七上第六章章节复习教案.docx
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七上第六章章节复习教案
主题
第六章章节复习
学习目标
1、总结本章重点知识
2、熟悉本章重点题型
教学内容
互动探索
1、上次课后巩固作业复习;
2、互动探索
本节课开始第六章的总复习,先用几个小题目检测一下大家的掌握情况,看谁速度最快,准确率最高!
1.如图,在直线l上有A、B、C三点,则图中线段共有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
【分析】根据线段的概念求解.
【解答】解:
图中线段有AB、AC、BC这3条,
故选:
C.
2.如图,田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是( )
A.垂线段最短
B.经过一点有无数条直线
C.经过两点,有且仅有一条直线
D.两点之间,线段最短
【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度,从而确定答案.
【解答】解:
∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度,
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间,线段最短,
故选D.
3.如图
(一),为一条拉直的细线,A、B两点在上,且:
=1:
3,:
=3:
5.若先固定B点,将折向,使得重迭在上,如图
(二),再从图
(二)的A点及与A点重迭处一起剪开,使得细线分成三段,则此三段细线由小到大的长度比为何?
( )
A.1:
1:
1B.1:
1:
2C.1:
2:
2D.1:
2:
5
【分析】根据题意可以设出线段OP的长度,从而根据比值可以得到图一中各线段的长,根据题意可以求出折叠后,再剪开各线段的长度,从而可以求得三段细线由小到大的长度比,本题得以解决.
【解答】解:
设OP的长度为8a,
∵OA:
AP=1:
3,OB:
BP=3:
5,
∴OA=2a,AP=6a,OB=3a,BP=5a,
又∵先固定B点,将OB折向BP,使得OB重迭在BP上,如图
(二),再从图
(二)的A点及与A点重迭处一起剪开,使得细线分成三段,
∴这三段从小到大的长度分别是:
2a、2a、4a,
∴此三段细线由小到大的长度比为:
2a:
2a:
4a=1:
1:
2,
故选B.
精讲提升
1、线段,射线,直线
名称
不同点
联系
共同点
延伸性
端点数
线段
不能延伸
2
线段向一方延长就成射线,向两方延长就成直线
都是直的
射线
只能向一方延伸
1
直线
可向两方无限延伸
无
2、点、直线、射线和线段的表示
在几何里,我们常用字母表示图形。
一个点可以用一个大写字母表示,如点A
一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示,如直线l,或者直线AB
一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示(端点字母写在前面),如射线l,射线AB
一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示,如线段l,线段AB
3、线段的中点:
点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。
M是线段AB的中点
AM=BM=
AB(或者AB=2AM=2BM)
4、角:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,两条射线的公共端点叫做这个角的顶点,这两条射线叫做这个角的边。
或:
角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
5、角的表示:
①用数字表示单独的角,如∠1,∠2,∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ,∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角,如∠B,∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角,如∠BAD,∠BAE,∠CAE等。
注意:
用三个大写英文字母表示角时,一定要把顶点字母写在中间,边上的字母写在两侧。
用一副三角板,可以画出15°,30°,45°,60°,75°,90°,105°,120°,135°,150°,165°
6、角的度量
1°=60’,1’=60”
角的度量有如下规定:
把一个平角180等分,每一份就是1度的角,单位是度,用“°”表示,1度记作“1°”,n度记作“n°”。
把1°的角60等分,每一份叫做1分的角,1分记作“1’”。
把1’的角60等分,每一份叫做1秒的角,1秒记作“1””。
7、角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
OB平分∠AOC
∠AOB=∠BOC=
∠AOC(或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC)
8、余角和补角
①如果两个角的和是一个直角,这两个角叫做互为余角,简称互余,其中一个角是另一个角的余角。
用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°,那么∠α与∠β互余;反过来,如果∠α与∠β互余,那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角,这两个角叫做互为补角,简称互补,其中一个角是另一个角的补角。
用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°,那么∠α与∠β互补;反过来如果∠α与∠β互补,那么∠α+∠β=180°
③同角(或等角)的余角相等;同角(或等角)的补角相等。
9、对顶角
1一对角,如果它们的顶点重合,两条边互为反向延长线,我们把这样的两个角叫做互为对顶角,其中一个角叫做另一个角的对顶角。
注意:
对顶角是成对出现的,它们有公共的顶点;只有两条直线相交时才能形成对顶角。
②对顶角的性质:
对顶角相等
名称
图形及表示法
不同点
联系
共同点
延伸性
端点数
与实物联系
线段
不能延伸
线段向一方延长就成射线,向两方延长就成直线
都是直的线
射线
只能向一方延伸
直线
可向两方延伸
无
点和直线的位置关系有两种:
①点在直线上,或者说直线经过这个点。
②点在直线外,或者说直线不经过这个点。
线段的性质
(1)线段公理:
两点之间的所有连线中,线段最短。
(2)两点之间的距离:
两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。
(3)线段的中点到两端点的距离相等。
(4)线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。
(5)线段的比较:
1.目测法2.叠合法3.度量法
直线的性质
(1)直线公理:
经过两个点有且只有一条直线。
(2)过一点的直线有无数条。
(3)直线是是向两方面无限延伸的,无端点,不可度量,不能比较大小。
(4)直线上有无穷多个点。
(5)两条不同的直线至多有一个公共点。
题型一:
线段、射线、直线
1、如图,河的两岸l1与l2相互平行,A、B是l1上的两点,C、D是l2上的两点,某人在点A处测得∠CAB=90°,∠DAB=30°,再沿AB方向前进20米到达点E(点E在线段AB上),测得∠DEB=60°,求C、D两点间的距离.
