韦达定理讲解.ppt
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韦达定理讲解.ppt
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韦达定理执教者:
虞申君执教者:
虞申君一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式:
X1,2=
(1)x2-7x+12=0
(2)x2+3x-4=0(3)2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空:
方程两根两根和X1+x2两根积x1x2x1x2x2-7x+12=0x2+3x-4=02x2+3x-2=0341271-3-4-4-1-2一元二次方程的根与系数的关系:
如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是X1,X2,那么X1+x2=,X1x2=-(韦达定理)注:
能用韦达定理的前提条件为0韦达(韦达(15401603)韦达定理的证明:
X1+x2=+=-X1x2=如果方程x2+px+q=0的两根是X1,X2,那么X1+X2=,X1X2=Pq说出下列各方程的两根之和与两根之积:
1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1,x2。
求:
(1)
(2)x12+x22解:
由题意可知x1+x2=-,x1x2=-3
(1)=
(2)(x1x2)2x12+x222x1x2x12+x22(x1x2)2-2x1x2(-)2-2(-3)6例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。
解:
设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程,得4-2(k+1)+3k=0解这方程,得k=-2由韦达定理,得x123k即2x16x13答:
方程的另一个根是3,k的值是2。
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。
解二:
设方程的另一个根为x1.由韦达定理,得x12=k+1x12=3k解这方程组,得x1=3k=2答:
方程的另一个根是3,k的值是2。
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根,分别根据下列条件求出p和q的值:
(1)x1=1,x2=2
(2)x1=3,x2=-6(3)x1=-,x2=(4)x1=-2+,x2=-2-由韦达定理,得解:
x1+x2=-,x1x2=p=-3(x1+x2)q=3x1x2
(1)p=-9q=6
(2)p=9q=-54(3)p=0q=-21(4)p=12q=-31、已知方程3x219x+m=0的一个根是1,求它的另一个根及m的值。
2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根,求(x1+1)(x2+1)的值。
解:
设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16解:
由韦达定理,得x1+x2=-2,x1x2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=1、韦达定理及其推论2、利用韦达定理解决有关一元二次方程根与系数问题时,注意两个隐含条件:
(1)二次项系数a0
(2)根的判别式01、当k为何值时,方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解:
设方程两根分别为x1,x2(x1x2),则x1-x2=1(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由韦达定理得x1+x2=,x1x2=解得k1=9,k2=-3当k=9或-3时,由于0,k的值为9或-3。
2、设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根,且x12+x22=4,求k的值。
解:
由方程有两个实数根,得即-8k+40由韦达定理得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由X12+x22=4,得2k2-8k+44解得k1=0,k2=4经检验,k2=4不合题意,舍去。
k=0
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