平面几何经典难题及解答.docx
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平面几何经典难题及解答.docx
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平面几何经典难题及解答
经典难题
(一)
1、已知:
如图,0是半圆的圆心,CE是圆上的两点,CD丄AB,EF丄AB,EGLCO
求证:
CD=GF.
4、已知:
如图,在四边形ABCD中,AD=BC,MN分别是ABCD的中点,ADBC的延长线
交MN于E、F.
求证:
/DEN=ZF.
经典难题
(二)
1、已知:
△ABC中,H为垂心(各边高线的交点),0为外心,且OMLBC于M.
(1)
求证:
AH=20M
(2)若/BAC=600,求证:
2、设MN是圆O外一直线,过0作OALMN于A自A引圆的两条直线,交圆于B、C及DE,
直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证:
AP=AQ(初二)
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BCDE设CDEB分别交MN于P、Q.
求证:
AP=AQ(初二)
4、如图,分别以厶ABC的AC和BC为一边,在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG
点P是EF的中点.
求证:
点P到边AB的距离等于AB的一半.(初二)
经典难题(三)
1、如图,四边形ABCD为正方形,
求证:
CE=CF.(初二)
DE//AC,AE=AC,AE与CD相交于F.
E
2、如图,四边形ABCD为正方形,DE//AC,且CE=CA直线EC交DA延长线于F.求证:
AE=AF.(初二)
3、设P是正方形ABCD-边BC上的任一点,PF丄AP,CF平分/DCE
求证:
PA=PF.(初二)
4、如图,PC切圆0于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线P0相交于BD.求
证:
AB=DCBC=AD(初三)
经典难题(四)
1、已知:
△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求:
/APB的度数.(初二)
2、设P是平行四边形ABCD内部的一点,且/PBA=ZPDA求证:
/PAB=ZPCB(初二)
4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BCAB上的一点,AE与CF相交于P,且
AE=CF.求证:
/DPA=ZDPC(初二)
经典难题(五)
1、设P是边长为1的正△ABC内任一点,L=PA+PB+PC,求证:
BC
2、已知:
P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
3、P为正方形ABCD内的一点,并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的边长.
AD
4、如图,△ABC中,/ABC=ZACB=80°,DE分别是ABAC上的点,/DCA=30°,=20°,求/BED的度数.
经典难题解答
经典难题
(一)
1.如下图做GHLAB,连接EO由于GOFE四点共圆,所以/GFHkZOEG,即厶OGE可得■EO=GO=C°,又CO=EO所以CD=G碍证。
GFGHCD
2.如下图做厶DGC使与厶ADP全等,可得△PDG为等边△,从而可得
△DGQAAPD^ACGP,得出PC=AD=DC和/DCGNPCG=15°所以/DCP=30,从而得出△PBC是正三角形
3.如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接C2F与AE并延长相交于Q点,连接EB并延长交C2Q于H点,连接FE2并延长交AQ于G点,
由AE=*AB=*BG=FB2,EB=》AB=2bC=FC,又/GFQ亡Q=90和
/GEB^+ZQ=9C°,所以/GE32=ZGFQ又/BFC2=/A2EB,
可得△B2FCBAAEB2,所以AzRuBCb,
又/GFQ#HB2F=900和/GFQ2EBA,从而可得/A2B2C2=900,
同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形AB2GD2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q连接QN和QM所以可得/QMF=/F,/QNMNDEN和/QMN/QNM从而得出/DEN=/F。
经典难题
(二)
1.
(1)延长AD到F连BF,做0G_AF,
又/F=/ACB=/BHD,
可得BH=BF从而可得HD=DF
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=20M
(2)连接OB0C既得/BOC=120,
从而可得/B0M=600所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。
3.作0巳CDOGLBE连接OPOAOF,AF,OGAGOQ
由于AD=AC=CD
ABAEBE
=2FD=FD
-2BG=BG,
由此可得厶ADF^AABQ从而可得/AFC=ZAGE
又因为PFOA与QGOA9点共圆,可得/AFC=ZAOP和/AGE2AOQ/AOP=/AOQ从而可得AP=AQ
4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EGCI,FHo可得PQ=EG+FH
2由厶EGA2^AIC,可得EG=A,由厶BFrt^ACBI,可得FH=BI。
AI+BIAB
从而可得PQ==,从而得证。
经典难题(三)
1•顺时针旋转△ADE到厶ABG连接CG.
由于/ABG=ZADE=90+45°=135°
从而可得B,G,D在一条直线上,可得△AGB^ACGB推出AE=AG=AC=GC可得厶AGC为等边三角形。
/AGB=3°,既得/EAC=3°,从而可得/AEC=75°。
又/EFC玄DFA=45+30°=75°.
可证:
CE=CF。
2.连接BD作CHLDE可得四边形CGD是正方形。
由AC=CE=2GC=2CH
可得/CEH=3°,所以/CAE=/CEA玄AED=l5,
又/FAE=90+45°+15°=15O°,
从而可知道/F=15°,从而得出AE=AF
3.作FGLCDFE丄BE可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。
XZ2
tan/BAP=tan/EPF==,可得YZ=XY-X+XZ,
YY-X+Z
即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出△ABP^APEF,得到PA=PF,得证。
经典难题(四)
1.顺时针旋转△ABP600,连接PQ,则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以/APB=1500。
2•作过P点平行于AD的直线,并选一点E,使AE//DCBE//PC.可以得出/ABP=/ADP=/AEP可得:
AEBP共圆(一边所对两角相等)。
可得/BAP=/BEP=/BCP得证。
3.在BD取一点E,使/BCE/ACD既得△BE3AADC可得:
BE=JAD,即AD?
BC=BEAC,①
BCAC
又/ACB/DCE可得△AB3ADEC既得
些=匹,即AB?
CD=DEAC②
ACDC
由①+②可得:
AB?
CD+ADBC=AC(BE+DE)=ACBD,得证。
4.过D作AQLAE,AdCF,由SVADE=-SyABCD=Svdfc,可得:
2
AEgPQ=AEgPQ,由ae=fc
22
可得DQ=DG可得/DPA=ZDPC(角平分线逆定理)。
经典难题(五)
1.
(1)顺时针旋转△BPC600,可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP++PE+要使最小只要AP,PEEF在一条直线上,
即如下图:
可得最小L=
(2)过P点作BC的平行线交AB,AC与点D,F。
由于/APDNATP=ZADP
推出AD>AP①
又BP+DP>BP②
和PF+FC>PC③
又DF=AF④
由①②③④可得:
最大L<2;
由
(1)和
(2)既得:
2.顺时针旋转△BPC600,可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+E要使最小只要AP,PEEF在一条直线上,即如下图:
可得最小PA+PB+PC=AF
既得AF=1+(弓+1)2=)2+73=j4+=;于=亦3+1)
_恵+花
3.顺时针旋转△ABP90°,可得如下图:
4.在AB上找一点F,使/BCF=60,连接EF,DG既得△BGC为等边三角形,可得/DCF=10,/FCE=20,推出△ABE^AACF,
得到BE=CF,FG=GE。
推出:
△FGE为等边三角形,可得/AFE=8d,
既得:
/DFG=40又BD=BC=BG既得/BGD=80,既得/DGF=40推得:
DF=DG,得到:
△DFE^ADGE,从而推得:
/FED=/BED=30。
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