传感器计算题详解.docx
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传感器计算题详解.docx
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传感器计算题详解
《传感器与传感器技术》计算题
解题指导(供参考)
第1章传感器的一般特性
1-5某传感器给定精度为2%F·S,满度值为50mV,零位值为10mV,求可能出现的最大误差?
(以mV计)。
当传感器使用在满量程的1/2和1/8时,计算可能产生的测量百分误差。
由你的计算结果能得出什么结论?
解:
满量程(F?
S)为50~10=40(mV)
可能出现的最大误差为:
?
m=40?
2%=0.8(mV)
当使用在
1/2和1/8满量程时,其测量相对误差分别为:
1-6有两个传感器测量系统,其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述,试求这两个系统的时间常数?
和静态灵敏度K。
(1)
式中,y为输出电压,V;T为输入温度,℃。
(2)
式中,y——输出电压,?
V;x——输入压力,Pa。
解:
根据题给传感器微分方程,得
(1)τ=30/3=10(s),
K=1.5105/3=0.5105(V/℃);
(2)τ=1.4/4.2=1/3(s),
K=9.6/4.2=2.29(?
V/Pa)。
1-7设用一个时间常数?
=0.1s的一阶传感器检测系统测量输入为x(t)=sin4t+0.2sin40t的信号,试求其输出y(t)的表达式。
设静态灵敏度K=1。
解根据叠加性,输出y(t)为x1(t)=sin4t和x2(t)=0.2sin40t单独作用时响应y1(t)和y2(t)的叠加,即y(t)=y1(t)+y2(t)。
由频率响应特性:
所以
y(t)=y1(t)+y2(t)=0.93sin(4t?
21.8?
)?
0.049sin(40t?
75.96?
)
1-8试分析
传感器系统的频率响应特性。
解传感器系统的时间常数?
=A/B,灵敏度K=C/B。
所以,其频率响应为
相频特性为
1-9已知一热电偶的时间常数?
=10s,如果用它来测量一台炉子的温度,炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动,周期为80s,静态灵敏度K=1。
试求该热电偶输出的最大值和最小值。
以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。
解:
依题意,炉内温度变化规律可表示为
x(t)=520+20sin(?
t)℃
由周期T=80s,则温度变化频率f=1/T,其相应的圆频率?
=2?
f=2?
/80=?
/40;
温度传感器(热电偶)对炉内温度的响应y(t)为
y(t)=520+Bsin(?
t+?
)℃
热电偶为一阶传感器,其响应的幅频特性为
因此,热电偶输出信号波动幅值为
B=20
A(?
)=20
0.786=15.7℃
由此可得输出温度的最大值和最小值分别为
y(t)|
=520+B=520+15.7=535.7℃
y(t)|
=520﹣B=520-15.7=504.3℃
输出信号的相位差?
为
?
(ω)=?
arctan(ω
)=?
arctan(2?
/80?
10)=?
38.2?
相应的时间滞后为
?
t=
1-10一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述,即
式中,y为输出电荷量,pC;x为输入加速度,m/s2。
试求其固有振荡频率?
n和阻尼比?
。
解:
由题给微分方程可得
1-11某压力传感器的校准数据如表1-5所示,试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差,并计算迟滞和重复性误差;写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。
(最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录)
表1-5校准数据表
压力
(MPa)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
-2.73
-2.71
-2.71
-2.68
-2.68
-2.69
0.02
0.56
0.66
0.61
0.68
0.64
0.69
0.04
3.96
4.06
3.99
4.09
4.03
4.11
0.06
7.40
7.49
7.43
7.53
7.45
7.52
0.08
10.88
10.95
10.89
10.93
10.94
10.99
0.10
14.42
14.42
14.47
14.47
14.46
14.46
解校验数据处理(求校验平均值):
压力
(MPa)
(设为x)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
校验平均值
(设为y)
正行程
反行程
正行程
反行程
正行程
反行程
0
-2.73
-2.71
-2.71
-2.68
-2.68
-2.69
-2.70
0.02
0.56
0.66
0.61
0.68
0.64
0.69
0.64
0.04
3.96
4.06
3.99
4.09
4.03
4.11
4.04
0.06
7.40
7.49
7.43
7.53
7.45
7.52
7.47
0.08
10.88
10.95
10.89
10.93
10.94
10.99
10.93
0.10
14.42
14.42
14.47
14.47
14.46
14.46
14.45
(1)端点连线法
设直线方程为
y=a0+kx,
取端点(x1,y1)=(0,-2.70)和(x6,y6)=(0.10,14.45)。
则a0由x=0时的y0值确定,即
a0=y0?
kx=y1=-2.70(mV)
k由直线的斜率确定,即
(mV/MPa)
拟合直线方程为
y=?
