射影面积法求二面角.docx
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射影面积法求二面角
S射影
射影面积法(cosq=)
的大小。
s射的都可利用射影面积公式(COS射)求出二面角
S斜
S原
积凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面
例1、
如图,在底面是一直角梯形的四棱锥
S-ABCD中,
AD〃BC,ZABC=90°,SA丄平面ABC,SA=AB=BC=1,
1
AD=2•求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法1:
可用射影面积法来求,这里只要求出SaSCD与SaSAB即
可,
故所求的二面角e应满足cos=
1
=1211=6
=1s2=322例2.(2008北京理)如图,在三棱锥P
ABC中,
ACBC2,ACB90,
APBPAB,PCAC・
(I)求证:
PCAB;
(II)求二面角BAPC的大小;
P
C
解:
(I)证略
(II)ACBC,APBP,
AAPCBPC・
又PCAC,
PCBC・
又ACB90,即ACBC,且ACPCC,
BC平面PAC・
取AP中点E・连结BE,CE・
ABBP,BEAP・
EC是BE在平面PAC内的射影,
CEAP・
・•・△人。
£是4ABE在平面ACP内的射影,于是可求得:
ABBPAPAC2CB222,
11
BEAB2AE26,
AEEC2贝ljS.SACEAECE221'
22
S頑Sabe1AEEB1263
s射13
设二面角BAPC的大小为,则cos13
S原33
面角BAPC的大小为arccos
练习1:
如图5,E为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CG的中点,求平面ABiE和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值・
2脊条:
所求二回用旳采5幺但方cojU
3
Ai
Bi
2•如图一,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,
APAB2,BC22,E,F分别是AD,PC的中点.
(1)证明:
PC平面BEF;
(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小.
题
(1)解略;题
(2)中平面BEF与平面BAP夹角即为平面BEF与平
面BAP所成的锐二面角.
方法一:
垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面,此平面截得的图形便是二面角的平面角•
如图一:
PA平面ABCD,BC平面ABCD,PABC.
又BCAB,ABPAA,BC平面BAP.
又BC平面PBC,平面PBC平面BAP.
由题
(1),PC平面BEF,PC平面BEF,平面PBC平面BEF.所以PBF是所求二面角的平面角.
PBPA?
AB?
22,PFPCiAB?
BOPA?
22
sinPBF生2PBF
即平面BEF与平面BAP夹角为.
4方法二:
平移平面法
如果两平行平面同时与第三个平面相交,那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作
出二面角的平面角如图二:
取BC的中点G,连接FG,EG.
E,F分别是AD,PC的中点,EGAB,FGPB.
又FGEGG,ABPBB,
平面EFG平面BAP.
二面角BEFG的大小就是平面BEF与平面BAP夹角的大小.可以证明BFG为二面角BEFG的平面角,并求出其大小为.
4
方法三:
射影法
利用公式cos,貞中S表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积,S表示S
此多边形在另一个半平面射影的面积,表示原图形与射影图形所成的二面角•
F为PC中点,FHBC,AEBC.由解法一知,BC平面
BAP,
FH平面BAP,AE平面BAP,点F、E在平面BAP内的射影分别为H、A.
BEF在平面BAP上的射影为BAH.
可以证明BEF和BAH均为直角三角形.
1
HFBC,AEBC,HFBCBC,
2
四边形HFEA为平行四边形,EFAE.
记平面BEF与平面BAP夹角为,则cossbah2,
SBEF2
所以,即平面BEF与平面BAP夹角为.44
3■已知ABC是正三角形,PA平面
ABC且PA=AB=a5求二面角A-PC-
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的,本题
可利用三垂线定理(逆)来作
平面角,还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公
式求二面角的平面角。
解1:
(三垂线定理法)
取AC的中点E,连接BE,过E做EFPC,连接BF
E平面PAC
BFE为二面角A・PC・B的平面角
tanBFE=BE6
EF
BFE=argtan6
解2:
(三垂线定理法)
C的中点E,连接AE,PE过A做AFPE,FMPC,连
FM
AB=AC3PB=PC
AEBC5PEBC
C平面PAE5BC平面PBC
图2
平面PAE平面PBC5平面PAE平面
PBC=PE
由三垂线定理知AMPC
FMA为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1,AM=2tAF=AP.AE21
2PE
sinFMA=AF42
AM7
fma=argsin
解3:
(投影法)
过B作BEAC于巳连结PE
PA平面ABC,
PA平面PAC
平面PAC平面
ABC,平面PAC平面ABC=AC
E平面PAC
PEC是PBC在平面PAC上的射影
设PA=1,贝I]PB=PC=25AB=1
图3
SPEC
17
,sPBC
由射影面积公式得,SPBC
cosSPEC7argcos7,
4•在单位正方体A1B1C1D1ABCD求二面角AAQB的度
三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面角的平面角,进而求解。
解法一.作AOAQ,取AiB的中点M,连结OM.AM.
AM平面AiBC
AMAiB
AMBC
AiBBCB
由三垂线逆定理知°MAiC
AOM为所求二面角AAiCB的平面角
在RtAiAC中
aoAAiAC6
AiCAiC3
sinAOM
AM
AO
AOM60
・射影法
利用斜面面积和射影面积的关系:
S峡S初cos(为斜面与射影所成二面角的
平面角)直接求解。
解法二、取AC的中点G,连结BG
BGAC
bgaaiBG平面AAiC
AiBC在平面AiAC±的射影为AiGC
ACAAiA
ss222
sAGCsRtAlAG
cos
1244
sAiGCsRtAiBCCOS
从而二面角AAiCB的大小为60
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- 射影 面积 二面角