2.(2019•上海)在平面直角坐标系xQv中(如图),已知抛物线y=--2x,其顶点为工
<1)写出这条抛物线的开口方向、顶点K的坐标,并说明它的变化情况:
(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”.
①试求抛物线y=/-2x的“不动点”的坐标;
②平移抛物线7=』-2a-,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”,其对称轴与x轴交于点C,且四边形。
四C是梯形,求新抛物线的表达式.
【解析】
(1)・・・a=l>0,
故该抛物线开口向上,顶点乂的坐标为(1,-1),
当x>l,y随x的增大而增大,当xVl,y随x增大而减小;
(2)①设抛物线“不动点”坐标为G,»则r=»-2f,
解得:
f=0或3,
故“不动点”坐标为(0,0)或(3,3);
②当OC〃.四时,
•・•新抛物线顶点8为“不动点”,则设点8(2W),
•••新抛物线的对称轴为:
x=m,与x轴的交点0),
•・•四边形。
结。
是梯形,
••.直线在y轴左侧,
•;BC与ON不平行.
IOC//AB,
又丁点X(1,-1),点3(爪M,:
.m=-b
故新抛物线是由抛物线y=/-2x向左平移2个单位得到的:
当。
8〃«7时,
同理可得:
抛物线的表达式为:
>•=(x-2)2+2=『-4x+6,当四边形。
铝。
是梯形,字母顺序不对,故舍去,
综上,新抛物线的表达式为:
y=(x+1)2-1.
3.(2018•上海)在平面直角坐标系g中(如图).已知抛物线产一步+加+。
经过点X(-h0)和点3(0,-),顶点为C,点。
在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点。
按顺时针方向旋转90°,点。
落在抛物线上的点尸处.
(1)求这条抛物线的表达式:
(2)求线段CQ的长:
(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点。
的位置,这时点尸落在点E的位置,如果点M在丁轴上,且以。
、
D、E、M为顶点的四边形而积为8,求点河的坐标.
25-2=-bCxfukuk
S1)(-y-b+c=O
【解析】
(1)把a(-1,0)和点3(0,?
代入产一92+bx+c得J2s,解得
J抛物线解析式为尸-p+2x+
99
..・C(2,”抛物线的对称轴为直线户2.如图,设8r则。
⑵厂力
:
线段DC绕点。
按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点尸处,
AZPDC=90°,DP=DC=t,
:
.P(2+r,|-r),把尸(2+r,|-r)代入尸一疑+2x+,得一寺(2+力2+2(2+r)+|=^-6
整理得?
-2,=0,解得门=0(舍去),口=2,・••线段8的长为2:
(3)尸点坐标为(4,与),。
点坐标为(2,三),22
99
•••抛物线平移,使其顶点。
(2,:
7)移到原点。
的位置,,抛物线向左平移2个单位,向下平移:
7个单位,22
59
而尸点(4,7)向左平移2个单位,向下平移7个单位得到点£•••£点坐标为(2,-2),22
1r77
设M(0,刖),当7〃>0时,-•(桁+W+2)・2=8,解得胴=(,此时M点坐标为(0.-):
22幺2
1e77
当加<0时,-m+W+2”2=g,解得加=一夕此时M点坐标为(0,—今:
77
综上所述,M点的坐标为(0,-)或(0,一夕.
4.(2017•上海)已知在平而直角坐标系xQy中(如图),已知抛物线ju-J+bx+c经过点H(2,2),对称轴是直线x=l,顶点为8.
(1)求这条抛物线的表达式和点3的坐标:
(2)点河在对称轴上,且位于顶点上方,设它的纵坐标为〃I,联结也以用含加的代数式表示乙力"的余切值:
(3)将该抛物线向上或向下平移,使得新抛物线的顶点。
在x轴上.原抛物线上一点尸平移后的对应点为点Q,如果。
产=00,求点。
的坐标.
『小5-4-3-2-1-
-4-3-2-1。
12345/
-1-
-2-
-3-
-4-
【解析】
(1)•••抛物线的对称轴为x=l,,x=-g=l,即一^=1,解得6=2.
2a2x(-1)
.\>=-W+2x+c.将工(2,2)代入得:
-4+4+c=2,解得:
c=2.,抛物线的解析式为y=-』+2%+2.
