中考数学专题复习特殊平行四边形.docx
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中考数学专题复习特殊平行四边形
中考数学专题复习:
特殊平行四边形
一、选择题
1.下列命题是真命题的是()
A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.一组邻边相等的矩形是正方形
2.如图,在平面直角坐标系内,正方形ABCD的顶点B,D的坐标分别是(0,0),(2,0),则点C的坐标是
A.(1,1)B.(1,-1)C.(1,-2)D.(2,-2)
3.矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=4cm,∠AOD=120°,则AB的长为()
A.
cmB.2cmC.2
cmD.4cm
4.如图,E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为
A.5B.
C.7D.
5.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为AB的中点.若菱形ABCD的周长为32,则OE的长为()
A.3B.4C.5D.6
第4题图第5题图第6题图
6.如图,在△ABC中,点E,D,F分别在AB,BC,AC上,且DE∥CA,DF∥BA,则下列判断中不正确的是()
A.四边形AEDF是平行四边形
B.如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形
C.如果AD⊥BC,那么四边形AEDF是菱形
D.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形
7.如图,在矩形ABCD中,AB=2,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为()
A.2
B.2
C.4D.2
8如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成,根据实际需要可以调节AE间的距离.若AE间的距离调节到60cm,菱形的边长AB=20cm,则∠DAB的度数是()
A.90°B.100°C.120°D.150°
第7题图第8题图第9题图
9.如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点B'重合.若AB=2,BC=3,则CF的长为()
A.1B.2C.
D.
10.如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,点A,B分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,3
),∠ABO=30°.若将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为()
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11.已知菱形的周长为20cm,两个邻角的比为2∶1,则较短的对角线长为________cm.
12.若一个正方形的对角线的长为6cm,则这个正方形的面积是________cm2.
13.对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图1),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅垂方向的边长称为该图形的高.如图2,菱形ABCD的边AB水平放置,如果该菱形的高是宽的
菱形的宽为1,那么AB的值是________.
14.已知四边形ABCD是矩形,E是矩形ABCD的边上的点,且EA=EC.若AB=6,AC=2
则DE的长是________.
三、解答题
15.如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,CF⊥AB于点F,且AE=CF.求证:
▱ABCD是菱形.
16.如图,在△ABC中,AB=AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,点E在边BC上,DE与AC相交于点O.
(1)求证:
△OEC是等腰三角形.
(2)连接AE,DC,AD,当点E在什么位置时,四边形AECD为矩形?
并说明理由.
17.如图,▱ABCD的两条对角线相交于点O,且AB=
AO=2,OB=1.
(1)求证:
▱ABCD是菱形;
(2)求▱ABCD的面积.
18.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:
△BDE≌△FAE;
(2)求证:
四边形ADCF为矩形.
19.在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,CE,AF分别交DB于G,H两点.求证:
(1)四边形AFCE是平行四边形;
(2)EG=FH.
20.给出定义,若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.
(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称.
(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE,已知∠DCB=30°.
①求证:
△BCE是等边三角形;
②求证:
四边形ABCD是勾股四边形.
21.如图,在矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:
△DOE≌△BOF;
(2)若AB=6,AD=8,连接BE,DF,求四边形BFDE的周长.
22.如图,已知△ABC,以AB,AC为边向△ABC外作正方形ABDE和正方形ACFG,连接BG,CE.
(1)BG,CE有怎样的数量关系?
说明理由.
(2)若AB=BC=10,∠ABC=45°,求BG的长.
23.在▱ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,分别过点E,F作EG∥DF,GF∥AD.
(1)如图1,求证:
四边形EDFG是菱形;
(2)如图2,连接AG,DG,DG与EF相交于点O,若∠AGD=90°,求证:
AD=2AB;
(3)如图3,连接DG交EF于点O,连接OC,若∠ABC=90°,AB=6,BC=10,求OC的长.
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
D
B
C
A
C
D
A
11.5
12.18
13.
14.
15.证明:
∵AE⊥BC于点E,CF⊥AB于点F,
∴∠CFB=∠AEB=90°.
在△ABE与△CBF中,
∴△ABE≌△CBF(AAS),∴BA=BC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴▱ABCD是菱形.