2.70+171.5x
?
求非线性误差:
压力
(MPa)
校验平均值
(mV)
直线拟合值
(mV)
非线性误差
(mV)
最大非线性误差
(mV)
0
-2.70
-2.70
0
-0.12
0.02
0.64
0.73
-0.09
0.04
4.04
4.16
-0.12
0.06
7.47
7.59
-0.12
0.08
10.93
11.02
-0.09
0.10
14.45
14.45
0
所以,压力传感器的非线性误差为
?
求重复性误差:
压力
(MPa)
输出值(mV)
正行程
反行程
1
2
3
不重复误差
1
2
3
不重复误差
0
-2.73
-2.71
-2.68
0.05
-2.71
-2.68
-2.69
0.03
0.02
0.56
0.61
0.64
0.08
0.66
0.68
0.69
0.03
0.04
3.96
3.99
4.03
0.07
4.06
4.09
4.11
0.05
0.06
7.40
7.43
7.45
0.05
7.49
7.53
7.52
0.04
0.08
10.88
10.89
10.94
0.06
10.95
10.93
10.99
0.04
0.10
14.42
14.47
14.46
0.05
14.42
14.47
14.46
0.05
最大不重复误差为0.08mV,则重复性误差为
?
求迟滞误差:
压力
(MPa)
输出值(mV)
第一次循环
第二次循环
第三次循环
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
正行程
反行程
迟滞
0
-2.73
-2.71
0.02
-2.71
-2.68
0.03
-2.68
-2.69
0.01
0.02
0.56
0.66
0.10
0.61
0.68
0.07
0.64
0.69
0.05
0.04
3.96
4.06
0.10
3.99
4.09
0.10
4.03
4.11
0.08
0.06
7.40
7.49
0.09
7.43
7.53
0.10
7.45
7.52
0.07
0.08
10.88
10.95
0.07
10.89
10.93
0.04
10.94
10.99
0.05
0.10
14.42
14.42
0
14.47
14.47
0.0
14.46
14.46
0.0
最大迟滞为0.10mV,所以迟滞误差为
(2)最小二乘法
设直线方程为
y=a0+kx
数据处理如下表所示。
序号
1
2
3
4
5
6
∑
x
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.3
y
?
2.70
0.64
4.04
7.47
10.93
14.45
34.83
x2
0
0.0004
0.0016
0.0036
0.0064
0.01
0.022
xy
0
0.0128
0.1616
0.4482
0.8744
1.445
2.942
根据以上处理数据,可得直线方程系数分别为:
所以,最小二乘法线性回归方程为
y=?
2.77+171.5x
求非线性误差:
压力
(MPa)
校验平均值
(mV)
直线拟合值
(mV)
非线性误差
(mV)
最大非线性误差
(mV)
0
-2.70
-2.77
0.07
-0.07
0.02
0.64
0.66
-0.02
0.04
4.04
4.09
-0.05
0.06
7.47
7.52
-0.05
0.08
10.93
10.95
-0.02
0.10
14.45
14.38
0.07
所以,压力传感器的非线性误差为
可见,最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小,所以最小二乘法拟合更合理。
重复性误差?
R和迟滞误差?
H是一致的。
1-12用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时,如幅值误差限制在5%以内,则其时间常数应取多少?
若用该系统测试50Hz的正弦信号,问此时的幅值误差和相位差为多?
解:
根据题意
(取等号计算)
解出
ωτ=0.3287
所以
=0.523ms
当用该系统测试50Hz的正弦信号时,其幅值误差为
相位差为
?
=﹣arctan(?
?
)=﹣arctan(2π×50×0.523×10?
3)=﹣9.3°
1-13一只二阶力传感器系统,已知其固有频率f0=800Hz,阻尼比?
=0.14,现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时,其幅值比A(?
)和相位角?
(?
)各为多少;若该传感器的阻尼比?
=0.7时,其A(?
)和?
(?
)又将如何变化?
解:
所以,当ξ=0.14时
当ξ=0.7时
1-14用一只时间常数?
=0.318s的一阶传感器去测量周期分别为1s、2s和3s的正弦信号,问幅值相对误差为多少?