配方得:
y=-(x-1)2+3..•.抛物线的顶点坐标为(1,3).
(2)如图所示:
过点X作/G_LBM垂足为G,则dG=LG(1,2).
(1,7w),G(1,2),:
MG=ni-2.;・cotNJAe=器="-2.
(3)•••抛物线的顶点坐标为(1,3),平移后抛物线的顶点坐标在x轴上,.•.抛物线向下平移了3个单位.
...平移后抛物线的解析式为y=-f+2x-1,尸。
=3.・.・O尸=。
。
,.•.点。
在尸。
的垂宜平分线上.
又・.,0产〃y轴,,点。
与点尸关于x轴对称..•.点。
的纵坐标为一段
将产一,代入、=・7+公7得:
-7+2x7=-最解得:
尸竽或广写!
2+\怎32—\医3
•二点。
的坐标为---,-')或(~-•一2上
5.(2016•上海)如图,抛物线),=62+队-5(20)经过点/(4,-5),与x轴的负半轴交于点&与),轴交于
点C,且0C=50-抛物线的顶点为点D
(1)求这条抛物线的表达式:
(2)联结乂夙BC、CD、DA,求四边形乂8co的面积;
(3)如果点E在y轴的正半轴上,且N8EO=N,/C,求点E的坐标.
【解析】
(1)二抛物线j=a/+bx-5与y轴交于点C,:
.C(0,-5),:
.OC=5.\9OC=5OB,
••・08=1,又点8在x轴的负半轴上,・••5(-1,0).
,这条抛物线的表达式为-4.x-5.
丁点X的坐标是(4-5),点C的坐标是(0,-5),又S./c=;x4X5=10,S/^CD=1x4X4=8,
,s^1^ABCD=S/ABC+S^CD~^^
(3)过点C作CH±AB.垂足为点H.•;S;YBC=1"BXCH=10.AB=,(一1一4尸+(0+5尸=5夜,
:
.CHS在RTABCH中,/BHC=90°,BC=\l26.BH=SBC?
-CH?
=3杼
AtanZC5//=1^=|.「在RTAffOE中,NBOE=90°,tanZ5£O=':
4BE0=/ABC,
BO233
A—=得EO=*,点E的坐标为(0,
6.(2020•浦东新区三模)在平面直角坐标系xQv中,己知抛物线尸-占云+c与x轴交于点,4(-3,0)和点3,
与1y轴相交于点C(0,3),抛物线的顶点为点。
.
(1)求抛物线的表达式及顶点。
的坐标:
(2)联结,4D、,4C、CD,求NZUC的正切值:
(3)如果点尸是原抛物线上的一点,且NE4B=NA4C,将原抛物线向右平移加个单位(胴>0),使平移后新
抛物线经过点尸,求平移距离.
5-
4•
3-
2-
1-
-5-4-3-2-1_[01234
【解析】
(1)•••抛物线y=-f+6x+c与x轴交于点工(-3,0)和点3,与y轴相交于点C(0,3),
则有{;[:
3b+c=0,解得[二[2,...抛物线的解析式为y=-『-z什3,顶点D(-1,4).
(2)9:
A(-3,0),C(0,3),。
(-1,4),•"山=」(-3+1产+(0-41=2日,
CD=J(0+1)2+(3—4尸=扬AC=7(-3-0)2+(0-3)2=3vl,・"店+5=山,
CD1
/.Z^CD=90°,AtanZZ)JC=^=j.
(3)过点尸作x轴的垂线,垂足为H•••点尸在抛物线y=-/-2什3上,
工设尸(①-a1-2k3),可得PH=|-(T-2a+3|,XH=〃+3,;ZRiB=ZDAC,:
.tanZR-lB=tanZDAC=1.