16.解:
(1)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
∵△ABC平移得到△DEF,∴AB∥DE,∴∠B=∠DEC,
∴∠ACB=∠DEC,∴OE=OC,∴△OEC是等腰三角形.
(2)当E为BC的中点时,四边形AECD是矩形.
理由:
∵AB=AC,E为BC的中点,∴AE⊥BC,BE=EC.
∵△ABC平移得到△DEF,
∴BE∥AD,BE=AD,∴AD∥EC,AD=EC,
∴四边形AECD是平行四边形.
又∵AE⊥BC,∴四边形AECD是矩形.
17.解:
(1)∵AB=
AO=2,OB=1,∴AB2=AO2+OB2,
∴△AOB是直角三角形,∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD,
∴▱ABCD是菱形.
(2)S▱ABCD=
AC·BD=4.
18.证明:
(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.
∵E是线段AD的中点,∴AE=DE.
∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△FAE(AAS).
(2)由
(1)知△BDE≌△FAE,∴AF=BD.
∵D是线段BC的中点,∴BD=CD,∴AF=CD.
∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.
∵AB=AC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,
∴▱ADCF为矩形.
19.证明:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AE=CF.
又∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)∵四边形AFCE是平行四边形,
∴EC∥AF,∴∠FHB=∠CGH.
又∵∠CGH=∠DGE,∴∠DGE=∠FHB.
∵AD∥BC,∴∠EDG=∠FBH.
∵E,F分别是AD,BC的中点,AD=BC,
∴DE=BF,∴△DEG≌△BFH,∴EG=FH.
20.解:
(1)正方形、矩形、直角梯形.(答案不唯一,合理即可)
(2)①由题意得△ABC≌△DBE,∴BC=BE.
∵∠CBE=60°,∴△BCE是等边三角形.
②∵△BCE是等边三角形,∴∠BCE=60°.
∵∠DCB=30°,∴∠DCE=90°,
∴在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2.
又∵BC=CE,AC=DE,
∴DC2+BC2=AC2,
∴四边形ABCD是勾股四边形.
21.解:
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,DO=BO,∴∠EDO=∠FBO.
在△DOE和△BOF中,
∴△DOE≌△BOF(ASA).
(2)由
(1)可得ED∥BF,ED=BF,
∴四边形BFDE是平行四边形.
在△EBO和△EDO中,
∴△EBO≌△EDO(SAS),∴ED=EB,
∴平行四边形BFDE是菱形.
根据AB=6,AD=8,设AE=x,可得BE=ED=8-x.
在Rt△ABE中,(8-x)2=x2+62,
解得x=
∴四边形BFDE的周长为
×4=25.
22.解:
(1)BG=CE.
理由:
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形,
∴AB=AE,AC=AG,∠EAB=∠CAG=90°,
∴∠EAC=∠BAG.
在△AEC与△ABG中,
∴△AEC≌△ABG(SAS),∴BG=CE.
(2)连接BE.
∵四边形ABDE是正方形,∴∠ABE=45°.
又∵∠ABC=45°,∴∠CBE=90°.
∵BE2=AB2+AE2=102+102=200,BC=10,
∴CE=
.
23.解:
(1)∵EG∥DF,GF∥AD,
∴四边形EDFG是平行四边形.
∵AB∥CD,∴∠ABF=∠CFB.
∵AD∥BC,∴∠CBF=∠DEF.
∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,
∴∠DEF=∠CFB,∴DE=DF,
∴▱EDFG是菱形.
(2)由
(1)知四边形EDFG是菱形,
∴∠BOD=90°,GF∥AD.
∵∠AGD=90°,∴AG∥BF,
∴四边形AEFG是平行四边形,∴AE=GF.
∵GF=DE,∴AD=2AE.
∵AD∥BC,∴∠CBF=∠AEB.
∵∠ABE=∠CBF,∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,∴AD=2AB.
(3)∵∠ABC=90°,∴▱ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,
∴∠EDF=90°,∴菱形EDFG是正方形,
∴∠CBF=∠DEF=45°.
∵∠FCB=90°,∴∠CFB=45°,
∴∠CBF=∠CFB,∴BC=CF=10.
过点O作ON⊥DF于点N,
则ON=DN=2,∴CN=8,
∴在Rt△ONC中,OC=
.
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