解:
由一阶传感器的动态误差公式
?
=0.318s
1-15已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz,阻尼比?
=0.1,若要求传感器的输出幅值误差小于3%,试确定该传感器的工作频率范围。
解:
由f0=10kHz,根据二阶传感器误差公式,有
将?
=0.1代入,整理得
1-16设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理,其固有振荡频率分别为800Hz和1.2kHz,阻尼比均为0.4。
今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力,应选用哪一只?
并计算将产生多少幅度相对误差和相位差。
解:
由题意知
则其动态误差
=7.76%
相位差
=?
0.29(rad)=?
16.6°
第2章电阻应变式传感器
2-5一应变片的电阻R0=120Ω,K=2.05,用作应变为800μm/m的传感元件。
(1)求?
R与?
R/R;
(2)若电源电压Ui=3V,求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压Uo。
解:
由K=
,得
则
ΔR=1.64×10?
3×R=1.64×10?
3×120Ω=0.197Ω
其输出电压为
=1.23(mV)
2-6一试件的轴向应变εx=0.0015,表示多大的微应变(με)?
该试件的轴向相对伸长率为百分之几?
解:
εx=0.0015=1500×10-6=1500(?
ε)
由于
εx=Δl/l
所以
Δl/l=εx=0.0015=0.15%
2-7假设惠斯通直流电桥的桥臂1是一个120?
的金属电阻应变片(K=2.00,检测用),桥臂1的相邻桥臂3是用于补偿的同型号批次的应变片,桥臂2和桥臂4是120?
的固定电阻。
流过应变片的最大电流为30mA。
(1)画出该电桥电路,并计算最大直流供桥电压。
(2)若检测应变片粘贴在钢梁(弹性模量E=2.1?
1011N/m2)上,而电桥由5V电源供电,试问当外加负荷?
=70kg/cm2时,电桥的输出电压是多少?
(3)假定校准电阻与桥臂1上未加负荷的应变片并联,试计算为了产生与钢梁加载相同输出电压所需的校准电阻值。
解
(1)电桥电路如图所示;最大供桥电压
Uim=30mA?
(120+120)?
=7200mV=7.2V
(2)?
=70kg/cm2=686N/cm2=6.86?
106N/m2,则
?
=?
/E=6.86?
106/2.1?
1011=3.27?
10?
5=32.7(?
?
)
电桥输出为
(3)为了使输出电压相同,只要应变?
对应的电阻变化相同即可(这里取负应变对应电阻减少输出相同负电压)。
解题2-7图
应变?
对应的电阻变化为
?
R=6.54?
10?
5R1=6.54?
10?
5?
120=7.85?
10?
3?
并联电阻RP
RP//R1=120?
7.85?
10?
3=119.99215(?
)
RP=1834.275k?
?
1834k?
2-8如果将120Ω的应变片贴在柱形弹性试件上,该试件的截面积S=0.5×10-4m2,材料弹性模量E=2×101lN/m2。
若由5×104N的拉力引起应变片电阻变化为1.2Ω,求该应变片的灵敏系数K。
解:
应变片电阻的相对变化为
柱形弹性试件的应变为
应变片的灵敏系数为
2-10以阻值R=120Ω,灵敏系数K=2.0的电阻应变片与阻值120Ω的固定电阻组成电桥,供桥电压为3V,并假定负载电阻为无穷大,当应变片的应变为2με和2000με时,分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压,并比较两种情况下的灵敏度。
解:
依题意
单臂:
差动:
灵敏度:
可见,差动工作时,传感器及其测量的灵敏度加倍。
2-11在材料为钢的实心圆柱试件上,沿轴线和圆周方向各贴一片电阻为120Ω的金属应变片R1和R2,把这两应变片接人差动电桥(参看习题图2-11)。
若钢的泊松比μ=0.285,应变片的灵敏系数K=2,电桥的电源电压Ui=2V,当试件受轴向拉伸时,测得应变片R1的电阻变化值?
R=0.48Ω,试求电桥的输出电压Uo;若柱体直径d=10mm,材料的弹性模量E=2×1011N/m2,求其所受拉力大小。
习题图2-11差动电桥电路
解:
由?
R1/R1=K?
1,则
?
2=?
?
?
1=?
0.285?
0.002=?
0.00057
所以电桥输出电压为
当柱体直径d=10mm时,由
,得
2-12若用一R=350?
