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精品考研高等数学教学计划
考研《高等数学》教学计划(共32学时)
(第一轮)
高等数学内容是考研数学中占的比重最多的部分,几乎占整个卷面分值的56%左右.为了使同学们迅速有效地掌握高等数学基本知识,吃透考研大纲,特制定以下教学计划.
参考教材:
《高等数学》,同济版
第一部分函数、极限与连续
考纲要求:
1、理解函数的概念、掌握函数的表示法,了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性.
2、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。
3、掌握基本初等函数的性质及图形,了解初等函数的概念
4、理解极限、左(右)极限的概念及函数极限存在与左(右)极限之间的关系
5、掌握极限的性质及四则运算、极限的存在两个准则、并会利用两个准则求极限,掌握利用两个重要极限公式求极限.
6、理解无穷小(大)的概念,掌握无穷小的比较,利用等价无穷小求极限方法。
7、理解函数连续性(左、右)连续的概念,会判断间断点类型。
8、了解连续函数的性质和初等函数的性质,理解闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值定理),并会运用这些性质。
教学安排:
约6学时
第一讲2学时
函数的概念、常见的函数(有界性、奇偶性、周期性、单调性)。
数列(函数)极限的定义及性质(唯一性、有界性、保号性)。
函数极限与数列极限的关系等。
(课后的相关习题)
第二讲2学时
极限的运算法则(6个定理及一些推论);无穷小与无穷大的定义,无穷小的比较,以及与极限的关系;两个重要极限公式及等价形式;极限存在准则(夹逼定理、单调有界数列必有极限),利用函数极限求数列极限,利用两个准则求极限.(课后的相关习题)
第三讲2学时
无穷小的阶的概念(同阶无穷小、高阶无穷小、K阶无穷小、等价无穷小)和确定方法。
函数的连续性、间断点的分类;判断函数的连续性和间断点类型;闭区间上连续函数的性质:
有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理(零点定理是证明根的存在性的一种重要方法)(课后的相关习题)
第二部分一元函数微分学
考纲要求:
1、理解导数与微分的概念、关系,导数的几何意义,会求平面曲线的切线和法线方程,了解导数的物理意义,理解函数可导性和连续性关系。
2、掌握导数的四则运算和复合函数求导法则,基本初等函数的求导
公式,了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。
了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.
3、会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
4、理解并会用洛尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理、了解并会用柯西中值定理。
5、掌握用罗比达法则求不定式的极限;理解函数极值的概念、掌握用导数判断函数单调性和极值的方法;掌握求函数最大(小)值的方法及应用.
6、会用导数判断函数的凹凸性,会求函数的拐点、渐近线以及描绘函数图像。
了解曲率、曲率圆和曲率半径。
会计算曲率及曲率半径。
教学安排约4学时
第一讲2学时
导数与微分的概念、关系,导数的几何意义,平面曲线的切线和法线方程,函数可导性和连续性关系;导数的四则运算和复合函数求导法则,基本初等函数的求导公式,微分的四则运算,函数的微分.高阶导数.分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数以及反函数的求导(课后的相关习题)
第二讲2学时
中值定理(洛尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理),罗比达法则求不定式的极限、函数极值的概念、用导数判断函数单调性和极值的方法;掌握求函数最大(小)值的方法及应用,函数的凹凸性、拐点、渐近线,曲率、曲率圆和曲率半径。
(课后的相关习题)
第三部分一元函数的积分学
考纲要求:
1、理解原函数的概念,不定积分和定积分的概念,掌握不定积分的基本公式、不定积分和定积分的性质及定积分的中值定理,换元法与分部积分法。
2、会求有理函数和三角函数有理式和简单无理函数的积分.
3、理解积分上限函数,会求它的导数、掌握微积分基本公式,了解反常积分的概念,会计算反常积分。
掌握用定积分表达和计算一些几何和物理量及函数的平均值.
