三角函数及解三角形知识点总结.docx

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三角函数及解三角形知识点总结

1.任意角的三角函数的定义：

设〉是任意一个角，p（x,y）是〉的终

边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x2r2.o,

位置无关。

2.三角函数在各象限的符号：

（一全二正弦，三切四余弦）

+

Li

+——

L

+_

-+

■

——

+-

■

sin：

cos：

tan：

3.同角三角函数的基本关系式:

（2）商数关系：

tan-E屮一、

cos。

（用于切化弦）

（1）平方关系:

222

sin工cos■■-1,1tan:

1

cos2:

※平方关系一般为隐含条件，直接运用。

注意“1”的代换

4.三角函数的诱导公式k二.一

诱导公式（把角写成2…形式，利用口诀：

奇变偶不变，符

5.特殊角的三角函数值

度

0s

30c

A

45“

A

60“

90

120c

A

135“

150s

180c

270°

360

弧

0

31

JI

JI

2n

3兀

5兀

ji

3兀

2兀

度

6

4

3

2

3

4

6

2

sin。

0

1

竝

迈

1

旦

1

0

1

0

2

2

2

2

2

2

cosa

亦

1

1

念

力

1

0

2

_1

0

1

2

2

2

2

2

tan«

0

3

1

无

-品

-1

73

3

0

无

0

6.三角函数的图像及性质

y=sinx

y=cosx

y=

tanx

i

Jv

k

t

y

jr

申

/；

图

/

T、3Ji

1\K~2~2Ji

、严r

!

|

»

-r-

厶

y\

”ItT

像

~0

|jlL*■

1viyx

0

\（

Y1

TT

疋

义

T

Jl1

R

R

匕

x式k兀

I

2J

域

值

1-1,1]

1-1,1]

R

域

Jt

当

x=

=2"+7（^Z）

当x=2k兀（"Z）时

最

时

ymax=1；

BrT~r^.曰.f,/古rU~r^.日

既无最大值也无最

ymax=1.当X=2k兀+让

值

当

x=

31

=2^_2（“z）

（k

匸Z）时『min=_1

小值

时，

『min=-1

周

期

2兀

2兀

性

奇

偶

性

奇函数

偶函数

奇函数

单

调

性

1+2k応,+2kn\

在〔22」

（k^Z）上是增函数；

1—+2^r,—+2k兀1在12'2」

（k^Z）上是减函数.

在［一兀+2kn,2k兀］（k€Z）

上是增函数；

在kkn：

2k兀+饥］（kez）

上是减函数.

（nJi\

k兀一一,kn+—在I22丿

（"z）上是增函数.

对

称

性

对称中心

（k兀,0IkeZ）

对称轴

Tt

x=k兀+-（k^z）

2

对称中心

严+訐J（"Z）

对称轴X=E"Z）

对称中心

『k兀\、

LJ（"Z）

无对称轴

7.函数厂Asin（XJ图象的画法：

n5

m—兀2兀

①“五点法”__设X-x…•，令X=0,2,，2，求出相应的X值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：

这是作函数简图常用方法。

8.图像的平移变换：

函数y二Asin（.x•「）-k的图象与y=sinx图象间

的关系:

图象向左（卩>0）或

第一种嬰换：

3』=sinx向右加°）平移|甲

不車帝v=sm（x+

1

横坐标伸长（0<6><1）或缩短（GA1）到原来的石倍

*y-Sltl（dr4（p）

纵坐标不变

纵坐标伸长。

>1>或缩短（o

横坐标不变

第Z2#变换二

•菽坐标伸长（0<6><1）或缩短（^>1）到原来的石倍十一g和sr

y=smx►y-sm匝

纵坐标不变

图象向左（（p>Q）或

r—.y-sin（cox+（p）

向右1©<0）平移型个单位

纵坐标伸长仇边）或缩短（XZ倒原来的A倍.y=A站伽+。

）

横坐标不变

要特别注意，若由厂血x得到"sin「的图象，则向左或

I—|

向右平移应平移个单位

ji

.y=4sin（3x+—）

例：

以y二sinx变换到''r为例

y=sinx—加右减）

y=sinx+—

I3丿

1

横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变）

y=sin3x—

纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）

y=4sin3x

I3丿

y=sin3x

1

y二sinx横坐标变为原来的勺倍（纵坐标不变）

向左平移9个单位—C左加右减）

=sin3x-

I3丿

纵坐标变为原来的4倍（横坐标不变）

（兀）

y=4sin!