的应变片(K=2.1)粘贴在铝支柱(支柱的外径D=50mm,内径d=47.5mm,弹性模量E=7.3?
1011N/m2)上。
为了获得较大的输出信号,应变片应如何粘贴?
并计算当支柱承受1000kg负荷时应变片阻值的相应变化。
解应变片应沿支柱的轴向粘贴。
应变片阻值的相应变化为
?
R=K?
R=KR?
/E=KR(F/S)/E
由于
S=?
(D2?
d2)/4=?
(502?
47.52)/4=191(mm2)=1.91?
10?
4m2
F=1000kg=9800N
所以
?
R=2.1?
350?
[9800/(1.91?
10?
4)]/7.3?
1011=0.52(?
)
2-13一台采用等强度梁的电子称,在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片,做成称重传感器,如习题图2-12所示。
已知l=10mm,b0=llmm,h=3mm,E=2.1×104N/mm2,K=2,接入直流四臂差动电桥,供桥电压6V,求其电压灵敏度(Ku=Uo/F)。
当称重0.5kg时,电桥的输出电压Uo为多大?
(a)(b)
习题图2-12悬臂粱式力传感器
解:
等强度梁受力F时的应变为
当上下各贴两片应变片,并接入四臂差动电桥中时,其输出电压:
则其电压灵敏度为
=3.463×10-3(V/N)=3.463(mV/N)
当称重F=0.5kg=0.5×9.8N=4.9N时,输出电压为
Uo=KuF=3.463×4.9=16.97(mV)
2-14现有基长为10mm与20mm的两种丝式应变片,欲测钢构件频率为10kHz的动态应力,若要求应变波幅测量的相对误差小于0.5%,试问应选用哪一种?
为什么?
解:
?
=v/f=5000/(10?
103)=0.5(m)
l0=10mm时
l0=20mm时
由此可见,应选用基长l0=10mm的应变片.
2-15有四个性能完全相同的应变片(K=2.0),将其贴在习题图2-14所示的压力传感器圆板形感压膜片上。
已知膜片的半径R=20mm,厚度h=0.3mm,材料的泊松比μ=0.285,弹性模量E=2.0×1011N/m2。
现将四个应变片组成全桥测量电路,供桥电压Ui=6V。
求:
(1)确定应变片在感压膜片上的位置,并画出位置示意图;
(2)画出相应的全桥测量电路图;
(3)当被测压力为0.1MPa时,求各应变片的应变值及测量桥路输出电压U0;
(4)该压力传感器是否具有温度补偿作用?
为什么?
(5)桥路输出电压与被测压力之间是否存在线性关系?
习题图2-14膜片式压力传感器
解:
(1)四个应变片中,R2、R3粘贴在圆形感压膜片的中心且沿切向;R1、R4粘贴在圆形感压膜片
之外沿径向,并使其粘贴处的应变εr与中心切向应变εtmax相等。
如下图(a)所示。
(2)测量电桥电路如上图(b)所示。
(a)应变片粘贴示意图(b)测量电桥电路
题解2-14图
(3)根据
(1)的粘贴方式,知
ε1=ε4=?
εtmax=?
0.7656×10?
3
则测量桥路的输出电压为
(4)具有温度补偿作用;
(5)输出电压与被测力之间存在线性关系,因此,由(3)知
2-18线绕电位器式传感器线圈电阻为10KΩ,电刷最大行程4mm,若允许最大消耗功率为40mW,传感器所用激励电压为允许的最大激励电压。
试求当输入位移量为1.2mm时,输出电压是多少?
解:
最大激励电压
当线位移x=1.2mm时,其输出电压
2-19一测量线位移的电位器式传感器,测量范围为0~10mm,分辨力为0.05mm,灵敏度为2.7V/mm,电位器绕线骨架外径d=5mm,电阻丝材料为铂铱合金,其电阻率为ρ=3.25×10-4Ω·mm。
当负载电阻RL=10kΩ时,求传感器的最大负载误差。
解:
由题知,电位器的导线匝数为
N=10/0.05=200
则导线长度为
l=N?
d=200?
d,(d为骨架外径)
电阻丝直径与其分辨力相当,即d丝=0.05mm
故电阻丝的电阻值
δLm≈15m%=15×0.052%=0.78%
第3章电感式传感器
3-15某差动螺管式电感传感器(参见习题图3-15)的结构参数为单个线圈匝数W=800匝,l=10mm,lc=6mm,r=5mm,rc=1mm,设实际应用中铁芯的相对磁导率μr=3000,试求:
(1)在平衡状态下单个线圈的电感量L0=?
