五年级下册数学试题奥数专题牛吃草问题全国通用.docx
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五年级下册数学试题奥数专题牛吃草问题全国通用
牛吃草问题
知识要点
一、定义
英国大科学家牛顿在他所著的《普通算术》一书中曾提出一个有趣的数学问题(格尔为牧场面积单位):
有三片牧场,场上的草长得一样密,并且长的速度一样快,它们的面积分别是三又三分之一格尔、10格尔和24格尔。
第一片牧场的草饲养12头牛可以吃4个星期,第二片牧场的草饲养21头牛可以吃9个星期,问在第三片牧场上放多少头牛可以吃18个星期?
这个问题被人们称为牛顿问题,也就是我们平常说的牛吃草问题。
二、特点
牛吃草问题其实就是消长问题,问题的主要特征是:
同一个数量一方面增加,另一方面减少,朝两个方向同时变化。
如牛吃草问题中,草生长使草量匀速增加,牛吃草却使草量逐渐减少。
在“牛吃草”问题中,因为草每天都在生长,草的数量在不断变化,也就是说这类问题的工作总量是不固定的,一直在均匀变化。
数量关系分析:
在牛吃草问题中,我们一般把一头牛一天的吃草量看作一个单位的草量,作为牧草的计量单位。
在这个问题中,主要研究牧场原有草量、每日新增草量(即牧草生长速度)、牛的饲养数量、饲养时间,这四个数量之间的关系。
一头牛一天吃一个单位的草量。
如果养牛头数等于或小于每日新增草量,则无需动用牧场原有草量,这个牧场就会像个聚宝盆一样,供这些牛永远吃下去,草永远吃不完;
如果养牛头数大于每日新增草量,我们可以理解为,每日新增的草先喂养了同等数量的牛,而多出的牛则需要吃牧场原有的草,牧场中原有的草可以供这些多出的牛吃多少天,这个牧场草就可以供这些牛吃多少天。
(原有的草吃完了,新增草未生长,就理解为牧场的草吃完了。
)
此类问题中的基本数量关系有:
牛的头数×对应的吃的天数=总草量;
牛的头数-每日新增草量数=多出牛的头数;
每日新增草量=(较长时间总草量-同一牧场较短时间总草量)÷相差天数;
原有草量=对应总草量-每日新增草量×天数;
吃的天数=原有草量÷多出牛的头数;
牛的头数=原有草量÷天数+每日新增草量数。
解题方法介绍:
上面牛顿提出的牛吃草问题,比较复杂(三片面积不同的牧场),需要进行几次转化解题。
本讲只学习较简单的牛吃草问题(同一片牧场),及数量关系、解题方法与之相似的消长问题。
解题时,一般要先根据题中的条件(每日消耗数量等),先求出每日新增数量和原有数量,再根据上面的数量关系,求出对应的时间或个体数量。
典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
由于吃的天数不同,草又是天天在生长,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。
解决牛吃草问题常用的四个基本公式,分别是:
设定一头牛一天吃草量为“1”
1草的生长速度=(对应的牛头数×吃的较多的天数-相应的牛头数×吃的较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃得较少的天数)
2原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数
3吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度)
4牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度
由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。
正由于这个不变量,才能导出上面的四个基本公式。
牛吃草的问题经常给出不同头数的牛吃同一片草地,这地既有原有的草,又有每天新长出的草。
由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
解题的关键:
是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有的草量,进而解答问题。
解决多块草地的方法
多块草地的“牛吃草”问题,一般情况下找多块草地的最小公倍数,这样可以减少运算难度,但如果数据较大时,我们一般把面积统一为“1”相对简单些。
精解名题
例1牧场上长满牧草,每天都匀速生长。
这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。
问可供21头牛吃几天?
举一反三
【思考1】一片草地,每天都匀速长出青草,如果可供24头牛吃6天,或20头牛吃10天,那么可供18头牛吃几天?
例2因天气寒冷,牧场上的草不仅不生长,反而每天以均匀的速度在减少。
已知牧场上的草可供33头牛吃5天,可供24头牛吃6天,照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10天?
举一反三
【思考2】由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以固定的速度在减少,经计算,牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天。
那么,可供11头牛吃几天?
总结:
想办法从变化中找到不变的量。
牧场上原有的草是不变的,新长出的草虽然在变化,但是因为是匀速生长,所以每天新长出的草量也是不变的。
正确计算草地上原有的草及每天新长出的草,问题就会迎刃而解。
知识衍变
例3两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。
白天往下爬,两只蜗牛的爬行速度是不同的,一只每天爬行20分米,另一只每天爬行15分米。
黑夜往下滑,两只蜗牛滑行的速度却是相同的,结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底,另一只恰好用了6个昼夜到达井底。
那么,井深多少米?
例4一条船有一个漏洞,水以均匀的速度漏进船内,待发现时船舱内已进了一些水。
如果用10人舀水,3小时舀完。
如果只有5个人舀水,要8小时才能舀完。
现在要想在2小时舀完,需要多少人舀水?
举一反三
【思考4】一个水池,池底有泉水不断涌出,用10部抽水机20小时可以把水抽干,用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。
那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干?
