高等数学第六版课后全部答案.docx
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高等数学第六版课后全部答案
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高等数学第六版课后全部答案
习题1011.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L,在点(x,y)处它的线密度为
μ(x,y),用对弧长的曲线积分分别表达:
(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix,Iy;
(2)这曲线弧的重心坐标x,y.解在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds),设(x,y)曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为dIx=y2μ(x,y)ds,dIy=x2μ(x,y)ds.曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为
Ix=∫y2μ(x,y)ds,Iy=∫x2μ(x,y)ds.
LL
ww
w.khd
∫L∫L
和L2,则
2.利用对弧长的曲线积分的定义证明:
如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1
∫Lf(x,y)ds=∫L
n
课
x=
My∫Lxμ(x,y)dsM∫yμ(x,y)ds=,y=x=L.MMμ(x,y)dsμ(x,y)ds
后
曲线L的重心坐标为
1
f(x,y)ds+∫f(x,y)ds.
L2
证明划分L,使得L1和L2的连接点永远作为一个分点,则
∑f(ξi,ηi)Δsi=∑f(ξi,ηi)Δsi+
i=1i=1nn1
n1
答
dMx=yμ(x,y)ds,dMy=xμ(x,y)ds.
令λ=max{Δsi}→0,上式两边同时取极限
λ→0λ→0
lim∑f(ξi,ηi)Δsi=lim∑f(ξi,ηi)Δsi+lim
i=1i=1
即得
∫Lf(x,y)ds=∫L
1
f(x,y)ds+∫f(x,y)ds.
L2
3.计算下列对弧长的曲线积分:
aw
i=n1+1
曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为
案
∑f(ξi,ηi)Δsi.∑f(ξi,ηi)Δsi,
n
n1
λ→0
.co
i=n1+1
为小弧段ds上任一点.
网
m
(1)∫(x2+y2)nds,其中L为圆周x=acost,y=asint(0≤t≤2π);
L
解
∫L(x2+y2)nds=∫0
2π02π
2π
(a2cos2t+a2sin2t)n(asint)2+(acost)2dt
=∫(a2cos2t+a2sin2t)n(asint)2+(acost)2dt
0
L
解L的方程为y=1x(0≤x≤1);
1
ww
w.khd
11
0
课
=∫x1+[(x2)′]2dx+∫x1+(x′)2dx
0
1
后
∫Lxdx=∫Lxdx+∫L
xdx
1
2
=∫x1+4x2dx+∫2xdx=1(55+621).0012
x2+y2L
(4)∫e
ds,其中L为圆周x2+y2=a2,直线y=x及x轴在第一象限内所围成
的扇形的整个边界;
解L=L1+L2+L3,其中
L1:
x=x,y=0(0≤x≤a),
L2:
x=acost,y=asint(0≤t≤π),4L3:
x=x,y=x(0≤x≤2a),2
因而
∫Le
a0
x2+y2
ds=∫e
L1
x2+y2
ds+∫e
L2
=∫e1+0dx+∫
x22
π
4ea0
(asint)+(acost)dt+∫
22
aw
x2+y2
答
解L1:
y=x2(0≤x≤1),L2:
y=x(0≤x≤1).
案
(3)∫xdx,其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;
L
网
∫L(x+y)ds=∫0(x+1x)
1
1+[(1x)′]2dx=∫(x+1x)2dx=2.
0
ds+∫e
L3
=ea(2+πa)2.4
.co
1x2+y2
(2)∫(x+y)ds,其中L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段;
ds,
0
2a2e2x
12+12dx
m
=∫a2n+1dt=2πa2n+1.
(5)∫
Γ
1ds,其中Γ为曲线x=etcost,y=etsint,z=et上相应于t从0变到22x+y+z
2
2的这段弧;dy解ds=(dx)2+()2+(dz)2dtdtdtdt=(etcostetsint)2+(etsint+etcost)2+e2tdt=3etdt,
211ds=∫2t∫Γx2+y2+z20ecos2t+e2tsin2t+e2t3etdt
解Γ=AB+BC+CD,其中
AB:
x=0,y=0,z=t(0≤t≤1),CD:
x=1,y=t,z=2(0≤t≤3),
ww
w.khd
故=∫0dt+∫0dt+∫2t02+12+02dt=9.
