能力。
函数性质:
的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k.即:
y=kx+b(k,b为常数,kM),•.•当x增加
m»k(x+m)+b=y+km,km/m=kc
2.当x=0时,b为函数在y轴上的点,坐标为(0,b)a
3当b=0时(即y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。
4.在两个一次函数表达式中:
当两一次函数表达式中的k相同,b也相同时,两一次函数图像重合;
当两一次函数表达式中的k相同,b不相同时,两一次函数图像平行:
当两一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,两一次函数图像相交;当两一次函数表达式中的k不相
同,b相同时,两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)o
若两个变量x,y间的关系式可以表示成丫=0+13化人为常数,k不等于0)则称y是x的一次函数
图像性质
1.作法与图形:
通过如下3个步骤:
(1)列表.
(2)描点:
[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,也可叫“两点法〃。
一般的y=kx+b(H0)的图象过
(0,b)和(-b/k,0)两点画直线即可。
正比例函数y=kx(kNO)的图象是过坐标原点的一条直线,一般取(0,0)和(1,k)两点。
(3)连线,可以作出一次函数的图象一一一条直线。
因此,作一次函数的图象只需知道2点,并连成直线即可。
(通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与。
,0与b).
2.性质:
<1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:
y=kx+b(k*O)a
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像都是过原点。
3.函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。
4.k,b与函数图像所在象限:
y=kx时(即b等于0,y与x成正比例):
当k>0时,直线必通过第一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过第二、四象限,y随x的增大而减小。
y=kx+b时:
三象限:
四象限:
四象限:
四象限:
表示的是正比例函数的图像。
不会通过第二、四象限。
当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、当b>0时,直线必通过第一、二象限:
当b<0时,直线必通过第三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点0(0,0)这时,当k>0时,直线只通过第一、三象限,
当k<0时,直线只通过第二、四象限,不会通过第一、三象限。
4、特殊位置关系:
当平而直角坐标系中两直线平行时,其函数解析式中K值(即一次项系数)相等
当平而直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中K值互为负倒数(即两个K值的乘积为-1))
③点斜式y-yl=k(x-xl)(k为直线斜率,(xl,yl)为该直线所过的一个点)
④两点式(y-yl)/(y2-yl)=(x-xl)/(x2-xl)(已知直线上(xl,yl)与(x2,y3)两点)
⑤截距式(a、b分别为直线在x、y轴上的截距)
⑥实用型(由实际问题来做)公式
L求函数图像的k值:
(yl-y2)/(xl-x2)
2.求与x轴平行线段的中点:
|xl-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点:
|yl-y2|/2
4.求任意线段的长:
V(xl-x2)A2+(yl-y2)A2(注:
根号下(xl-x2〉与(yl-y2)的平方和)
5.求两个一次函数式图像交点坐标:
解两函数式
两个一次函数yl=klx+bly2=k2x+b2令yl=y2得klx+bl=k2x+b2将解得的x=x0值代回yl=klx+bly2=k2x+b2两式任一式得到y=yO则(x0,y0)即为yl=klx+bl与y2=k2x+b2交点坐标
6.求任意2点所连线段的中点坐标:
[(xl+x2)/2,(yl+y2)/2]
7.求任意2点的连线的一次函数解析式:
(X-xl)/仅192)=(丫-丫1)/(丫1-丫2)(其中分母为0,则分子为0)xy+,+(正,正)在第一象限+(负,正)在第二象限-(负,负)在第三象限-(正,负)在第
四象限
8.若两条直线yl=klx+bl〃y2=k2x+b2,那么kl=k2,bl*b2
9.如两条直线yl=klx+bl_Ly2=k2x+b2,那么klxk2=-l
10.y=k(x-n)+b就是向右平移n个单位
复习要点:
一次函数的图象和性质
考点讲析
1.一次函数的意义及其图象和性质
(1).一次函数:
若两个变量X、y间的关系式可以表示成丫=1^+“1<、b为常数,kWO)的形式,则称y是x的一
次函数(x是自变量,y是因变量)特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.
⑵.一次函数的图象:
一次函数丫=1<乂世的图象是经过点(0,b),(一,0)的一条直线,正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线,如下表所示.
(3).一次函数的性质:
y=kx+b(k、b为常数,kWO)当k>0时,y的值随x的值增大而增大;当kVO
时,y的值随x值的增大而减小.
(4)
.直线y=kx+b(k、b为常数,kWO)时在坐标平面内的位置与k在的关系.