2211
①当"3=3(-J―"3),解得4=1•或-3(舍弃),:
.P(->—),
过点P作x轴的平行线与抛物线交于点N,则点N与点P关于直线x=-1对称,
根据对称性可知N(-垓=),・••平移的距离为J93
②当"3=-3(-/-2什3),解得a=*或-3(舍弃),,尸(右一守,
过点P作X轴的平行线交抛物线于点Q,则点。
与点P关于直线x=-1对称,
根据对称性可知2(一学,-掾),
14
,平移的距离为一,
3
1014
综上所述,平移的距离为工或二33
7.(2020•普陀区二模)在平面直角坐标系xQv中(如图),已知点,4在x轴的正半轴上,且与原点的距离为3,抛物线y=a『-4G+3(〃父0)经过点X,其顶点为C,直线y=1与y轴交于点8,与抛物线交于点。
(在我对称轴右侧),联结3C、CD.
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标;
(2)点尸是y轴的负半轴上的一点,如果△MC与△88相似,且相似比不为1,求点尸的坐标:
(3)将NC&)绕着点8逆时针方向旋转,使射线经过点.4,另一边与抛物线交于点E(点E在对称轴的右侧),求点E的坐标.
【解析】
(1)•・•点工在x轴的正半轴上,且与原点的距离为3,・・.d(3,0),
把X(3,0)代入抛物线-4ax+3中得:
0=9a-12o+3,Ao=b
・•・抛物线的表达式为:
y=f-4x+3,y=R-4x+3=(x-2)2-1,:
C(2,-1);
(2)当y=l时,?
-4a-+3=1,解得:
xi=2-x/2,%2=2+V5,由题意得:
D(2+^2,1),
'•'B(0,1),C(2,-1),:
・BC="+(1+I.=2。
BD=2+五,,:
NDBC=/PBC=45°,且相似比不
Cb8P21/2"BP
为1•只能△CBPs/YDSC.:
.——=77",即==~产,;.BP=8-4施,:
・P(0,4\[2—1):
DBBC2+\/22^2
(3)连接dC,过E作EH上BD于H,由旋转得:
NCBD=/ABE,:
.NEBDjABC.
•.\452=32+12=10,BC2=22+22=4>AC1=12+12=2.:
..4B2=BC2+AC29
pu
••tanNEBD=)=•设EH=m,则BH~2ni•/.E(2m»w+1)t
丁点E在抛物线上,,(2m)2-4X2m+3=;w+l,4?
h2-9///+2=0,解得:
桁1=2—〈(舍),(4.3).
8.(2020•杨浦区二模)如图,已知在平面直角坐标系中,抛物线y=62+6x+4经过点.4(-3,0)和点8(3,
2),与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式:
(2)点尸是抛物线在第一象限内一点,联结如果点。
关于直线XP的对称点。
恰好落在x轴上,求直线,产的截距;
(3)在
(2)小题的条件下,如果点E是y轴正半轴上一点,点尸是直线,"上一点.当△E40与△瓦函全等时,求点E的纵坐标.
【解析】⑴•・•抛物线+外+4过点X(-3,0)和点B(3,2),
噫;著解得后匕.,—+%
(2)如图1,连接XC,•••点C关于直线乂尸的对称点。
,,乂。
=10;
••'=一!
/+:
”+4与、轴交于点。
(0,4),与x轴交于点乂(-3,0),:
.AC=5,・"4D=5.
...点。
(2,0),设直线乂尸与),轴交于点A,则HC=HD,
设OH=a,则8C=/£D=4-a,在RtZ\HOZ)中,HD2=OH1+OD2.:
.(4-。
)2=7+2二直线心的截距为3;(3);点E是r轴正半轴上一点,・••ZUOE是直角三角形,且NXOE=9(r当△E4。
与△£小全等时,存在两种情况:
①如图2,当NM」=NzlOE=9(r,AEE4乌AAOE,:
.EF=OA,•:
/AHO=NEHF,NAOH=NEFH=90。
:
.AH=EH.
由
(2)知:
OH=%,:
.EH=AH=OE-1,RtA田。
中,庙=QtOH,A(OE-|)2=3?
+(|)2,
解得:
OE=注12或匕①1(舍)..••点E的纵坐标是3+3\2②如图3,当N跖勺NKOE=90°,/\EE4@AEOA,222
:
..4F=AO=3,EF=OE,RtAAHO中,HH=旧+(苏=竽,:
.FH=^-3,EH=;-OE,
33/5
RtZXE切中,由勾股定理得:
EH2=Fffi+EF2,:
.(一一OE)2=(--3)2+0£2,解得:
OE=3如一6,22
•*•点E的纵坐标是3V百—6;
3+3\/S-
综上,点石的纵坐标是一--或3V5-6.
