垂径定理公开课教案.docx

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垂径定理公开课教案

24.1.2垂直于弦的直径

课题

垂直于弦的直径（第一课时）

备课时间

2015-11-25

课型

新授课

授课教师

刘春芳

教

学

目

标

知识与技能

1.研究圆的对称性,掌握垂径定理.

2.学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算和作图问题。

过程与方法

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。

情感态度价值观

在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。

教学重点

垂径定理及应用。

教学难点

垂径定理的证明。

教具

圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件

教

学

过

程

问题与情境

师生行为

备注与修改

创设情境导入新课

你知道赵州桥吗?

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？

怎样求?

学完本节课后就可以解决这个问题了。

两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。

合作交流探究新知

1.圆的对称性

（探究）不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?

由此你能得到圆的什么特性？

2.垂径定理

（思考）如图：

AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。

1这个图形是对称图形吗

2你能发现图中有哪些相等的线段和弧？

请说明理由。

3你能用一句话概括这些结论吗？

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

4你能用几何方法证明这些结论吗？

5你能用符号语言表达这个结论吗？

圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。

教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。

学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。

学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。

教师更正并板书。

教师明确定理中的条件和结论，

垂径定理的内容比较多，且为考察重点，非一课时所能解决，所以此内容最少需两课时来探究。

本节课主要探讨垂径定理。

推论和更深入的应用，放在下一节课进行研究。

灵活应用

提高能力

●简单应用

设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦

心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，已知：

r、a、d、h中的任两个可求其

他两个，这种说法对吗？

说明理由。

从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？

●生活中的应用

如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?

提示：

此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。

●利用垂径定理进行的几何证明

教材第82练习第2题。

简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.

在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。

这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。

此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。

教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。

本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。

小结升华与作业

●小结升华

（1）本节课你学到了哪些数学知识？

（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？

（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？

●作业布置

（1）教材82页练习第1题88页第11题

（2）分层作业

思考：

在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.（有几种情况）

教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自己进行小结，养成梳理知识的习惯。

垂直于弦的直径

教学设计

初中数学

白水县城关一中

刘春芳

垂直于弦的直径

教学设计

教学目标：

1.使学生理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理

3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。

过程与方法：

通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。

情感、态度与价值观：

通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。

教学重点：

垂径定理及应用

教学难点：

垂径定理的理解及其应用

学情分析：

 学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣,并且学过轴对称图形相关知识。

同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的。

但在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。

在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。

教学用具：

圆形纸片，多媒体

教学过程：

一、创设情景：

你知道赵州桥吗?

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m,拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？

怎样求?

学完本节课后就可以解决这个问题了

二、引入新课---揭示课题：

1、运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论：

（1）圆是轴对称图形

（2）经过圆心的每一条直线（注：

不能说直径）都是它的对称轴

（3）圆的对称轴有无数条

（4）圆也是中心对称图形.（出示教具演示）。

2、再请同学们在自己作的圆中作图：

（1）任意作一条弦AB；

（2）作直径CD垂直弦AB垂足为M。

（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD垂直于弦AB的，并设问：

垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？

三、讲解新课---探求新知

（1）实验--观察--猜想：

　让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：

在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于M.那么AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.

（2）证明：

引导学生用“叠合法”证明此定理

（3）对定理的结构进行分析

（4）结合图形用几何语言表述

（5）垂径定理的变式

四、定理的应用：

●简单应用

例1：

（2008哈尔滨中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1,则弦AB的长是多少？

从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？

归纳：

求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,半径r、弦半a/2、弦心距d,三者构造出一个直角三角形，知道两个量可用勾股定理求出第三个量。

●生活中的应用

例题2一千三百年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形.已知桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径长（精确到0.1米）.

五、小结升华

（4）本节课你学到了哪些数学知识？

（5）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？

（6）这些方法中你又用到了哪些数学思想？

六、作业布置

（1）教材82页练习第1题88页第11题

（2）分层作业

思考：

在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.（有几种情况）