专题19等腰三角形等边三角形直角三角形基础巩固练习解析版.docx

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专题19等腰三角形等边三角形直角三角形基础巩固练习解析版

2021年中考数学专题19等腰、等边三角形、直角三角形

（基础巩固练习，共50个小题）

一、选择题（共20小题）：

1.（2020•毕节市）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（）A．13B．17C．13或17D．13或10

【答案】B

【解析】解：

①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去．

②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：

B．

2.（2020•福建）如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）

A．10B．5C．4D．3

【答案】B

【解析】解：

∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：

B．

3.（2020•呼伦贝尔）如图，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°，则∠DBC的度数是（）

A．25°B．20°C．30°D．15°

【答案】D

【解析】解：

∵AB＝AC，∠C＝∠ABC＝65°，

∴∠A＝180°﹣65°×2＝50°，

∵MN垂直平分AB，

∴AD＝BD，

∴∠A＝∠ABD＝50°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°，故选：

D．

4.（2020•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，

∠BAC＝100°，则∠D＝（）

A．40°B．50°C．60°D．80°

【答案】B

【解析】解：

∵AB＝AC，∠BAC＝100°，

∴∠C＝∠B＝40°，

∵DE⊥BC于点E，

∴∠D＝90°﹣∠C＝50°，故选：

B．

5.（2020•青海）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）

A．55°，55°B．70°，40°或70°，55°

C．70°，40°D．55°，55°或70°，40°

【答案】D

【解析】解：

分情况讨论：

（1）若等腰三角形的顶角为70°时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；

（2）若等腰三角形的底角为70°时，顶角为180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：

D．

6.（2020•临沂）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）

A．40°B．50°C．60°D．70°

【答案】D

【解析】解：

∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，

∴∠ACB＝70°，

∵CD∥AB，

∴∠ACD＝180°﹣∠A＝140°，

∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝70°．故选：

D．7.（2020•自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC

长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）

A．50°B．40°C．30°D．20°

【答案】D

【解析】解：

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，

∴∠B＝40°，

∵BC＝BD，

∴∠BCD＝∠BDC=1（180°﹣40°）＝70°，

2

∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：

D．

8.（2020•巴中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，DE∥AB，AD＝3，CE＝5，则AC的长为（）

A．9B．8C．6D．7

【答案】B

【解析】解：

∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD=1∠BAC＝60°，

2

∵DE∥AB，

∴∠BAD＝∠ADE＝60°，

∠DEC＝∠BAC＝120°，

∴∠AED＝60°，

∴∠ADE＝∠AED，

∴△ADE是等边三角形，

∴AE＝AD＝3，

∴AC＝AE+CE＝3+5＝8，故选：

B．

9.（2020•铜仁市）已知等边三角形一边上的高为23，则它的边长为（）A．2B．3C．4D．4

【答案】C

【解析】解：

根据等边三角形：

三线合一，设它的边长为x，可得：

x2=（x）2+（23）2，

2

解得：

x＝4，x＝﹣4（舍去），故选：

C．

10.（2019•天水）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）

A．（1，1）B．（1，3）C．（3，1）D．（3，3）

【答案】B

【解析】解：

过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，

∴OH＝1，BH=3．

∴点B的坐标为（1，3）．故选：

B．

11.（2019•铜仁市）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在

边DC、BC上，且CE=1CD，CF=1CB，则S

＝（）

33△CEF

A．3

2

B．3

3

C．3

4

D．3

9

【答案】D

【解析】解：

∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°

∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°

∵CE=1CD，CF=1CB

33

∴CE＝CF=2

3

∴△CEF为等边三角形

∴S=3×

（2）2=3

△CEF439

故选：

D．

12.（2018•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）

A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC

【答案】C

【解析】解：

∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，

∴∠BCD＝∠A．

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠DCE．

又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，

∴∠BEC＝∠BCE，

∴BC＝BE．故选：

C．

13.（2020•常州）如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），

CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】A

【解析】解：

∵CH⊥AB，垂足为H，

∴∠CHB＝90°，

∵点M是BC的中点．

∴MH=1BC，

2

∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，

∴MH的最大值为3，故选：

A．

14.（2019•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝52°，BE为AC边上的中线，

AD平分∠BAC，交BC边于点D，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则∠EBF的度数为（）

A．19°B．33°C．34°D．43°

【答案】B

【解析】解：

∵∠ABC＝90°，BE为AC边上的中线，

∴∠BAC＝90°﹣∠C＝90°﹣52°＝38°，BE=1AC＝AE，

2

∴∠BAC＝∠ABE＝38°，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAF=1∠BAC＝19°，