【分析】直接利用等腰三角形的判定与性质得出DE=AE=20,进而求出EF的长,再得出四边形ACDF为矩形,则CD=AF=AE+EF求出答案.
【解答】解:
过点D作l1的垂线,垂足为F,
∵∠DEB=60°,∠DAB=30°,
∴∠ADE=∠DEB﹣∠DAB=30°,
∴△ADE为等腰三角形,
∴DE=AE=20,
在Rt△DEF中,EF=DE•cos60°=20×=10,
∵DF⊥AF,
∴∠DFB=90°,
∴AC∥DF,
由已知l1∥l2,
∴CD∥AF,
∴四边形ACDF为矩形,CD=AF=AE+EF=30,
答:
C、D两点间的距离为30m.
2.如图,点C在线段AB上,AC=6cm,MB=10cm,点M、N分别为AC、BC的中点.
(1)求线段BC、MN的长;
(2)若C在线段AB的延长线上,且满足AC﹣BC=bcm,M、N分别是线段AC、BC的中点,求MN的长度.
【分析】
(1)根据M是AC的中点得MC=3cm,由MB=10cm可得BC=7cm,再根据N为BC的中点可得CN的长,继而可得答案;
(2)由M是AC中点,N是BC中点可得MC=AC、NC=BC,再根据MN=MC﹣NC即可得.
【解答】解:
(1)∵AC=6cm,M是AC的中点,
∴AM=MC=AC=3cm,
∵MB=10cm,
∴BC=MB﹣MC=7cm,
∵N为BC的中点,
∴CN=BC=3.5cm,
∴MN=MC+CN=6.5cm;
(2)如图,
∵M是AC中点,N是BC中点,
∴MC=AC,NC=BC,
∵AC﹣BC=bcm,
∴MN=MC﹣NC
=AC﹣BC
=(AC﹣BC)
=b(cm).
3、如图所示,线段AB上的点数与线段的总数有如下关系:
如果线段AB上有3个点时,线段总数共有3条,如果AB上有4个点时,线段总数共有6条,如果线段AB上有5个点时,线段总数共有10条,….
(1)当线段AB上有6个点时,线段总数共有多少条?
(2)当线段AB上有n个点时,线段总数共有多少条?
(用含n的式子表示)
(3)当n=100时,线段总数共有多少条?
【分析】
(1)根据AB上有3个点时,线段总数共有3条,如果AB上有4个点时,线段总数共有6条,如果线段AB上有5个点时,线段总数共有10条,可总结出规律,从而得出当线段AB上有6个点时,线段总数;
(2)根据
(1)可得出当线段AB上有n个点时,线段总数;
(3)将n=100,代入
(2)的关系式即可得出答案.
【解答】解:
(1)AB上有3个点时,线段总数共有3=条;
AB上有4个点时,线段总数共有6=条;
AB上有5个点时,线段总数共有10=条;
…
AB上有n个点时,线段总数共有:
,
故当线段AB上有6个点时,线段总数共有=15条;
(2)当线段AB上有n个点时,线段总数共有:
;
(3)当n=100时,线段总数共有=4950条.
题型二:
角
1.如图,海岛C在海岛B的北偏西48°方向,且∠ACB等于95°,由图形求出海岛C在海岛A岛的什么方向.
