北师大版八年级上册 13勾股定理的应用 讲义设计.docx
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北师大版八年级上册13勾股定理的应用讲义设计
勾股定理的运用和证明
考点呈现
勾股数
勾股定理的证明
勾股定理的作用
要点一、勾股数
满足不定方程的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数),显然,以
为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数:
①3、4、5;②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;
如果(
)是勾股数,当t为正整数时,以
为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数,它们具有以下特征:
1.较小的直角边为连续奇数;
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为
,且
,那么存在成立.(例如④中存在=24+25、=40+41等)
经典例题
例题1.以下列三个正数为三边长度,能构成直角三角形的是( )
A.8,15,17B.9,16,25C.13,14,15D.40,50,60
解析:
直角三角形三边关系a2+b2=c2,故选A
例题2.在锐角△ABC中,已知某两边a=1,b=3,那么第三边的变化范围是()。
A.2 D. 解析: 三角形三边关系a-b>c,a+b<c。 故选A 例题3.下列三角形中,不一定是直角三角形的是( ) A.三角形中有一边的中线等于这边的一半 B.三角形三内角之比是1: 2: 3 C.三角形有一内角是30°,且有一边是另一边的一半 D.三角形三边分别是m2-n2、2mn、m2+n2(m>n>0) 答案: C 例题4.已知△ABC的三边分别长为a、b、c,且满足(a﹣17)2+|b﹣15|+c2﹣16c+64=0,则△ABC() A.以a为斜边的直角三形B.以b为斜边的直角三形 C.以c为斜边的直角三形D.不是直角三角形 解析: (a-17)2=0|b﹣15|=0(c-8)2=0,所以a=17,b=15,c=8 c2+b2=a2,故选A 例题5.已知,在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c. (1)若a=5,b=4,c=3,试判断△ABC的形状; (2)若c=7,b=24,a=25,求∠A的度数. 解析: (1)c2+b2=a2,所以△ABC以a为斜边的直角三形 (2)c2+b2=a2,所以△ABC以a为斜边的直角三形,∠A=90° 要点二、勾股定理的证明 【证法1】(课本的证明) 做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形. 证明: 从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b, 所以面积相等.即a²+b²+4x1/2ab=c²+4x1/2ab, 整理得a²+b²=c²。 【证法2】(邹元治证明) 以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于1ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上. 证明: ∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF. ∵∠AEH+∠AHE=90°,∴∠AEH+∠BEF=90°. ∴∠HEF=180°―90°=90°. ∴四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2. ∵RtΔGDH≌RtΔHAE, ∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90°, ∴∠EHA+∠GHD=90°. 又∵∠GHE=90°, ∴∠DHA=90°+90°=180°. ∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于(a+b)². ∴(a+b)²=4x1/2ab+c² ∴a²+b²=c²。 【证法3】(赵爽证明) 以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于1ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 证明: ∵RtΔDAH≌RtΔABE, ∴∠HDA=∠EAB. ∵∠HAD+∠HAD=90°, ∴∠EAB+∠HAD=90°, ∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2. ∵EF=FG=GH=HE=b―a, ∠HEF=90°. ∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于(b-a)². ∴(b-a)²=4x1/2ab+c² ∴a²+b²=c²。 【证法4】(1876年美国总统Garfield证明) 以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于1ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上. 证明: ∵RtΔEAD≌RtΔCBE, ∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90°, ∴∠AED+∠BEC=90°. ∴∠DEC=180°―90°=90°. ∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于c2. 又∵∠DAE=90°,∠EBC=90°, ∴AD∥BC. ∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于1/2(a+b)². ∴1/2(a+b)²=2x1/2ab+1/2c² ∴a²+b²=c²。 要点三、勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意两条边长,求第三边; 2.平方关系的证明问题; 3.利用勾股定理,作出长为的线段。 经典例题 例题1、如图所示,在多边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=45°,∠B=∠D=90°,求多边形ABCD的面积. 答案与解析 解: 延长AD、BC相交于点E ∵∠B=90°,∠A=45° ∴∠E=45°,∴AB=BE=2 ∵∠ADC=90°,∴∠DCE=45°, ∴CD=DE=1 ∴ ∴ 2.如图,居民楼与马路是平行的,在一楼的点A处测得它到马路的距离为9m,已知在距离载重汽车41m处就可受到噪声影响. (1)试求在马路上以4m/s速度行驶的载重汽车,能给一楼A处的居民带来多长时间的噪音影响? (2)若时间超过25秒,则此路禁止该车通行,你认为载重汽车可以在这条路上通行吗? 【解析】 试题分析: (1)先根据勾股定理求出BC及DC的长,进而可得出BD的长,根据载重汽车的速度是4m/s即可得出受噪音影响的时间; (2)根据 (1)中得出的时间与25秒相比较即可得出结论. 试题解析: (1)∵由题意得AC=9,AB=AD=41,AC⊥BD, ∴Rt△ACB中,BC=40, Rt△ACD中,DC=40, ∴BD=80, ∴80÷4=20s, ∴受影响时间为20s; (2)∵20<25, ∴可以通行. 考点: 勾股定理的应用. 3.有一只喜鹊在一棵5m高的小树上觅食,它的巢筑在距该树6m的一棵大树上,大树高16m,且巢离树顶部1m,当它听到巢中幼鸟的叫声时,立即赶过去,若它飞行速度为5m/s,则它至少需要多少时间才能赶回巢中? 解: 过A作AH⊥CD,垂足为点H, 根据题意,AH=BD=24,HD=AB=5,CD=15,CH=CD-HD=15-5=10, 在Rt△AHC中,由勾股定理得: ∴t=26÷5=5.2(秒) 答: 它至少需要5.2秒才能赶回巢中。 4.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图,为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否而需要暂时封锁? 请通过计算进行说明. 公路AB需要暂时封锁. 【解析】过C作CD⊥AB于D.根据BC=400米,AC=300米,∠ACB=90°,利用根据勾股定理有AB=500米.利用S△ABC= 得到CD=240米.再根据240米<250米可以判断有危险. 5.在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为、、. (1)若=5,=12,求c; (2)若=26,=24,求a. 解: (1)因为△ABC中,∠C=90°, , =5, =12, 所以 .所以=13. (2)因为△ABC中,∠C=90°, , =26, =24, 所以 .所以a=10. 6.如图所示,在一棵树的10高的B处有两只猴子,一只爬下树走到离树20处的池塘A处,另外一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离的直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高? 解: 设树高CD为x,则BD=x-10,AD=30-(x-10)=40-x, 在Rt△ACD中, , 解得: x=15. 答: 这棵树高15m 7.如图,铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到E站的距离相等,则E站应建在离A站多少km处? 解: ∵使得C,D两村到E站的距离相等. ∴DE=CE, ∵DA⊥AB于A,CB⊥AB于B, ∴∠A=∠B=90°, ∴AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2, ∴AE2+AD2=BE2+BC2, 设AE=x,则BE=AB-AE=(25-x)km, ∵DA=15km,CB=10km, ∴x2+152=(25-x)2+102, 解得: x=10, ∴AE=10km,
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