000133
∫Γx2yzds=∫ABx2yzds+∫BCx2yzds+∫CDx2yzds
(7)∫y2ds,其中L为摆线的一拱x=a(tsint),y=a(1cost)(0≤t≤2π);
L
解
∫Ly2ds=∫0
2π
=2a3∫(1cost)21costdt=256a3.015
L
(8)∫(x2+y2)ds,其中L为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sinttcost)(0≤t≤2π).dy解ds=(dx)2+()2dt=(atcost)2+(atsint)2dt=atdtdtdt
课
BC:
x=t,y=0,z=2(0≤t≤3),
2π
a2(1cost)2[a(tsint)′]2+[a(cost)′]2dt
∫L
(x2+y2)ds=∫[a2(cost+tsint)2+a2(sinttcost)2]atdt
0
后
2π
答
(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2);
aw
案
(6)∫x2yzds,其中Γ为折线ABCD,这里A、B、C、D依次为点(0,0,0)、
Γ
网
=∫
2
0
3etdt=[3et]2=3(1e2).0222
.co
m
=∫a3(1+t2)tdt=2π2a3(1+2π2).
0
2π
4.求半径为a,中心角为2的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心.解建立坐标系如图104所示,由对称性可知y=0,又
L
答
(1)Iz=∫(x2+y2)ρ(x,y,z)ds=∫(x2+y2)(x2+y2+z2)ds
L
2π
ww
w.khd
LL
0
课
=∫a2(a2+k2t2)a2+k2dt=2πa2a2+k2(3a2+4π2k2).03
(2)M=∫ρ(x,y,z)ds=∫(x2+y2+z2)ds=∫(a2+k2t2)a2+k2dt
=2πa2+k2(3a2+4π2k2),3
2π
x=1M
∫Lx(x2+y2+z2)ds=M∫0
6πak2,3a2+4π2k212πy=1∫y(x2+y2+z2)ds=∫asint(a2+k2t2)a2+k2dtM0ML2=6πak22,3a2+4πk12πz=1∫z(x2+y2+z2)ds=∫kt(a2+k2t2)a2+k2dtM0ML2223πk(a+2πk),=3a2+4π2k23πk(a2+2π2k2)6262故重心坐标为(2πak22,2πak22,).3a+4πk3a+4πk3a2+4π2k2=
aw
1
2π
后
案
解ds=x′2(t)+y′2(t)+z′2(t)dt=a2+k2dt.
网
5.设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acost,y=asint,z=kt,其中0≤1≤2π,它的线密度ρ(x,y,z)=x2+y2+z2,求:
(1)它关于z轴的转动惯量Iz;
(2)它的重心.
0)
acost(a2+k2t2)a2+k2dt
.co
所以圆弧的重心为(
asin
m
x=
Mxasin=1∫xds=1∫acosθadθ=,M2aL2a
ww
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习题1021.设L为xOy面内直线x=a上的一段,证明:
证明设L是直线x=a上由(a,b1)到(a,b2)的一段,则L:
x=a,y=t,t从b1变到b2.于是
∫LP(x,y)dx=0.
证明∫P(x,y)dx=∫P(x,0)dx.
La
b
证明L:
x=x,y=0,t从a变到b,所以
bb
L
解L:
y=x2,x从0变到2,所以
ww
w.khd
56∫L(x2y2)dx=∫0(x2x4)dx=15.
2
(2)∫xydx,其中L为圆周(xa)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第
L
一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行);解L=L1+L2,其中L1:
x=a+acost,y=asint,t从0变到π,L2:
x=x,y=0,x从0变到2a,
因此
∫Lxydx=∫Lxydx+∫Lxydx
12
=∫a(1+cost)asint(a+acost)′dt+∫0dx
00
π
课
后
的一段弧;
答
(1)∫(x2y2)dx,其中L是抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)
=a3(∫sin2tdt+∫sin2tdsint)=πa3.002
ππ
L
(3)∫ydx+xdy,其中L为圆周x=Rcost,y=Rsint上对应t从0到
π的一段弧;
2
aw
2a
案
3.计算下列对坐标的曲线积分:
网
∫LP(x,y)dx=∫aP(x,0)(x)′dx=∫aP(x,0)dx.
