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用短除法求最小公倍数的方法步骤
文/春秋书生
教材介绍的是采用列举法和分解质因法求两个数的最小公倍数,这两种方法对于对较小数的求最小公倍数比较适用,但对较大的数来说,做起来就比较麻烦了,下面是我总结的用短除法求最小公倍数的方法步骤:
第一步:
找出两数的最小公因数,列短除式,用最小公因数去除这两个数,得到两个商;
第二步:
然后找出两个商的最小公因数,用最小公因数去除这两个商,得到新一级的两个商;
第三步:
以此类推,直到这两个商为互质数(即两个商只有公因数1)为止;
第四步:
将所有的公因数及最后的两个商相乘,所得积就是我们要求的两个数的最小公倍数。
例:
甲数=2X3X7XA,乙数=2X5X7XA,请问当A=()时,甲乙两数的最大公因(约)数是42。
A.2B.3C.5D.7
题:
求96,30,132的最小公倍数
1.30=2X3X52.96=25X53.132=22X3X11
所以【96,30,132】=25X3X5X11=5280
题:
求【150,42】
因为(150,42)=21所以【150,42]=150X42-21=210
题:
把一张长60厘米、宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米
数的小正方形,且无剩余,最少可以剪成多少块?
解:
(60,40)=20……这是小正方形的边长。
(60-20)X(40-20)=6(块)
或用面积计算:
(60X40)-(20X20)=6(块)
题:
用长5厘米、宽3厘米的长方形纸片摆成一个正方形(中间无空隙),至少要用多少个长方形纸片?
解:
(5,3)=15(厘米)……这是正方形的边长。
(15-5)X(15-3)=15(个)长方形
如果一个数能被第二个数整除,那么这两个数的最大公因数是第二个数。
几个数公有的倍数,叫做它们的公倍数,其中最小的公倍数,叫做它们的最小公倍数。
说出下列各组数的最小公倍数。
(口答)
第一组:
12和4(12)6和18(18)10和70(70)
倍数关系:
最小公倍数是大数。
最大公因数是小数。
第二组:
3和5(15)7和8(56)1和10(10)
互质关系:
最小公倍数是它们的乘积。
最大公因数是1。
第三组:
6和8(24)12和18(36)10和15(30)
其他关系:
?
?
?
?
?
?
1、两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。
(X)
X)。
2、两个数的积一定是这两个数的最小公倍数。
(X)
3、两个数的最小公倍数一定大于这两个数的最大公因数(
依次是多少?
解答:
采用试除法,一个数能同时被2,3,4,5,6,7,8,9整除,而将这些数一一分解
质因数:
23456789
UU4UU
2553x37真
所以这个数一定能被23x3;xgx-^EXSXBX7=2520整除.
用1993000试除,1993000-2520=790……2200,余2200可以看成不足2520-2200=320,所以在末三位的方格内填入320即可.
我们看到原来的解答中必须要先求出2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数,今天我就这
一个小小的问题和大家做一个简单的交流。
坦白的讲,
234567S9
23夕52x37公3\
求多个数字的最小公倍数用分解质因数不是好方法,不直观,学生不好理解,没办法深
入的应用,例如我让你求12,14,15,16,18,20,21,24,25的最小公倍数呢?
显然很麻烦,尤其对于对于奥数涉足不慎的同学那是一头雾水,有没有咱们小学数学教上的内容就
可以直接解决的这样问题的方法呢?
有,就是短除法。
我们先看一个简单的例子。
求一个同时被6,8,9整除的最小的数。
解答:
用短除法:
3|3J9
145
所以,6,8,9的最小公倍数就是2X3X1X4X3=72
注:
在求解多个数字的最小公倍数的时候,只要其中有两个数字有公约数,就可以提出
来,直至提完为止。
过程中要注意,能约则除,不能约则降。
例如,6和2能约就约,4和
3不能约就直接写下来了。
我们现在求一下12,14,15,16,18,20,21,24,25的最小公倍数吧。
12
14
15
1«
18
20
21
24
25
2
6
r
15
8
9
10
21
12
25
2
i
7
15
4
9
5
21
6
25
i
3
15
2
9
21
3
25
5
1
5
2
3
■
1
25
1
jMR
1
2
3
1
-r
1
5
1
1
1
2
3
1
1
1
所以这些数字的最小公倍数是2X2X2X3X5X7X2X3X5=25200b
可以使用整除法。
一直除到两个数互质,那么所有除数的乘积即最大公约数而最小公倍数则是所有的因子,商相乘
例如64,40
2
|64
40
除以2,
2
|32
20
商32,20
2
|16
10
继续除以2,商16,10
|8
5
继续除以2,商8,5
8,5互质,所以不能再除了显然,2*2*2是最小公约数,最小公倍数2*2*2*8*5=320
和换成多因子相乘是一样的
64=2*2*2*2*2*2
40=2*2*2*5
最小公倍数2*2*2*8*5=320
几种最小公倍数的求法