【分析】作CF∥AD,则AD∥CF∥BE,根据平行线的性质可得∠ACF=∠DAC,∠BCF=∠CBE,据此即可求得∠DAC的度数,从而求解.
【解答】解:
作CF∥AD,则AD∥CF∥BE.
∵AD∥CF,
∴∠ACF=∠DAC,
同理∠BCF=∠CBE=48°,
∴∠DAC=∠ACB﹣∠BCF=95°﹣48°=47°,
则北偏东47°方向.
故答案是:
北偏东47°.
2.如图,在A、B两处之间要修一条笔直的公路,从A地测得公路走向是北偏东46°,公司要求A、B两地同时开工,并保证若干天后公路准确接通.
(1)B地修公路的走向应该是 南偏西46° ;
(2)若公路AB长12千米,另一条公路BC长6千米,且BC的走向是北偏西44°,试求A到公路BC的距离?
【分析】根据方位角的概念,图中给出的信息,再根据已知转向的角度求解.
【解答】解:
(1)由两地南北方向平行,根据内错角相等,可知B地所修公路的走向是南偏西46°.
(2)∵∠ABC=180°﹣∠ABG﹣∠EBC=180°﹣46°﹣44°=90°,
∴AB⊥BC,
∴A地到公路BC的距离是AB=12千米.
故答案为:
南偏西46°.
3.如图,是小明家(图中点O)和学校所在地的简单地图,已知OA=2cm,OB=2.5cm,OP=4cm,C为OP的中点.
①请用距离和方位角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置;
②若学校距离小明家400m,那么商场和停车场分别距离小明家多少米?
【分析】①根据方位角定义及图中线段的长度即可得知;
②根据学校距离小明家400m而图中对应线段OA=2cm可知图中1cm表示200m,再根据OB、OP的长即可得.
【解答】解:
①商场在小明家西偏北60°方向,距离2.5cm位置,
学校在小明家东偏北45°方向,距离2cm位置,
公园在小明家东偏南30°方向,距离2cm位置,
停车场在小明家东偏南30°方向,距离4cm位置;
②∵学校距离小明家400m,且OA=2cm,
∴图中1cm表示200m,
∴商场距离小明家2.5×200=500m,
停车场距离小明家4×200=800m.
.
题型三:
余角、补角、对顶角
1、如图,直线AB与CD相交于点O,∠AOM=90°.
(1)如图1,若OC平分∠AOM,求∠AOD的度数;
(2)如图2,若∠BOC=4∠NOB,且OM平分∠NOC,求∠MON的度数.
【分析】
(1)根据角平分线的定义求出∠AOC=45°,然后根据邻补角的定义求解即可;
(2)设∠NOB=x°,∠BOC=4x°,根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=∠CON,再根据∠BOM列出方程求解x,然后求解即可.
【解答】解
(1)∵∠AOM=90°,OC平分∠AOM,
∴∠AOC=∠AOM=×90°=45°,
∵∠AOC+∠AOD=180°,
∴∠AOD=180°﹣∠AOC=180°﹣45°=135°,
即∠AOD的度数为135°;
(2)∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°,∠BOC=4x°,
∴∠CON=∠COB﹣∠BON=4x°﹣x°=3x°,
∵OM平分∠CON,
∴∠COM=∠MON=∠CON=x°,
∵∠BOM=x+x=90°,
∴x=36°,
∴∠MON=x°=×36°=54°,
即∠MON的度数为54°.
2、如图,直线AB.CD相交于点O,OE平分∠BOC,∠COF=90°.
(1)若∠BOE=70°,求∠AOF的度数;
(2)若∠BOD:
∠BOE=1:
2,求∠AOF的度数.
【分析】
(1)根据角平分线的定义求出∠BOC的度数,根据邻补角的性质求出∠AOC的度数,根据余角的概念计算即可;
(2)根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可.
【解答】解:
(1)∵OE平分∠BOC,∠BOE=70°,
∴∠BOC=2∠BOE=140°,
∴∠AOC=180°﹣140°=40°,又∠COF=90°,
∴∠AOF=90°﹣40°=50°;
(2)∵∠BOD:
∠BOE=1:
2,OE平分∠BOC,
∴∠BOD:
∠BOE:
∠EOC=1:
2:
2,
∴∠BOD=36°,
∴∠AOC=36°,
又∵∠COF=90°,
∴∠AOF=90°﹣36°=54°.
3、如图,直线AB、CD、EF都相交于O,AB⊥CD,∠EOD=128°19′,求∠BOF和∠AOF的度数.