.co
m
P(a,t)(da)dt=∫P(a,t)0dt=0.b1dt12.设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到(b,0)的一段直线,
∫LP(x,y)dx=∫b
b2
b2
解
∫L
ydx+xdy=∫2[Rsint(Rsint)+RcostRcost]dt
0
π
=R2∫2cos2tdt=0.
0
π
(4)∫
L
(x+y)dx(xy)dy,其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行);x2+y2
解圆周的参数方程为:
x=acost,y=asint,t从0变到2π,所以
∫L
Γ
后
应θ从0到π的一段弧;
ww
w.khd
=∫(k3θ2a2)dθ=1π3k3πa2.03
π
Γ
(6)∫xdx+ydy+(x+y1)dz,其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的解Γ的参数方程为x=1+t,y=1+2t,z=1+3t,t从0变到1.
一段直线;
课
解
∫Γx2dx+zdyydz=∫0[(kθ)2k+asinθ(asinθ)acosθacosθ]dθ
答
(5)∫x2dx+zdyydz,其中Γ为曲线x=kθ,y=acosθ,z=asinθ上对
π
∫Γ
xdx+ydy+(x+y1)dz=∫[(1+t)+2(1+2t)+3(1+t+1+2t1)]dt
010
=∫(6+14t)dt=13.
(7)∫dxdy+ydz,其中Γ为有向闭折线ABCA,这里的A,B,C
Γ
依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1);解Γ=AB+BC+CA,其中AB:
x=x,y=1x,z=0,x从1变到0,BC:
x=0,y=1z,z=z,z从0变到1,
aw
1
案
2π=12∫[(acost+asint)(asint)(acostasint)(acost)]dta02π=12∫a2dt=2π.a0
.co
(x+y)dx(xy)dyx2+y2
网
m
CA:
x=x,y=0,z=1x,x从0变到1,故
∫Γdxdy+ydz=∫ABdxdy+ydz+∫BCdxdy+ydz+∫CAdxdy+ydz
=∫[1(1x)′]dx+∫[(1z)′+(1z)]dt+∫dx=1.0002
111
到(1,1)的一段弧.解L:
x=x,y=x2,x从1变到1,故
∫L(x22xy)dx+(y22xy)dy
=2∫(x24x4)dx=14015
L
1
ww
w.khd
∫L(x+y)dx+(yx)dy
2
=∫[(y2+y)2y+(yy2)1]dy=34.13
(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段;
解L:
x=3y2,y=y,y从1变到2,故
∫L(x+y)dx+(yx)dy
21
=∫[(3y2+y)y+(y3y+2)1]dy=11
(3)先沿直线从点(1,1)到(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线;解L=L1+L2,其中L1:
x=1,y=y,y从1变到2,L2:
x=x,y=2,x从1变到4,
故
∫L(x+y)dx+(yx)dy
=∫(x+y)dx+(yx)dy+∫(x+y)dx+(yx)dy
L1L2
课
解L:
x=y2,y=y,y从1变到2,故
后
(1)抛物线y=x2上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧;
答
4.计算∫(x+y)dx+(yx)dy,其中L是:
aw
案
网
=∫[(x22x3)+(x42x3)2x]dx
1
1
.co
m
(8)∫(x22xy)dx+(y22xy)dy,其中L是抛物线y=x2上从(1,1)
L
=∫(y1)dy+∫(x+2)dx=14.
11
2
4
(4)沿曲线x=2t+t+1,y=t2+1上从点(1,1)到(4,2)的一段弧.
2
解L:
x=2t2+t+1,y=t2+1,t从0变到1,故
∫L(x+y)dx+(yx)dy
的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功.x=Rcosθ,y=Rsinθ,θ从0变到π,于是场力所作的功为2解已知场力为F=(|F|,0),曲线L的参数方程为
L
后
W=∫Fdr=∫|F|dx=∫2|F|(Rsinθ)dθ=|F|R.