9.(2020•嘉定区二模)在平面直角坐标系xQv中(如图),已知经过点乂(-3,0)的抛物线丁=办2+2加-3与),
轴交于点C,点8与点乂关于该抛物线的对称轴对称,。
为该抛物线的顶点.
(1)直接写出该抛物线的对称轴以及点8的坐标、点。
的坐标、点。
的坐标;
(2)联结,山、DC、CB,求四边形,38的面积:
(3)联结,4C.如果点E在该抛物线上,过点石作工轴的垂线,垂足为线段交线段.4C于点尸.当EF
=2切时,求点E的坐标.
J'小
1-
A,
-1
-2
-3
【分析】
(1)该抛物线的对称轴为直线、=于=一1,而点X(-3,0),求出点8的坐标,进而求解:
(2)将四边形,38的面枳分解为△A4M、梯形21MoC、△BOC的面积和,即可求解:
(3)设点EG,f+2x-3),则点尸G,-X-1),求出ER长度的表达式,即可求解.
【解析】
(1)•・•该抛物线的对称轴为直线》=或=一1,而点,4(-3,0),La
•••点8的坐标为(1,0),
•・・c=-3,故点。
的坐标为(0,-3),
•••函数的对称轴为X=-1,故点。
的坐标为(-1,-4):
3
△obc=2°8℃=2X1X3=
(2)过点D作DWLM,垂足为
7
+4)X1=.
••S四边¥公BCD=S"DM+S悌的CDM+S^OBC=4+2+2=9
(3)设直线zic的表达式为:
尸日也则/二二\7解得:
e=
故直线dC的表达式为:
y=-x-3,
将点d的坐标代入抛物线表达式得:
9。
-6。
-3=0,解得:
a=l,
故抛物线的表达式为:
y=x2+2x-3,
设点E(x./+2x-3),则点尸(x,-x-3),
则EF=(-x-3)-(x2+2x-3)=-/-3x,FH=x+3.
•:
EF=2FH,
•\"x"-3x=2(x+3),解得:
x=-2或-3(舍去-3),
故m=-2,
故点E的坐标为:
(-2,-3).
10.(2020•长宁区二模)如图,在平面直角坐标系xQv中,己知抛物线尸也经过点乂(2,-2),对称轴是直线x=l,顶点为点3,抛物线与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式和点8的坐标;
(2)将上述抛物线向下平移1个单位,平移后的抛物线与x轴正半轴交于点。
,求△88的面积;
BQ1
(3)如果点尸在原抛物线上,且在对称轴的右侧,联结3尸交线段。
引于点0,言=—求点尸的坐标.
T个4■
3■
2■1-
-4-3-2-1(9~
-1-
-2-
-3-
-4-
【分析】
(1)先根据对称轴求出胆,再将点乂坐标代入抛物线解析式中求出〃,得出抛物线解析式,最后配成顶
点式,即可得出结论:
(2)先求出点。
坐标,进而求出直线CQ解析式,得出点E坐标,再用而积公式求解即可得出结论:
表示出。
"=*(/-2"1),正以=反(。
(3)设出点尸坐标,构造出△HV/Qs/Xhvs,得出篙=熬
-1),进而表示出°*+工/2—%-去,代入直线0,中,即可得出结论.【解析】⑴•••抛物绞产/+加什〃的对称轴是直线x=l,
w=-2,
,抛物线解析式为-2x+n,
・••抛物线过点(2,-2),
.\4-2X2+W=-2,
・F=-2,
工抛物线的解析式为y=x2-2x-2=G-1)2-3,
・••顶点3的坐标为(1,-3);
(2)如图1,由平移知,平移后的抛物线解析式为),=/-Zx-3,令y=0,贝ij/-2x-3=0,
.*.a=-1或x=3,
•.•点。
在x正半轴上,
:
.D(3,0),
针对于抛物线y=/-2x-2,
令x=0,贝iJ),=-2,
:
.C(0,-2),
,直线CD的解析式为产=yX-2,
记直线8与直线X=1的交点为£则E(L
114q
S.BCD=2BE^-xc\=2X—3"(-3)|X3=I:
(3)如图2,设尸(a,
过点尸作尸N垂直于直线x=1于点N过点Q作QM1PN于M,
:
.qm//nb9
:
APMOsWNB,
.QM_PM_PQ
••丽―丽一国
•■BQ1
丽=7
•QM_PM_5
"Jn一丽"丁
•:
PN=a-bBN=a2-2a-2+3=a2-2a+l,
.QM_PM_5
a2-2a+la-16'
••OU|(J-2〃+l),PM=l(a-1),~bo
:
・MN=PN-PM="(a-1),点。
与点3的纵坐标之差的绝对值为:
(£-2a+l),
.八」,512111、
•Q(^+6*
•:
A(2,-2),
•••直线。
4的解析式为y=-x,
•.•点。
在线段。
4上,
••尹石+旷尸石国
-3(舍)或4=4,
:
.P(4,6).
