线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用.docx

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线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用

线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用

摘要

线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解.

关键词:

线性规划;原问题;对偶问题;转化

LinearProgrammingistheOriginalProblemandtheTransformationof

theDualProblemandApplications

Abstract:

Linearprogramminginoperationalresearchisresearchearlier,rapiddevelopmentandwideapplication,themethodisanimportantbranchofmature,itisoneofthescientificmanagementofauxiliarypeoplemathematicalmethod.Canfromdifferentanglestolinearprogrammingdualproblemforpolicymakerstoprovidemorescientifictheorybasis.Thisarticlemainlyprobesintothelinearprogrammingproblemandtherelationshipbetweenthedualproblem,linearprogrammingproblemandthetransformationofthedualproblem,theapplicationoflinearprogrammingdualproblem.Thisarticleisthecomplexoftheoriginalproblemintoitsdualproblemtobesolved,simplifiesthelinearprogrammingproblem,enablesustorapidlyfindtheoptimalsolutionoflinearprogrammingproblem.

Keywords:

linearprogramming;theoriginalproblem;thedualproblem;conversion

1引言...........................................................12文献综述.......................................................12.1国内外研究现状........................................................12.2国内外研究现状评价....................................................22.3提出问题..............................................................23预备知识.......................................................2

3.1对称形式的原问题......................................................23.2非对称形式的原问题....................................................3

3.3对偶问题的定义........................................................33.4原问题转化为对偶问题的理论依据........................................44原问题与对偶问题的转化...........................................54.1原问题与对偶问题的关系................................................54.2对称型原问题化为对偶问题..............................................64.3对称型对偶问题转换为原问题............................................94.4非对称型原问题转化为对偶问题.........................................104.5对偶问题的应用.......................................................135结论..........................................................155.1主要发现.............................................................155.2启示.................................................................155.3局限性...............................................................155.4努力方向.............................................................15参考文献.........................................................15

1引言

线性规划问题是运筹学里的一个重要的分支，它的应用比较广泛，因而是辅助人们进行现代科学管理的一种数学方法.随着线性规划理论的逐步深入，人们发现线性规划问题具有对偶性，即每一个线性问题都伴有另外一个线性问题的产生，两者相互配对，密切联系，反之亦然.我们把线性规划的这个特性称为对偶性.于是，我们将其中的一个问题称为原问题，另一个问题则称为它的对偶问题.对偶性不仅仅是数学上的理论问题，而且也是线性规划中实际问题的内在经济联系的必然反映.我们通过对对偶问题的深入研究，发现对偶问题能从不同角度对生产计划进行分析，从而使管理者能够间接地获得更多比较有用的信息.

2文献综述

2.1国内外研究现状

在所查阅到的国内外参考文献[1-15]中，有不少文章是探讨了原问题转化为对偶问题的方法以及对偶性质的证明，并在对偶理论的应用方面有所研究.如郝英奇，胡运权在[1]、[10]中主要介绍了线性规划中原问题与对偶问题中的一些基本概念，探究了实际问题中的数学模型以及解.孙君曼，冯巧玲，孙慧君，李淑君等在[2]中探讨了对偶理论中互补松弛定理在各种情况下的使用方法,使学生更好地掌握互补松弛定理的含义和应用方法.胡运权，郭耀煌，殷志祥等在[3]、[5]中系统的介绍了线性规划中原始问题与对偶问题的两种形式.郭鹏，徐玖平等在[6]、[8]中用不同例子来说明了原问题转化为对偶问题的必要性.崔永新等在[9]、[15]中探讨了对偶问题的相关定理以及对偶问题的可行解和最优解之间的若干性质.李师正，王德胜在[11]中探讨了如何用计算机计算对偶问题的最优解.岳宏志，蔺小林，孙文喻等在[12]、[14]中探讨了对偶理论的证明过程，并用常见的例子来说明对偶理论的基本思想和解题方法.曾波，叶宗文在[13]中主要从经济管理的实际问题中阐述了线性规划的基本概念，基本原理，对偶理论，灵敏度分析等.

1

2.2国内外研究现状评价

文献[1-15]分别探讨了线性规划问题中原问题转化为对偶问题的理论依据以及如何利用对偶理论去解决实际生产问题.文献中主要探讨了对称型的原问题转化为对偶问题的方法.没有全面介绍非对称型的原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，而且文献中对原问题转化为对偶问题的步骤提及甚少，大都一带而过，对应用中存在的问题也未给出详细深入的说明.

2.3提出问题

在线性规划问题中,根据实际生产中具体情况的需要,我们常常要把原问题与它的对偶问题进行转换,以解决一些复杂的线性规划问题,因而对偶问题的应用较为广泛.但大部分书籍都只介绍了线性规划问题的基础知识，并没有给出原问题与对偶问题转换的具体步骤.因此本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间转化的具体步骤，体会不同类型原问题的转化过程.