L0
ww
w.khd
则重力所作的功为
ΓΓ
沿直线移到(x2,y2,z2)时重力作的功.
解已知F=(0,0,mg).设Γ为从(x1,y1,z1)到(x2,y2,z2)的直线,
课
6.设z轴与力方向一致,求质量为m的质点从位置(x1,y1,z1)
W=∫Fdr=∫0dx+0dy+mgdz=mg∫dz=mg(z2z1).
z1
7.把对坐标的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy化成对弧长的曲线
L
积分,其中L为:
(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到(1,1);解L的方向余弦cosα=cosβ=cosπ=1,42
故
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
L
=∫[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]ds
L
P(x,y)+Q(x,y)ds.2
(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到(1,1);=∫
aw
π
z2
答
案
.co
=∫[(3t2+t+2)(4t+1)+(t2t)2t]dt=32.035.一力场由沿横轴正方向的常力F所构成,试求当一质量为m
1
网
m
解曲线L上点(x,y)处的切向量为τ=(1,2x),单位切向量为(cosα,cosβ)=eτ=(1,2x),1+4x21+4x2
故
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
P(x,y)+2xQ(x,y)ds.1+4x2
L
(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0,0)到(1,1).
解L的方程为y=2xx2,其上任一点的切向量为
ww
w.khd
=∫[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]ds
LL
=∫[2xx2P(x,y)+(1x)Q(x,y)]ds.
8.设Γ为曲线x=t,y=t2,z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧,
Γ
把对坐标的曲线积分∫Pdx+Qdy+Rdz化成对弧长的曲线积分.解曲线Γ上任一点的切向量为
τ=(1,2t,3t2)=(1,2x,3y),
单位切向量为
课
故
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
后
(cosα,cosβ)=eτ=(2xx2,1x),
答
单位切向量为
(cosα,cosβ,cosγ)=eτ=
∫LPdx+Qdy+Rdz=∫Γ[Pcosα+Qcosβ+Rcosγ]ds
L
=∫
P+2xQ+3yRds.1+4x2+9y2
aw
1(1,2x,3y),1+2x2+9y2
案
τ=(1,
1x),2xx2
.co
=∫
网
m
=∫[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]ds
L
ww
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习题1031.计算下列曲线积分,并验证格林公式的正确性:
(1)(2xyx2)dx+(x+y2)dy,其中L是由抛物线y=x2及y2=x所围成的区域的正向边界曲线;
∫l
∫L(2xyx2)dx+(x+y2)dy
=∫(2xyx2)dx+(x+y2)dy+∫(2xyx2)dx+(x+y2)dy
L1L2
=∫[(2x3x2)+(x+x4)2x]dx+∫[(2y3y4)2y+(y2+y2)]dy
01
1
0
答
而
∫∫(xy)dxdy=∫∫(12x)dxdy=∫0dy∫y
DD
ww
w.khd
所以
∫∫(xy)dxdy=∫lPdx+Qdy.
D
QP
(2)(x2xy3)dx+(y22xy)dy,其中L是四个顶点分别为(0,0)、
∫l
(2,0)、(2,2)、和(0,2)的正方形区域的正向边界.解L=L1+L2+L3+L4,故
∫L(x2xy3)dx+(y22xy)dy
L1L2L3L4
=(∫+∫+∫+∫)(x2xy3)dx+(y22xy)dy
=∫x2dx+∫(y24y)dy+∫(x28x)dx+∫y2dy
0022
2
课
1=∫(y2yy2+y4)dy=1,030
1
2
=∫8xdx+∫4ydy=8,
00
2
2
而
∫∫(xy)dxdy=∫∫(2y+3xy2)dxdy
DD
QP
aw
1y
2
QP
案
11=∫(2x5+2x3+x2)dx∫(2y5+4y4+2y2)dy=1,0030
后
0
0
.co
(12x)dx
网
m
解L=L1+L
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