2

∴∠BOF＝∠BAD+∠ABE＝19°+38°＝57°，

∵BF⊥AD，

∴∠BFO＝90°，

∴∠EBF＝90°﹣∠BOF＝90°﹣57°＝33°；故选：

B．

15.（2020•赤峰）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线

BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是（）

A．15B．18C．20D．22

【答案】A

【解析】解：

∵把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，

∴A′A＝CC′＝3，AA′∥BC′，在Rt△ABC中，

∵AB＝5，AC＝3，

∴BC==4，

∵AA′∥BC′，

∴四边形ABC′A′是梯形，

∴四边形ABC'A'的面积=1（AA′+BC′）•AC=1×（3+4+3）×3＝15，故选：

A．

22

16.（2020•绵阳）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分线

BE交DF于点G，GH⊥DF，点E恰好为DH的中点，若AE＝3，CD＝2，则GH＝（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【解析】解：

过E作EM⊥BC，交FD于点N，

∵DF∥BC，

∴EN⊥DF，

∴EN∥HG，

∴∠DEN＝∠DHG，∠END＝∠HGD，

∴△END∽△HGD，

∴EN=ED，

HGHD

∵E为HD中点，

∴ED=1，

HD2

∴EN=1，即HG＝2EN，

HG2

∴∠DNM＝∠NMC＝∠C＝90°，

∴四边形NMCD为矩形，

∴MN＝DC＝2，

∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EM⊥BC，

∴EM＝AE＝3，

∴EN＝EM﹣MN＝3﹣2＝1，则HG＝2EN＝2．故选：

B．

17.（2020•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E．若AC＝2，BC＝22，则BE的长为（）

A．26

3

B．6C．D．

2

【答案】A

【解析】解：

方法1：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝22，

由勾股定理得AB===23，

∵D是AB的中点，

∴BD＝CD=3，

设DE＝x，

由勾股定理得（3）2﹣x2＝（22）2﹣（+x）2，

解得x=3，

3

∴在Rt△BED中，BE==

=26．

3

方法2：

三角形ABC的面积=1×AC×BC=1×2×2

=22，

22

∵D是AB中点，

∴△BCD的面积＝△ABC面积×1=2，

2

Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝22，

由勾股定理得AB===23，

∵D是AB的中点，

∴CD=3，

∴BE=

×2÷2×2÷

=26．故选：

A．

3

18.（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（）

A．10

13

B．9

13

C．8

13

D．7

13

【答案】D

【解析】解：

由勾股定理得：

AC==13，

∵S＝3×3−1×1×2−1×1×3−1×2×3=3.5，

△ABC222

∴1AC⋅BD=7，

22

∴⋅BD=7，

∴BD=713，故选：

D．

13

19.（2020•德阳）已知：

等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，则PM的最小值为（）

A．2B．2

−2C．2

+2D．2

【答案】B

【解析】解：

∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，

∴斜边AB＝42，

∵点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，

∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，

当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴CM=1AB＝22，

2

∵PC＝2，

∴PM＝CM﹣CP＝2

−2，故选：

B．

20.（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（）

A．25cm2B．100cm2C．50cm2D．75cm2

3

【答案】C

【解析】解：

如图：

设OF＝EF＝FG＝x（cm），

∴OE＝OH＝2x，

在Rt△EOH中，EH＝22x，由题意EH＝20cm，

∴20＝22x，

∴x＝52，

∴阴影部分的面积＝（52）2＝50（cm2）故选：

C．

二、填空题（共16小题）：

21.（2020•齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是．

【答案】10或11

【解析】解：

①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，

∵此时能组成三角形，

∴周长＝3+3+4＝10；

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，此时能组成三角形，

所以周长＝3+4+4＝11．

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．故答案为：

10或11．

22.（2020•眉山）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．若△ABD的周长为26，则DE的长为．