及其电感灵敏度足KL=?
(2)若将其接人变压器电桥,电源频率为1000Hz,电压E=1.8V,设电感线圈有效电阻可忽略,求该传感器灵敏度K。
(3)若要控制理论线性度在1%以内,最大量程为多少?
解:
(1)根椐螺管式电感传感器电感量计算公式,得习题图3-15差动螺管式电感传感器
差动工作灵敏度:
(2)当f=1000Hz时,单线圈的感抗为
XL=ωL0=2πfL0=2π×1000×0.46=2890(Ω)
显然XL>线圈电阻R0,则输出电压为
测量电路的电压灵敏度为
而线圈差动时的电感灵敏度为KL=151.6mH/mm,则该螺管式电感传感器及其测量电路的总灵敏度为
=297.1mV/mm
3-16有一只差动电感位移传感器,已知电源电Usr=4V,f=400Hz,传感器线圈铜电阻与电感量分别为R=40Ω,L=30mH,用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥,如习题图3-16所示,试求:
(1)匹配电阻R3和R4的值;
(2)当△Z=10时,分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值;
(3)用相量图表明输出电压
与输入电压
之间的相位差。
习题图3-16
解:
(1)线圈感抗
XL=?
L=2?
fL=2?
?
400?
30?
10?
3=75.4(?
)
线圈的阻抗
故其电桥的匹配电阻(见习题图3-16)
R3=R4=Z=85.4(?
)
(2)当ΔZ=10?
时,电桥的输出电压分别为
单臂工作:
双臂差动工作:
(3)
3-17如习题图3-17所示气隙型电感传感器,衔铁截面积S=4×4mm2,气隙总长度δ=0.8mm,衔铁最大位移△δ=±0.08mm,激励线圈匝数W=2500匝,导线直径d=0.06mm,电阻率ρ=1.75×10-6?
.cm,当激励电源频率f=4000Hz时,忽略漏磁及铁损,求:
习题图3-17气隙型电感式传感器(变隙式)
(1)线圈电感值;
(2)电感的最大变化量;
(3)线圈的直流电阻值;
(4)线圈的品质因数;
(5)当线圈存在200pF分布电容与之并联后其等效电感值。
解:
(1)线圈电感值
(2)衔铁位移Δδ=+0.08mm时,其电感值
=1.31×10-1(H)=131mH
衔铁位移Δδ=﹣0.08mm时,其电感值
=1.96×10-1(H)=196(mH)
故位移?
?
=±0.08mm时,电感的最大变化量为
ΔL=L?
﹣L?
=196﹣131=65(mH)
(3)线圈的直流电阻
设
为每匝线圈的平均长度,则
(4)线圈的品质因数
(5)当存在分布电容200PF时,其等效电感值
3-18如图3-4(b)所示差动螺管式电感传感器,其结构参数如下:
l=160mm,r=4mm,rc=2.5mm,lc=96mm,导线直径d=0.25mm,电阻率ρ=1.75×10-6Ω·cm,线圈匝数W1=W2=3000匝,铁芯相对磁导率μr=30,激励电源频率f=3000Hz。
要求:
(1)估算单个线圈的电感值L=?
直流电阻R=?
品质因数Q=?
(2)当铁芯移动±5mm时,线圈的电感的变化量△L=?
(3)当采用交流电桥检测时,其桥路电源电压有效值E=6V,要求设计电路具有最大输出电压值,画出相应桥路原理图,并求输出电压值。
解:
(1)单位线圈电感值
电阻值
(lcp=2?
r,每匝导线长度)
则品质因数
(2)铁芯位移Δlc=±5mm时,单个线圈电感的变化
(3)要使电桥输出最大,须使电桥为等臂电桥,则相邻桥臂阻抗比值a=1;且将电感线圈L和平衡电阻R放置在桥路输出的两侧,则?
=±(π/2),这时电桥的灵敏度|K|=0.5,差动工作时为其2倍,故其输出电压
=0.544(V)=544mV
其电桥电路如下图所示,其中Z1、Z2为差动螺管式电感传感器、R1、R2为电桥平衡电阻。
题3-18题解图
第4章电容式传感器
4-2试计算习题图4-2所示各电容传感元件的总电容表达式。
(a)(b)(c)
习题
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