2.一次函数表达式的求法
(1).待定系数法:
先设出式子中的未知系数,再根据条件列议程或议程组求出未知系数,从而写出这个式子的方法,叫做待定系数法,其中的未知系数也称为待定系数。
⑵.用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤:
⑴写出函数表达式的一般形式;⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序函数表达式中,得到关于待定系数的议程或议程组;⑶解方程(组)求出待定系数的值,从而写出函数的表达式。
⑶.一次函数表达式的求法:
确定一次函数表达式常用待定系数法,其中确定正比例函数表达式,只需一对x与y的值,确定一次函数表达式,需要两对X与y的值。
反比例函数:
⑴反比例函数
如果y=A(k是常数,AWO),那么V叫做X的反比例函数.
X
(2)反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线.
(3)反比例函数的性质
①当心>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y随x的增大而减小.②当AV0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内,在各自的象限内,y随x的增大而增大.③反比例函数图象关于直线y=±x对称,关于原点对称.
(4)k的两种求法
①若点(xo,yo)在双曲线y=与上,则k=xoyo.
x
②k的几何意义:
L11
若双曲线丁=一上任一点4(x,y),八8_Lx轴于8,WOS^A0B=-OBxAB=-\x\-\y\
x22
(5)正比例函数和反比例函数的交点问题
若正比例函数y=kix(kiWO),反比例函数y=华氏手。
),则
当k1k2<0时.,两函数图象无交点;
当心幻>0时,两函数图象有两个交点,坐标分别为(启,际),(-椁,-际).由此可知,正反比例函数的图象若有交点,两交点一定关于原点对称.
(6)对于双曲线上的点A、B,有两种三角形的面积($&。
8)要会求(会表示),如图7—1所示.
考点一、平面直角坐标系(3分)
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,就组成了平面直角坐标系。
其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右.为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;两轴的交点o(即公共的原点)叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被X轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:
x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对,当.工。
时.,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征(3分)
1、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限ox>0,y>0
点P(x,y)在第二象限oxvO,y>。
点P(x,y)在第三象限<=>X<0,y<0
点P(x,y)在第四象限ox>0,y<0
2、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上=y=。
,x为任意实数
点P(x,y)在y轴上=x=0,y为任意实数
点P(xM既在X轴上,乂在y轴上OX,y同时为零,即点P坐标为(0,0)
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上Ox与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上Ox与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点关于x轴对称O横坐标相等,纵坐标互为相反数
点P与点关于y轴对称O纵坐标相等,横坐标互为相反数
点P与点p,关于原点对称O横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于|乂
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于同
(3)点P(x,y)到原点的距离等于厂产
考点三、函数及其相关概念(3~8分)
1、变量与常量
在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
一般地,在某一变化过程中有两个变量X与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
(1)解析法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
(2)列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫做列表法。
(3)图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
(1)列表:
列表给出自变量与函数的一些对应值
(2)描点:
以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
(3)连线:
按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点四、正比例函数和一次函数(3~10分)
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果y=(k,b是常数,kwO),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数),=心+。
中的b为。
时,y=kx(k为常数,kHO)。
这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数y=+〃的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数),=人的图像是经过原点(0,0)的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
b>0
y
L
图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。
1
K牙U
y,
L
b<0
0x
r
图像经过一、三、四象限,丫随X的增大而增大。
K<0
b>0
y
图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小
0x
b<0
*
图像经过二、三、四象限,y随x的增大而减小。
注:
当心0时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数),=h有下列性质:
(1)当k>0时,图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数,,=心一。
有下列性质:
(1)当k>0时,,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式,,=依(kwO)中的常数k0确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=(k,0)中的常数k和b°解这类问题的一般方法是待定系数法。
考点五、反比例函数(3〜10分)
1、反比例函数的概念
一般地,函数),=七(k是常数,k,0)叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成),=攵,5的形X
式。
自变量X的取值范围是xwo的一切实数,函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、三象限,或第二、四象限,它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量XW0,函数yWO,所以,它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质
性质
①x的取值范围是xWO.
y的取值范围是yW0:
②当k>0时,函数图像的两个分支分别在第一、三象限。
在每个象限内,y随X的增大而减小。
®x的取值范围是xW0,丫的取值范闱是丫工0:
②当k 在每个象限内,y 随x的增大而增大Q 4、反比例函数解析式的确定 确定及误是的方法仍是待定系数法。 由于在反比例函数),=人中,只有一个待定系数,因此只需要一对X 对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的儿何意义 如下图,过反比例函数丁=勺(攵。 0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,PN,则所得的矩形 X PMON的面积S=PM・PN=|小凶=网。 k y=xy=k.S=卜|。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 一次 函数 反比例 知识点 总结