【答案】15

4

【解析】解：

作AM⊥BC于M，

∵边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，

∴∠AED＝90°，AE＝CE=1AC=1×10=5，AD＝CD，

22

∴∠DAC＝∠C，

∵△ABD的周长为26，

∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝26，

∵AB＝AC＝10，

∴BC＝16，∠B＝∠C，

∴∠B＝∠DAC，

∵∠ACB＝∠DCA，

∴△ABC∽△DAC，

∴AM=BC，

DEAC

∵AB＝AC，

∴BM=1BC＝8，2

∴AM===6，

∴6

DE

=16，10

∴DE=15，

4

故答案为15．

4

23.（2020•滨州）在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的大小为．

【答案】80°

【解析】解：

∵AB＝AC，∠B＝50°，

∴∠C＝∠B＝50°，

∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．故答案为：

80°．

24.（2020•恩施州）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，

∠C＝30°，∠1＝80°，则∠2＝．

【答案】40°

【解析】解：

如图，延长CB交l1于点D，

∵AB＝BC，∠C＝30°，

∴∠C＝∠4＝30°，

∵l1∥l2，∠1＝80°，

∴∠1＝∠3＝80°，

∵∠C+∠3+∠2+∠4＝180°，即30°+80°+∠2+30°＝180°，

∴∠2＝40°．

故答案为：

40°．

25.（2020•黄冈）已知：

如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C＝35°，则∠BAD＝度．

【答案】40°

【解析】解：

∵AD＝DC，

∴∠DAC＝∠C＝35°，

∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．

∵AB＝AD，

∴∠B＝∠ADB＝70°，

∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故答案为：

40．

26.（2020•常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B＝°．

【答案】30

【解析】解：

∵EF垂直平分BC，

∴BF＝CF，

∴∠B＝∠BCF，

∵△ACF为等边三角形，

∴∠AFC＝60°，

∴∠B＝∠BCF＝30°．故答案为：

30．

27.（2019•哈尔滨）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为．

【答案】2

【解析】解：

如图，连接AC交BD于点O

∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，

∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形

∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝8，BO＝OD＝4

∵CE∥AB

∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°

∴∠DAO＝∠ACE＝30°

∴AE＝CE＝6

∴DE＝AD﹣AE＝2

∵∠CED＝∠ADB＝60°

∴△EDF是等边三角形

∴DE＝EF＝DF＝2

∴CF＝CE﹣EF＝4，OF＝OD﹣DF＝2

∴OC==2

∴BC==2

28.（2020•岳阳）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD

＝°．

【答案】70

【解析】解：

在Rt△ABC中，∵∠A＝20°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴BD＝CD，

∴∠BCD＝∠B＝70°，故答案为70．

29.（2020•绵阳）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为．

【答案】3−2

【解析】解：

取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O

作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．

∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，

∴OM=1AD＝2，2

∵AB∥CD，

∴∠GCF＝∠B＝60°，

∴∠DGO＝∠CGF＝30°，

∵AD＝BC，

∴∠DAB＝∠B＝60°，

∴∠ADC＝∠BCD＝120°，

∴∠DOG＝30°＝∠DGO，

∴DG＝DO＝2，

∵CD＝4，

∴CG＝2，

∴OG＝23，GF=3，OF＝33，

∴ME≥OF﹣OM＝3

−2，

∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3

−2．

30.（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为．

【答案】5

【解析】解：

∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，

∴∠ADB＝90°，

∴AB===10，

∵AE＝EB，

∴DE=1AB＝5，2

故答案为5．

31.（2020•雅安）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．

【答案】20

【解析】解：

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

∴AB2+CD2＝AD2+BC2，

∵AD＝2，BC＝4，

∴AB2+CD2＝22+42＝20．

故答案为：

20．

32.（2020•苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝．

【答案】1

【解析】解：

设AE＝ED＝x，CD＝y，

∴BD＝2y，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，

∴AB2＝4x2+4y2，

∴x2+y2＝1，

在Rt△CDE中，

∴EC2＝x2+y2＝1

∵EC＞0

∴EC＝1．

另解：

依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，即可得判定△CDE∽△BDA，

且相似比为1：

2，

∴CE=1，

AB2

即CE＝1．故答案为：

1

33.（2020•安顺）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝8，AC＝11，则边BC的长为．

【答案】4

【解析】解：

延长BD到F，使得DF＝BD，

∵CD⊥BF，

∴△BCF是等腰三角形，

∴BC＝CF，

过点C作CH∥AB，交BF于点H

∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，

∴HF＝HC，

∵CH∥AB，

∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，

∴EH＝CE，

∵EA＝EB，

∴AC＝BH，

∵BD＝8，AC＝11，

∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝3，

∴HF＝HC＝8﹣3＝5，在Rt△CDH，

∴由勾股定理可知：

CD＝4，在Rt△BCD中，

∴BC==45，

故答案为：

4

34.（2020•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥AC，AD＝AC，∠BAD＝105°，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若CD＝8，则△BEF的面积是．

【答案】2

【解析】解：

过点E作EH⊥BF于H．

∵AD＝AC，∠DAC＝90°，CD＝8，

∴AD＝AC＝4，

∵DF＝FC，AE＝EC，

∴EF=1AD＝22，EF∥AD，

2

∴∠FEC＝∠DAC＝90°，

∵∠ABC＝90°，AE＝EC，

∴BE＝AE＝EC＝22，

∴EF＝BE＝22，

∵∠BAD＝105°，∠DAC＝90°，

∴∠BAE＝105°﹣90°＝15°，

∴∠EAB＝∠EBA＝15°，

∴∠CEB＝∠EAB+∠EBA＝30°，

∴∠FEB＝90°+30°＝120°，

∴∠EFB＝∠EBF＝30°，

∵EH⊥BF，

∴EH=1EF=2，FH=3EH=6，

2

∴BF＝2FH＝26，

∴S=1•BF•EH=1×2×

△EFB22

故答案为23．35.（2020•十堰）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE＝3，△ABD的周长

为13，则△ABC的周长为．

【答案】19

【解析】解：

∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，

∴AC＝2AE＝6，AD＝DC，

∵AB+BD+AD＝13，

∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+BD+AD+AC＝13+6＝19．

故答案为：

19．

36.（2020•青海）如图，△ABC中，AB＝AC＝14cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且△DBC的周长是24cm，则BC＝cm．

【答案】10

【解析】解：

∵C△DBC＝24cm，

∴BD+DC+BC＝24cm①，又∵MN垂直平分AB，

∴AD＝BD②，

将②代入①得：

AD+DC+BC＝24cm