02
11.(2020•宝山区二模)如图,在平面直角坐标系xQv中,抛物线y=af-24x-3a(a<0)与x轴交于工3两点
(点H在点3的左侧),经过点乂的直线/:
与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为Q.且
CD=4AC.
(1)直接写出点.4的坐标,并求直线/的函数表达式(其中左、6用含。
的式子表示):
(2)点上是直线/上方的抛物线上的动点,若△,4CE的而积的最大值为3求。
的值:
(3)设尸是抛物线的对称轴上的一点,点。
在抛物线上,当以点,4、D、P、。
为顶点的四边形为矩形时,请直接写出点尸的坐标.
【分析】
(1)将已知抛物线解析式转化为两点式,可以直接得到点H的坐标:
根据直线y=Z6过H(-b
0),得到直线,:
y=kx+k,解方程得到点。
的横坐标为4,求得无得到直线/的函数表达式为),=以+。
;
(2)过E作"〃y轴交直线/于F,设E(x,g2-2G・3々),得到尸(x,ax+a),求出EF=af-3"-4a,根据三角形的面积公式列方程即可得到结论;
(3)令以2-2ax-3a=ax+a,即a/TaxTan。
,得到。
(4,5a),设尸(1,所),①若,切是矩形尸。
的一条边,②若是矩形JPQ0的对角线,列方程即可得到结论.
【解析】
(1)当、=。
/-26-34=。
(x+1)(x-3),得K(-1,0),B(3,0),
•:
直线/:
过d(-1,0),
:
Q=・Zb,
即k=b,
工直线/:
产kx+k,
•・•抛物线与直线/交于点乂,D,
••.ax?
-lax-3a=kx+k,
RPar-(2a+k)x-3〃-k=0,
\9CD=4AC.
•••点。
的横坐标为4,
工-3/=-1X4,a
:
.k=a,
.•.直线/的函数表达式为y=ax+a:
(2)如图1,过E作E尸〃y轴交直线,于F,
设E(x,ax^-2ax-3a\
贝ljF(x,ax+a),EF=aW-2ax-3a-ax-a=ax2-3ax-4a,
],])]325
,S.7CE=SUFF-S;CEF=不(ox2-3ax-4t7)(x+l)-^-(ar2-3ax-4a)x=z-(a>T-3ax-4a)=不々(x—不)-g-〃,
ZZZZZo
25
,AACE的面积的最大值——a.
•••△JCE的面积的最大值为4
・25_5
••一47=中
解得°=一之
(3)以点X、D、尸、。
为顶点的四边形能成为矩形,令ax2-2ax-3a=ax+a9即ax1-3ax-4a=0>
解得:
xi=-1,X2=4,
:
・D(4,5o),
•・•抛物线的对称轴为直线X=l,
设尸(LJM),
①如图2,若,切是矩形的一条边,
:
.m=21a+5a=26a,则尸(1,26a),
•・•四边形尸。
是矩形,
AZ-WP=90°,
•••adIpd'ap2,
:
.52+(5d)2+32+(26〃-5。
)2=22+(26。
)2,
即CT=y,
••ZVO,._7
・・・尸(1,一竽):
②如图3,若是矩形.花。
0的对角线,
图3
则易得。
(2,