3预备知识

首先我先简单的介绍一些关于线性规划问题中的原问题和对偶问题的一些基本的知识.

3.1对称形式的原问题

我们将满足下列条件的线性规划问题称之为具有对称形式的线性规划问题.这类问题的变量都具有非负约束，当目标函数求极大值时，它的约束条件都取“,”号，当目标函数求极小值时它的约束条件均取“”号.因而，这类数学模型的特点是:

（1）所,

有的决策变量都是非负的;

（2）所有的约束条件都是“”型;（3）目标函数是最大化,

类型.

[1]一般形式线性规划原问题的对称形式的为:

maxz,cx，cx，？

，cx1122nn

2

ax，ax，？

，ax,bnn11112211,，，，,axax？

axb2112222nn2,,（3.1）s.t？

ax，ax，？

，ax,bm11m22mnnm,

xj？

n,0（,1,2,,）,j,

3.2非对称形式的原问题

不是所有的线性规划问题都具有对称的形式，我们将没有对称形式的线性规划问题

称之为非对称形式的线性规划问题.非对称形式的线性规划问题指的是一般情况下的线

性规划问题，即是目标函数值求极小或者求极大;约束条件;，或

是无限制的随意的组合.例如:

maxz,cx，cx，cx112233

ax，ax，ax,b,1111221331,ax，ax，ax,b,2112222332s.t（3.2）,ax，ax，ax,b3113223333,

x,0,x,0,x无约束123,

3.3对偶问题的定义

[2]定义在运筹学中，关于对线性规划的对偶规划给出的如下.设给定的线性规划为:

maxz,CX

AX,b,s.t（3.2）,X,0,

TT，，C,c,c,？

c，，，，，，其中X,x,x,？

x，，b,b,b,？

b，A,a12n1212ijnmm，n

因此，定义它的对偶问题为:

minw,Yb

3

YA,C,（3.4）s.t,Y,0,

其中是行向量.（3.4）是对偶问题，（3.3）是原问题，（3.3）与（3.4）合，，Y,y,y,？

y12m

在一起我们就称为是一对对称形式的对偶规划问题.

3.4原问题转化为对偶问题的理论依据

[3]表1我们根据线性规划问题中约束条件和变量的对应关系，统一归纳为下所示:

项目原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）

A约束系数矩阵约束系数矩阵的转置

b约束条件右端项向量目标函数中的价格系数向量

目标函数中的价格系数

C约束条件右端项向量

向量

nm

maxz,cxminw,by目标函数,,jjii,1,1ji

（1,？

）有n个j,n,

mx（j,1,？

n）,,jay,c,ijij,,i,1x,0j,,m约束条件变量,,,aycx,0,ijijj,,i,1,,无约束xmj,,ay,c,ijij,i,1,

mi,m,有个（1,？

）

n,ax,b,y（i1,？

m）,,ijjii,j,1,,y0,,in变量约束条件,,,ax,by0,ijjii,,j,1,,无约束yi,n,axb,,,ijjij,1,

表1

4

4原问题与对偶问题的转化

一对对偶的线性规划问题表示了同一个问题的两个侧面，是从两个角度对同一个研究对象提出的极值问题，两类极值的问题都具有相同的目标函数值.我们发现在很多时候求解对偶问题比原问题更加容易，为决策者提供更多的科学理论依据，因此我们常常需要把原问题转化为对偶问题.

4.1原问题与对偶问题的关系

一对对偶的线性规划问题具有相互对应的关系:

，约束条件是“”的形式;对偶问题的

（1）原问题中的目标函数值是max,

目标函数值为min约束条件是“,”，的形式.

（2）原问题的价值系数和对偶问题的右端项对应，原始问题的右端项和对偶问题的价

值系数对应.

n个（3）原问题的变量和对偶问题的约束条件对应，即，原问题中有变量，那么对偶

n个m个m个问题就有约束条件;原问题有约束条件，那么对偶问题就有变量.（4）对偶问题的系数矩阵就是原问题的系数矩阵的转置.

用矩阵表示，原问题为:

maxz,CX

AX,b,s.t.,X,0,

则对偶问题为:

minw,Yb

YA,C,s.t.,Y,0,

需要注意的是，我们所讨论的对偶问题一定是指一对问题，而原问题和对偶问题是相对的，它们互为对偶问题，一个问题可以是原问题也可以是对偶问题.

5

4.2对称型原问题转化为对偶问题

当线性规划问题为一般形式（3.1）时，我们将根据下面的四条规则转换为它的对偶问题:

（1）原问题和它的对偶问题之间的系数矩阵互为转置.

