四点共圆基本判断方法(超全).ppt
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四点共圆基本判断方法(超全).ppt
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Key.四点共圆的证明五个基本判断方法:
1.若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆。
2.若一个四边形的一组对角互补(和为180),则这个四边形的四个点共圆。
3.若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆。
4.若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线的两个端点共圆。
5.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
1.若四个点到一个定点的距离相等,则这四个点共圆。
如图,菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:
E,F,G,H四个点在以O为圆心的同一个圆上分析指导:
利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半,再利用菱形的四边相等即可证出。
2.若一个四边形的一组对角互补(和为180),则这个四边形的四个点共圆若A+C=180或B+D=180,则点A、B、C、D四点共圆已知:
四边形ABCD中,A+C=180求证:
四边形ABCD内接于一个圆(A,B,C,D四点共圆证明:
用反证法过A,B,D作圆O,假设C不在圆O上,则C在圆外或圆内,若C在圆外,设BC交圆O于C,连结DC,根据圆内接四边形的性质得A+DCB=180,A+C=180DCB=C这与三角形外角定理矛盾,故C不可能在圆外。
类似地可证C不可能在圆内。
C在圆O上,也即A,B,C,D四点共圆。
3.若一个四边形的外角等于它的内对角,则这个四边形的四个点共圆。
若B=CDE,则A、B、C、D四点共圆证法同上例如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,过点A和点B的圆与AD、BC分别交于E、F点。
求证:
C、D、E、F四点共圆。
分析:
欲证C、D、E、F四点共圆,可证以该四点构成的四边形中,一组对角互补或外角等于内对角即可。
由此,连接EF构成四边形EFCD后,证明BFE=D即可。
证明:
连接EF,四边形ABFE是圆内接四边形,A+BFE=180。
又四边形ABCD是平行四边形,A+D=180。
BFE=D。
C、D、E、F四点共圆4.若两个点在一条线段的同旁,并且和这条线段的两端连线所夹的角相等,那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。
若A=D或ABD=ACD,则A、B、C、D四点共圆用反证法:
已知:
同侧ABC和CBD,共有底边CB,A=D,求证:
A、B、C、D四点共圆证明:
假设四点不在同一圆上,作ABC外接圆,则D点不在圆上,因二角共用AB弧,则AD,与实际不符,所以只有D点在ABC外接圆上,故A、B、C、D四点共圆。
5.同斜边的直角三角形的顶点共圆如图如图1,四边形,四边形ABCD中,中,A=C=90,求证:
,求证:
A、B、C、D四四点共圆点共圆.如图如图2,A=C=90,求证:
,求证:
A、B、C、D四点共圆四点共圆.分析指导:
可以直接根据圆的定义证明分析指导:
可以直接根据圆的定义证明A、B、C、D四点到四点到某一定点的距离相等某一定点的距离相等.取斜边的中点取斜边的中点O.,再连接,再连接A.C,利用斜边利用斜边中点等于斜边一半证中点等于斜边一半证OA=OB=OC=OD。
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