1、两数相乘法:
如果两个数是互质的关系,最小公倍数即是它们的乘积。
例:
求[5,7]
[5,7]=5X7=35。
2、倍数法:
如果一个数是另一个数的倍数时,最小公倍数即是较大的数。
例:
求[3,9]
[3,9]=9。
3、寻找法:
依次写出两个数的2倍数、3倍数……,一直找到相同的数例:
求[3,7]
3=6,9,12,15,18,21
7=14,21
[3,7]二21
4、分解质因数:
分别写出两数的质因数,将各个因数相乘即是最小公倍数,若因数有相同则取个数较多的相乘。
例:
求[36,370]
36=2X2X3X3(2较多,有2个)
270=2X3X3X3X5(3较多,有3个。
另有1个5)
[36,270]=2X2X3X3X3X5=540
例:
求[6,7,8,9,10]
6=2X3
7=7
8=2X2X2
9=3X3
10=2X5
[6,7,8,9,10]=2X2X2X3X3X5X7=2520
5、公式法:
由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。
即aXb=(a,b)X[a,b]。
所以,求两个数的最小公倍数,就可以先求出它们的最大公约数,然后用上述公式求出它们的最小公倍数。
例:
求[12,18]
12=2X2X3
18=2X3X3
[12,18]=12X18-6=216-6=36
6、短除法:
选出需求最小公倍数组中任意两个数的共同质因数,将所有数都除以该质因数,能除尽的写下商,不能除尽的原数照抄。
如此反复过程,直到商的任意两个数都互质,再将所有的除数和商相乘,即得最小公倍数。
例:
求[6,7,8,9,10]
第一步:
选出6,8,10的共同质因数2,用短除法。
左边是除
数,下面是商,
7、9照抄
2|6,7,8,9,10
i
3,7,4,9,5
第二步:
选出3,9的共同质因数3,用短除法
2|6,7,8,9,10
i
3|3,7,4,9,5
i
1,7,4,3,5
所以2,3是质因数(除数),1,7,4,3,5是商,且任意
个互质,
[6,7,8,9,10]=2X3X1X7X4X3X5=2520
2.甲、乙、丙三班同学去公园划船,甲班49人,乙班56人,丙班42人,把各班同学分别分成小组,分乘若干条小船,使每条船上人数相等,最少要有多少条船?
根据题意,是求三个班人数的最大公约数(这里没法写过程)最大约数是7,所以需要的船的条数是
(49+56+42)/7=21条
甲:
7条;乙:
8条:
丙:
6条共21条
3.三个朋友每人隔不同的天数到图书馆一次,甲3天一次,乙4天一次,丙5天一次,上次三个人是星期二在图书馆相逢,至少还要过多少天才能在图书馆重逢?
重逢时是星期几?
根据题意,这题是求最小公倍数:
最小倍数是60,所以至少要60天才能在图书馆重逢.
60/7=8余4,(没有余数就是还在周二,余1是周三,以此类推,余四是在周六)重逢时是在周六.
4.有两根木料,一根长2015毫米,另一根长755毫米,要把它们锯成同样长的小段,不许有剩余,但每锯一次要损耗1毫米的木料,每小段木料最长可以是多少毫米?
根据题意:
每段最长可以是251毫米
5.有若干名学生上体育课,内容是学习篮球、排球和足球。
规定每二人合用一只排球,每三人合用一只足球,每四人合用一只篮球,共用了26只球。
问有多少名学生。
先求最小公倍数:
2.3.4的最小公倍数是12,这样12个人需要6个排球,4个足球和3个篮球,一共是13个球,也就是说每13个球就要分给12个人.共用了26个球,也就是2个13,也就是12*2=24名,有24名学生.
6.幼儿园买来桃93个,杏123个,桔子150个,分给大班的小朋友,每人要分得一样多,结果桃、李各剩下3个,桔子恰好分完。
大班小朋友最多有几个人?
解:
人数一定是桔子数目的约数,也是桃子和杏的数目去掉3个的约数.即人数是90,120,150的最大公约数,由此可见,大班小朋友30人,每人分到3个桃4杏5个桔.
30个人,分到3个桃,4个杏,5个桔
7.如果我们按每一行十个人排队,那么就有一个人剩下来,如果我们按每行九个人排队,还是有一个人剩下来,如果我们按每一行是八个、七个、六个、五个、四个、三个、两个人排队,都有一个人剩下来,而且我们的总数少于5000人,试问我们一共是几个人。
解:
这几数的最小倍数再加1就是人数了:
最小公倍数是2520,那么人数就应是2521人了.
题目:
甲有9个约数,乙有10个约数,甲乙两数的最小公倍数是2800,求甲乙两数。
解:
通过约数个数公式可知,甲数有9个约数,9=8+1或9=(2+1)^2+1),甲数分解质因数有二种可能:
一种是只有1种质因数a(假设是a),a的指数是8;二种是有2种质因数a、b,指数分别都是2.因为甲、乙的最小公倍数是2800,所以甲是2800的约数,分解质因数2800=2X2X2X2X5X5X7,其中最高指数是4,那么甲数只有1种质因数的情况不符合条件,舍去。
得到甲数含有2种质因数,且指数各是2,得甲=2X2X5X5=100。
同理乙数有10个约数,10=(1+1)X4+1)或10=9+1,可知乙数含有2种质因数,且指数分别是1和4,乙数是2800的约数,得到乙=7X2X2X2X2=112。
答:
甲数是100,乙数是112。
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