例5有一牧场长满牧草,牧草每天匀速生长,这个牧场可供17头牛吃30天,可供19头牛吃24天,现在有若干头牛在吃草,6天后,4头牛死亡,余下的牛吃了2天将草吃完,问原来有牛多少头?
举一反三
【思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。
这片青草可供27头牛吃6天,或供23头牛吃9天,现有一群牛吃了4天后卖掉2头,余下的牛又吃了4天将草吃完。
这群牛原来有多少头?
例6有三块草地,面积分别为5公顷,6公顷和8公顷。
每块地每公顷的草量相同而且长的一样快,第一块草地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天。
第三块草地可供19头牛吃多少天?
备选例题
1、 画展馆9时开门,但是早有人前来排队等候入场,从第一个观众到起,每分钟来的观众人数一样多。
如果开3个入场口,9时9分就不再有人排队;如果开5个入场口,9时5分就没有人排队,问第一个观众到达的时间是几时几分?
2、某水库建有10个泄洪闸,现在水库的水位已经超过安全警戒线,上游的河水还在按一不变的速度增加。
为了防洪,需开闸泄洪。
假设每个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸,30小时水位降到安全线,若打开两个泄洪闸,10小时水位降到安全线。
现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线,问:
至少要同时打开几个闸门?
巩固练习
1.一块牧场长满了草,每天均匀生长。
这块牧场的草可供10头牛吃40天,供15头牛吃20天。
可供25头牛吃__天。
()
A.10B.5C.20
2.一块草地上的草以均匀的速度生长,如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光,而14只羊则要10天吃光。
那么想用4天的时间,把这块草地的草吃光,需要__只羊。
()
A.22B.23C.24
3.经测算,地球上的资源可供100亿人生活100年,或可供80亿人生活300年。
假设地球新生成的资源增长速度是一样的。
那么,为了满足人类不断发展的要求,地球最多只能养活()亿人。
4.快、中、慢三车同时从A地出发,追赶一辆正在行驶的自行车。
三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。
快车追上自行车用了6小时,中车追上自行车用了10小时,慢车追上自行车用()小时。
5.一水池中原有一些水,装有一根进水管,若干根抽水管。
进水管不断进水,若用24根抽水管抽水,6小时可以把池中的水抽干,那么用16根抽水管,()小时可将可将水池中的水抽干。
6.某码头剖不断有货轮卸下货物,又不断用汽车把货物运走,如用9辆汽车,12小时可以把它们运完,如果用8辆汽车,16小时可以把它们运完。
如果开始只用3辆汽车,10小时后增加若干辆,再过4小时也能运完,那么后来增加的汽车是()辆。
7.有一片草地,每天都在匀速生长,这片草可供16头牛吃20天,可供80只羊吃12天。
如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天?
8.现有速度不变的甲、乙两车,如果甲车以现在速度的2倍去追乙车,5小时后能追上,如果甲车以现在的速度去追乙车,3小时后能追上。
那么甲车以现在的速度去追,几小时后能追上乙车?
自我测试
1、牧场上的牧草每天均匀生长,这片草地可供17头牛吃6天,可供13头牛吃12天.问多少头牛4天把草地的草吃完?
2、有-牧场,21头牛20天可将草吃完,25头牛则15天可将草吃完,现有牛若干头,吃6天后卖了4头,余下的牛再吃2天则将草吃完,问原有牛多少头?
3、22头牛,吃33公亩牧场的草54夭可吃尽,17头牛吃同样牧场28公亩的草,‘84天可吃尽.请问几头牛吃同样牧场40公亩的草,24天可吃尽?
4、某火车站检票口,在检票开始前已有-些人排队,检票开始后每分钟有10人前来排队检票,-个检票口每分钟能让25人检票进站.如果只有-个检票口,检票开始8分钟后就没有人排队;如果有两个检票口,那么检票开始后多少分钟就没有人排队?
5、甲、乙、丙三个仓库,各存放着同样数量的大米,甲仓库用皮带输送机-台和12个工人5小时把甲仓库搬空,乙仓库用皮带输送机-台和28个工人3小时把乙仓库搬空.丙仓库有皮带输送机2台,如果要2小时把丙仓库搬空,同时还需要多少名工人?
6、牧场上-片牧草,可供27只羊吃6天;或者供23只羊吃9天,如果牧草每周匀速生长,可供21只羊吃几天?
7、-片牧草,每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者可供80只羊吃12天.如果l头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么lO头牛与60只羊-起吃可以吃多少天?
8、陕北某村有-块草场,假设每天草都均匀生长,这片草场经过测算可供100只羊吃200天,或可供150只羊吃100天.问:
如果放牧250只羊可以吃多少天?
放牧这么多羊对吗?
为防止草场沙化,这片草地最多可以放牧多少只羊?
(注意:
要防止草场沙化就应该使草场的草永远吃不完)
9、一块草地可供58头羊吃7天,或供50头羊吃9天,如果这片草地的生长量每天相等,这片草地最多能养活多少头羊?
10、 一片牧草,每天生长速度相同,现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者供80只羊吃12天,如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量,那么这批牧草可供10头牛与60只羊一起吃多少天?
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