教学安排约4学时
第一讲2学时
不定积分和定积分的概念、性质、换元法与分部积分法,有理函数的积分
三角函数有理式和简单无理函数的积分。
(课后的相关习题)
第二讲2学时
积分上限函数、微积分基本公式、反常积分,定积分表达和计算一些几何和物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、侧面积、平行截面为已知的立体的体积、功、引力、压力、形心等).(课后的相关习题)
第四部分向量代数和空间解析几何
考纲要求:
1、理解空间直角坐标系,向量的概念及表示。
掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),了解两向量垂直和平行的条件。
理解单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式,掌握用向量的坐标表达式进行向量运算。
2、掌握平面方程和直线方程及其求法,会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。
3、会求点到直线和平面的距离,了解空间曲线和曲面方程的概念、常用二次曲面的方程及其图形,会求简单的柱面及其旋转曲面的方程。
了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标面的投影,并会求该投影曲线方程。
教学安排2学时
将本部分内容串讲归纳总结,讲解相关例题,练习课后习题,加以巩固.(课后的相关习题)
第五部分多元函数微分学
考纲要求:
1、理解多元函数的概念、二元函数的几何意义,了解二元函数的极限与连续的概念及有界闭区域上连续函数的性质,理解多元函数的偏导数和全微分,会求偏导数和全微分,了解偏导数存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。
2、理解方向导数和梯度的概念,掌握其计算方法,掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法,了解隐函数的存在定理,会求多元隐函数的偏导数。
3、了解空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线方程,会求它们的方程,
了解二元函数的泰勒公式。
了解多元函数的极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解极值存在的充分条件,会求多元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大(小)值,并会解决简单的实际应用问题。
教学安排约4学时
第一讲2学时
多元函数的概念、极限和连续性,偏导数和全微分,方向导数和梯度。
多元复合函数的求导(链式法则)。
(课后的相关习题)
第二讲2学时
多元隐函数,空间曲线和曲面
二元函数的泰勒公式,多元函数的极值和条件极值、拉格朗日乘数法。
(课后的相关习题)
第六部分多元函数积分学
考纲要求:
1、理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质、二重积分的中值定理,掌握二重积分的计算方法(直角坐标系、极坐标系),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)
2、理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及其关系,掌握计算两类曲线积分的方法,掌握格林公式并会运用平面曲线积分和路径无关的条件,会求二元函数全微分的原函数.
3、了解两类曲面积分的概念、性质及其关系,掌握两类曲面积分的计算方法,用高斯公式计算曲面积分、斯托克斯公式计算曲线积分的方法。
了解散度和旋度的概念,并会计算,会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量和物理量。
教学安排约4学时
第一讲2学时
二重积分、三重积分的概念及性质,二重积分及三重积分的计算。
两类曲线积分的概念、性质及其关系及其计算方法。
(课后的相关习题)
第二讲2学时
格林公式,求二元函数全微分的原函数,两类曲面积分的概念、性质及其关系,两类曲面积分的计算,高斯公式、斯托克斯公式。
散度和旋度、计算一些几何量和物理量等。
(课后的相关习题)
第七部分无穷级数
考纲要求;
1、理解常数项级数收敛、发散及收敛级数和的概念,掌握级数收敛的性质及收敛的必要条件,几何级数,p级数收敛与发散的条件。
正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法,掌握交错计算收敛的莱布尼茨判别法,了解任意项级数的绝对收敛和条件收敛的概念及其关系。
2、理解幂级数的收敛半径的概念、收敛半径、收敛域、收敛区间的求法,了解幂级数在其收敛区间内的性质(和函数的连续性、逐项求导,逐项求积分),会求幂级数收敛区间内的和函数,并由此求一些数项级数的和,了解函数展开成泰勒级数的充要条件.
掌握几个基本函数的马克劳林展开式,会用它们将一些简单函数展开成幂级数,了解傅立叶级数的概念和收敛定理,会将定义在[—l,l]的函数展开成付氏级数,会将定义在[0,l]的函数展开成正弦级数和余弦级数,会写出付氏级数的和函数。
教学安排约4课时
第一讲2课时
常数项级数、几何级数,p级数收敛与发散的条件。
正项级数(比较判别法、比值判别法、根值判别法),任意项级数的绝对收敛与条件收敛、幂级数收敛半径、收敛域、收敛区间的求法,和函数的性质(连续性、逐项求导性,逐项求积分)(课后的相关习题)
第二讲2学时
泰勒级数,基本函数的马克劳林展开式,将一些简单函数展开成幂级数,傅立叶级数。
(课后的相关习题)
第八部分常微分方程
考纲要求:
1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念,掌握可分离变量和一阶微分方程的解法,会解齐次方程、贝努利方程和全微分方程、简单的变量代换解某些微分方程,降阶法、理解线性微分方程解的性质及其解的结构。
2、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,并会求某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程,
会解自由项为多项式、指数函数、正弦(余弦)函数以及它们的和与积的常系数非齐次线性微分方程。
会解欧拉方程、会运用微分方程解决实际问题。
教学安排约4学时
第一讲2学时
微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念,可分离变量和一阶微分方程,齐次方程、贝努利方程和全微分方程,降阶法、线性微分方程解的性质及其解的结构.(课后的相关习题)
第二讲2学时
二阶常系数(非)齐次线性微分方程,欧拉方程,微分方程的应用.(课后的相关习题)
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