【分析】因为AB⊥CD,得出∠AOD=∠BOD=90°,再由∠EOD=128°19′,得出∠AOE,求得∠BOF,进一步求出∠DOF,得出∠AOF的度数.
【解答】解:
∵AB⊥CD,
∴∠AOD=∠BOD=90°,
∴∠BOF=∠AOE=∠EOD﹣∠AOD=128°19′﹣90°=38°19′,
∴∠DOF=∠BOD﹣∠BOF=90°﹣38°19′=51°41′,
∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°+51°41′=141°41′.
题型四:
平行
1、
(1)画线段AC=30mm(点A在左侧);
(2)以C为顶点,CA为一边,画∠ACM=90°;
(3)以A为顶点,AC为一边,在∠ACM的同侧画∠CAN=60°,AN与CM相交于点B;量得AB= 60 mm;
(4)画出AB中点D,连接DC,此时量得DC= 30 mm;请你猜想AB与DC的数量关系是:
AB= 2 DC
(5)作点D到直线BC的距离DE,且量得DE= 15 mm,请你猜想DE与AC的数量关系是:
DE= AC,位置关系是 平行 .
【分析】
(1)借助直尺作图;
(2)利用量角器作图;
(3)利用量角器测得∠CAN=60°,然后根据三角函数求得AB的长度;
(4)利用直尺测出AB的中点D,然后在直角三角形ABC中求斜边AB上的中线CD的长度及斜边AB与斜边上中线CD的关系;
(5)过点D作AC的平行线DE,然后根据平行线的性质(两直线平行,对应线段成比例)来求DE的长度.
【解答】
(1)作法:
①作射线AO;
②在射线AO上截取线段AC=30mm;
(2)作法:
以C为顶点,利用量角器测得∠ACM=90°;
(3)作法:
以A为顶点,利用量角器测得∠CAN=60°;
在直角三角形ABC中,∠CAB=60°,AC=30mm,
∴AB=AC÷cos∠CAB=60mm;
(4)作法:
利用直尺,以A点为起点,量得AD=30mm,点D即为所求;
在直角三角形ABC中,CD为斜边AB上的中线,
∴CD=AB=30mm;
∴AB=2DC;
(5)作法:
过点D作DE∥AC交CM于点E,DE即为所求;
∵DE⊥BC,AC⊥BC,
∵DE∥AC,
∴DE:
AC=BD:
AC=1:
2,
∴DE=AC=15mm.
故答案为:
(3)60;(4)30、2;(5)15、、平行.
2、如图所示,在∠AOB内有一点P.
(1)过P画L1∥OA;
(2)过P画L2∥OB;
(3)用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系?
【分析】用两个三角板,根据同位角相等,两直线平行来画平行线,然后用量角器量一量L1与L2相交的角与∠O的关系为:
相等或互补.
【解答】解:
(1)
(2)如图所示,
(3)L1与L2夹角有两个:
∠1,∠2;∠1=∠O,∠2+∠O=180°,所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补.
【点评】注意∠2与∠O是互补关系,容易漏掉.
3、平面上有7条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点.
(1)请画出满足上述条件的一个图形,并数出图形中各直线之间的交点个数;
(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个);
(3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形,其中n分别为6,21,15?
(4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律?
【分析】从平行线的角度考虑,先考虑六条直线都平行,再考虑五条、四条,三条,二条直线平行,都不平行作出草图即可看出.
从画出的图形中归纳规律即可得到答案.
【解答】解:
(1)如图1所示;交点共有6个,
(2)如图2,3.
(3)当n=6时,必须有6条直线平行,都与一条直线相交.如图4,
当n=21时,必须使7条直线中的每2条直线都相交(即无任何两条直线平行)如图5,
当n=15时,如图6,
(4)当我们给出较多答案时,从较多的图形中,可以总结出以下规律:
①当7条直线都相互平行时,交点个数是0,这是交点最少,
②当7条直线每两条均相交时,交点个数为21,这是交点最多.
题型五:
垂直
1、如图,直线AB,CD相交于O点,OM⊥AB于O.
(1)若∠1=∠2,求∠NOD;
(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠MOD.
【分析】
(1)由已知条件和观察图形可知∠1与∠AOC互余,再根据平角的定义求解;
(2)利用已知的∠BOC=4∠1,结合图形以及对顶角的性质求∠AOC与∠MOD.
【解答】解:
(1)因为OM⊥AB,
所以∠1+∠AOC=90°.