（2）原问题中变量的个数等于它的对偶问题的约束条件的个数.

（3）原问题的右端常数就是对偶问题的目标函数的系数.

（4）原问题的目标函数求极大时，约束条件是“”类型，而它的对偶问题的目标函,

数求极小，约束条件则为“”类型.,

[4]形式因此，它的对偶问题可以转变为如下的:

minw,by，by，？

，by1122mm

ay，ay，？

，ay,c,111212m1m1,ay，ay，？

，ay,c121222m2m2,,s.t.？

ay，ay，？

，ay,c1122nnmnmn,

yi？

n,,0（,1,,）i,

例1生产计划问题

云南一公司加工生产甲，乙两种产品，它的市场前景非常的好，销路也不成问题，各种制约因素主要有技术工人、设备台时和原材料供应.已知制造每吨产品的资源消耗系数、每天的资源限量和售价等参数如表2所示.问题:

云南的这家公司应该怎样制定每天的生产计划，才能使它的产量得到最大,

甲产品乙产品资源限量

人力86320

设备68260

原材料410300

售价（元/公斤）90150

表2

分析:

为了建立此问题的数学模型，第一，要选定决策变量.第二，要确定问题的目标，即用来评价不同方案优劣的标准，这种目标总是决策变量的函数，称为目标函数.

6

第三，我们把要确定达到目标时所受的限制条件，称之为约束条件.这里要决策的问题是，在现有人力、设备、矿石的限制下，如何确定产量使得产值自大,设和分别xx12表示该公司A，B产品的数量，用z表示产值，则每天的产值表示为，z,90x，150x12使其最大化，即，称为目标函数.将制约因素表达出来，即有:

人maxz,90x，150x12

力不超过320工时，为;设备不超过260台时有，;原8x，6x,3206x，8x,2601212材料不超过300公斤有，。

表述限制条件的数学表达式称为约束条件，4x，10x,30012

由此该问题的数学模型可表示为:

maxz,90x，150x12

8x，6x,320,12,6x，8x,260,12s.t.,4x，10x,30012,

x,x,012,

上面的问题是一个典型的求解利润最大化的生产计划的问题.题中，“”是max“maximize”的缩写，意思是“最大化”;“”是”subjectto”单词的缩写，表示s.t.

“满足于?

?

?

?

?

?

”.因此，上述模型的含义是:

在给定的条件限制下，求出使目标函数值达到最大的的值.x,x12

从数学模型中看出，上面的例题具有下面的三个特征:

（1）用一组决策变量表示问题的一个方案，决策变量的一组取值代表一个具体的方案.通常状况下，决策变量的取值是非负的，部分情况下，还要求决策变量取值为整数.

（2）每个问题都有一个目标，而且都可以用决策变量的线性函数表示.根据问题的不同，

要求目标实现最大或者最小.

（3）决策变量都满足一定的约束条件，而且都可以用决策变量的线性等式或者不等式表示.

具备以上三个要素的问题称为线性规划问题，简单地讲，线性规划问题就是求一个线性目标函数在满足一组线性等式（或不等式方程）约束条件下的极值问题.

例2云南一公司加工生产甲，乙两种产品，市场前景非常的很好，销路也不成问题，各种制约因素主要有技术工人、设备台时和原材料供应.已知制造每吨产品的资源

7

消耗系数、每天的资源限量和售价等参数如表3所示.现在公司有意转换经营方式，现在将各种资源出租转让，我们假定市场广阔.问题:

公司转让资源的价格底线是什么,

甲产品乙产品资源限量

人力86320

设备68260

原材料410300

售价（元/公斤）90150

表3

我们将例1叫做原问题，将例2叫做对偶问题.原问题的数学模型是:

maxz,90x，150x12

8x，6x,320,12,6x，8x,260,12s.t.（4.1）,4x，10x,30012,

x,x,012,

分析:

现在在对偶问题中我们需要考虑的是，将例题中的三种资源租让或者转出，

所以，决策的约束应该是不少于原来的收益的，否则这家公司宁愿选择自己继续生产.