3x-

I3丿

注意：

在变换中改变的始终是x。

9、三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:

（1）

sin（用亠I'1）=sin：

cos.亠sin：

cos:

（2）

sin（：

-■）=sin：

cos--sin：

cos:

（3）

cos（:

I'）=cos：

cos：

-sintsin：

（4）

cos伉I'）=coscos：

sinisin:

tan‘：

亠tan:

（5）

tan（「“1-tan：

tan,・

tan-i■tan：

二ta亠〔T1-tan：

tan:

Rtana-tanP

（6）tan（_"1・tan：

tan1-

tan：

-tan一tan-1tan：

tan:

⑺asin:

bco^='■bsinC…）（其中，辅助角：

所在象限由点

也叫合一变形）.

10、二倍角公式

（1）

s

2a=2s

ada

ions

（2）

c

2a二c2

2

aosa

22

=ol-2ssia=2csai-n

on

s

（3）

t

c2t

2a=

a

-a-

an

n

a

a

n

11.

降幂公式:

（1）

12.升幂公式

13.

（3）

2

1-sin：

=（sincos—）

22

22

（4）1=sin-：

＞'cos:

（5）

CtCL

sin：

=2sin—cos—

22

13.三角变换:

函数名称变换：

三角变形中常常需要变函数名称为同名函数

米用公式：

as二beJ~i.a2b^bs-n）si

y=sx*：

*3cxi

1.3二二二

=2（—sinxcosx）=2（sinxcoscosxsin）=2sin（x）

22333

注意：

“凑角”运用

14、三角形中常用的关系：

sinA二sin（BC）,

cosA--cos（BC）,

.A

sincos

2

sin2A--sin2（BC）,cos2A=cos2（BC）

常见数据：

sin15二cos752,sin75二cos^n-62,

44

tan15^=2—^3tan75°=2+V3

15、正弦定理：

在•匚BC中，a、b、c分别为角二、、C的对边，

abc

2R

R为WC的外接圆的半径，则有sinzsin2sinC（R是三角形外接圆半径）.

注：

正弦定理的变形公式：

1a=2RsinA.b=2RsinEc=2RsinC；

•出a•口b•小c

—sinsinsinC=-

22R2R2R；

3a:

b:

c=sinf:

sin_:

sinC

16、余弦定理：

在"me中，有

222—222_222

a=b+c_2bccos直,b=a+c-2accosE,c=a+b-2abcosC

22,2

a+c-b

cos2

2ac

.222

b+c-acosA=

注：

余弦定理的推论：

2bc

2,22小a+b-ccosC二

2ab

17、三角形面积公式：

111

S..uCbcsinabsinCacsini;

sABCE两边之积两边夹角的正弦值

SABC=2底咼

注：

（1）①如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第

三边所对的角为直角；

2如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；

3如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。

（课本第

6页右下角）

例如a、b、c是.*BC的角―三、C的对边，贝U：

①若①a2b2二c2，则C=9°；

2若a2b2

C<180,C为钝角

222°°

3若ab<,贝y0:

:

C：

：

：

90；C为锐角

（2）在三角形中一些重要的知识点；

1.A+B+C=兀,A,B,Cf0,兀）

2.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

3.大角对大边，小角对小边，等角对等边。

4.在三角形中，如果某一边不是最大的边，那么这条边所对的角一定是锐角。

5.在三角形中，如果某一边是最大的边，那么它所对的角可能是锐角，直角，钝角。