又∠1=∠2,
所以∠2+∠AOC=90°,
所以∠NOD=180°﹣(∠2+∠AOC)=180°﹣90°=90°.
(2)由已知∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°,
所以∠AOC=90°﹣30°=60°,
所以由对顶角相等得∠BOD=60°,
故∠MOD=90°+∠BOD=150°.
2、如图①②所示,将两个相同三角板的两个直角顶点O重合在一起,像图①②那样放置.
(1)若∠BOC=60°,如图①,猜想∠AOD的度数;
(2)若∠BOC=70°,如图②,猜想∠AOD的度数;
(3)猜想∠AOD和∠BOC的关系,并写出理由.
【分析】此题利用余角、周角性质即可求出角的度数.应按照题目的要求,逐步计算.
【解答】解:
(1)∵∠AOB=90°,∠BOC=60°,
∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=90°﹣60°=30°.
又∵∠COD=90°,
∴∠AOD=∠AOC+∠COD
=30°+90°=120°.
(2)∵∠AOB+∠COD+∠BOC+∠AOD=360°,
∠AOB=90°,∠COD=90°,∠BOC=70°,
∴∠AOD=360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣∠BOC
=360°﹣90°﹣90°﹣70°=110°.
(3)猜想:
∠AOD+∠BOC=180°.
理由:
如图①∵∠AOD=∠AOC+∠COD=∠AOC+90°,
∠BOC=∠COD﹣∠BOD=90°﹣∠BOD,∠AOC=∠BOD,
∴∠AOD+∠BOC=180°.
3、如图:
直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB,垂足为O,OF平分∠BOD,∠BOF=15°,求∠COE的度数.
【分析】先利用角平分线的定义求出∠BOD=30°,再利用对顶角相等和余角的定义计算即可.
【解答】解:
∵OF平分∠BOD,∠BOF=15°,
∴∠BOD=2∠BOF=30°,
∵∠AOC与∠BOD是对顶角,
∴∠AOC=∠BOD=30°,
∵EO⊥AB,
∴∠AOC+∠COE=90°,
∴∠COE=90°﹣∠AOC=90°﹣30°=60°.
达标检测
1、如图所示,∠AOB=30°,∠BOC=40°,∠COD=26°,OE平分∠AOD,求∠BOE的度数.
【分析】先根据已知的三个角计算∠AOD的度数,再根据角平分线求得∠AOE的度数,最后根据角的和差关系计算∠BOE的大小.
【解答】解:
∵∠AOB=30°,∠BOC=40°,∠COD=26°,
∴∠AOD=96°,
∵OE平分∠AOD,
∴∠AOE=×96°=48°,
∴∠BOE=∠AOE﹣∠AOB=48°﹣30°=18°
2、如图,已知∠AOB=90°,∠EOF=60°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,求∠COB和∠AOC的度数.
【分析】先根据角平分线,求得∠BOE的度数,再根据角的和差关系,求得∠BOF的度数,最后根据角平分线,求得∠BOC、∠AOC的度数.
【解答】解:
∵∠AOB=90°,OE平分∠AOB
∴∠BOE=45°
又∵∠EOF=60°
∴∠FOB=60°﹣45°=15°
∵OF平分∠BOC
∴∠COB=2×15°=30°
∴∠AOC=∠BOC+∠AOB=30°+90°=120°
3、如图,点O为直线AB上一点,过点O作直线OC,已知∠AOC≠90°,射线OD平分∠AOC,射线OE平分∠BOC,射线OF平分∠DOE.求:
(1)当0°<∠AOC<90°时,求∠FOB+∠DOC的度数;
(2)若∠DOC=3∠COF,求∠AOC的度数.
【分析】
(1)先根据射线OD平分∠AOC,∠AOD=∠COD,射线OE平分∠BOC,得∠COE=∠BOE,再根据∠AOC+∠BOC=180°,得出∠DOE=90°,由射线OF平分∠DOE,得∠DOF=∠EOF=45°,从而求得∠FOB+∠DOC的度数;
(2)设∠AOD=∠COD=x°,分∠AOC为锐角和钝角两种情况,根据∠DOC=3∠COF,得出x的值,即可求得∠AOC的度数.
【解答】解:
如图1,
(1)∵射线OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠COD,
∵射线OE平分∠BOC,
∴∠COE=∠BOE,
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠AOC+∠BOC=90°,
∵OF平分∠DOE,
∴∠DOF=∠EOF=∠DOE
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