条件应该是:

出租制造的产品消耗掉的资源不能少于自己生产该产品的收益;目标函数应该是:

资源转让的收益底线.所以，我们设，，y分别为人力、设备台时和原材yy321

料的转让或者出租的价格.由于生产1公斤A产品需消耗8个工时，6个台时和4公斤的原材料，可创造产值90元.所以出让生产A产品资源至少应带来90元的产值，即8y，6y，4y,90同理，生产1公斤B产品需耗时4个工时，6个台时和8公斤的原123

6y，8y，10y,150材料，可创造产值150元，出让这些资源所获得的销售收益应满足123上面两个不等式保证了“出售”资源所获得的收益不低于自己组织生产所能创造的收益.但是也不能随意要价，否则由于市场的调节作用将会使资源卖不出去.因此目标函数应该是表达所获的收益的底线，即

minw,320y，260y，300y123

解:

从转让资源的方面考虑，得到此问题的数学模型应是

minw,320y，260y，300y123

8

8y，6y，4y,90,123,s.t.6y，8y，10y,150（4.2）,123

y,y,y,0123,

评注:

通过分析我们可以知道，重新得到的对偶问题是一个非常重要的线性规划问题，它对问题的分析又加深了一步，减少了管理工作中的盲目性，为决策者提供了更多的科学依据.原问题与对偶问题之间是相互对应的关系，原问题与对偶问题是从不同的角度对同一问题进行了分析研究.它们之间存在着很密切的关系，这些关系我们将在通过分析可知.从形式上我们可以看到，在原问题中，制订生产计划有3种设备的总工时构成规划的资源约束，可建立3个约束不等式，其中2种要生产的产品将构成决策变量;而在它的对偶问题中，原问题里的3个资源约束所对应的资源估价正好构成了对偶问题的决策变量，原问题中的2个决策变量对应的2种产品则构成了对偶问题的2个约束条件.

小结:

通过分析可以得出，问题和问题具有下面的关系:

（1）问题的（4.1）（4.2）（4.1）目标函数值求极小;问题的目标函数值求极大.

（2）问题有2个决策变量和3（4.2）（4.1）

个主约束条件，问题有3个决策变量和2个主约束条件.即问题中决策变量的（4.2）（4.1）个数和问题中主约束条件的个数相等，问题中的主约束条件的个数和问题（4.2）（4.1）

中的决策变量的个数是相等.原因是，问题的系数矩阵和问题的系数矩（4..2）（4.1）（4.2）阵是互为转置的.（3）问题的价格指标与问题的资源指标对应，且问题的（4.1）（4.2）（4.1）第i个价格第i个资源指标与问题的指标对应.（4）问题的资源指标与问题（4.2）（4.1）

第i个资源第i个价格的价格指标对应，且问题的指标与问题的指标对（4.2）（4.1）（4.2）

（4.1）（4.2）应.（5）问题的主约束条件是“”型的约束条件;而问题的主约束条件是,

“”型的约束条件.,

4.3对称型对偶问题转换为原问题

对偶理论中关于线性规划问题里，对偶问题的对偶就是原问题.设原问题为:

9

maxz,CX

AX,b,（4.3）s.t.,X,0,

则对偶问题为:

minw,Yb

YA,C,（4.4）s.t.,Y,0,

而对偶问题的对偶为:

maxf,CZ

AZ,b,（4.5）s.t.,Z,0,

由此可见，线性规划问题（4.3），（4.5）的形式是完全一致，因而，原问题和它的对偶问题是互为对偶的关系，也即是对偶问题的对偶就是原问题.

4.4非对称型的原问题转化为对偶问题

线性规划有时以非对称型出现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题，将是下面要讨论的问题.

在非对称形式的规划问题中，可以按照下面的对应规则直接给出它的对偶问题:

（1）将线性规划问题统一为“max,,”或“”的形式，而其中的等式约束按照min,,

下面

（2），（3）中的方法进行处理.

（2）若原问题的某个约束条件时等式约束，则对偶问题中与此约束对应的那个变量取值没有非负限制的.

（3）若原问题的某个变量的值没有非负限制，则在它的偶问题中与此变量对应的约束条件是等式约束.

下面对于规则

（2）做一些必要的说明，对于规则（3）可以给出类似的证明设原问题中的第一个约束是等式:

ax，？

，ax,b1111nn1

那么，此等式与下面的两个不等式等价:

10

ax，？

，ax,b1111nn1

ax，？

，ax,b1111nn1这样，原问题可以写成

maxz,cx，？

，cx11nn

ax，？

，ax,bnn11111,,ax,？

ax,,bnn11111,,s.t.？

ax，？

，ax,bmmnnm11,

0,1,2,？

x,j,m,j,

因为就转换为对称形式，所以可以直接写出对偶问题

'''minw,by,by，by，？

，by111122mm

''',ay,ay，？

，ay,c11111m1m11,'''ay,ay，？

，ay,c,12121m2m11,s.t.？

'''ay,ay，？

，ay,c1n1n1mnm11,

''',y,y,y,？

y,0,y没有非负限制112m1,

'''这里，我们把看作,，于是没有限制，规则

（2）的说明完毕.将非对称yy,y,y1111

[5]情形的线性规划问题转换为对称形式时可能会有以下几种:

（1）目标函数的转换