与圆有关的函数问.docx
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与圆有关的函数问
与圆有关的函数问题(2012.A)
1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0),B(4,0),C(0,-4),⊙M是△ABC的外接圆,M为圆心.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求阴影部分的面积;
(3)在x轴的正半轴上有一点P,作PQ⊥x轴交BC于Q,设PQ=k,△CPQ的面积为S,求S关于k的函数关系式,并求出S的最大值.
2.如图,在平面直角坐标系中,半圆M的圆心M在x轴上,半圆M交x轴于A(-1,0)、B(4,0)两点,交y轴于点C,弦AC的垂直平分线交y轴于点D,连接AD并延长交半圆M于点E.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)求证:
AC=CE;(3)若P为x轴负半轴上的一点,且OP=
AE,是否存在过点P的直线,使该直线与
(1)中所得的抛物线的两个交点到y轴的距离相等?
若存在,求出这条直线的解析式;若不存在.请说明理由.
3.如图,已知射线DE与x轴和
轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4),动点C从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标;
(2)以点C为圆心、
t个单位长度为半径的⊙C与
x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.
①当⊙C与射线DE有公共点时,求t的取值范围;
②当△PAB为等腰三角形时,求t的值.
4.如图,二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),△ABC的面积为
.
(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使四边形ACBD为直角梯形?
若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图,在平面直角坐标系中,以点A(-3,0)为圆心、5为半径的圆与x轴相交于点B、C两点(点B在点C的左边),与y轴相交于D、M两点(点D在点M的下方).
(1)求以直线x=-3为对称轴、且经过D、C两点的抛物线的解析式;
(2)若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点,求PC+PD的取值范围;
(3)若点E为这条抛物线对称轴上的点,则在抛物线上是否存在这样的点F,使得以点B、C、E、F
为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求出点F的坐标;若不存在,说明理由.
6..在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4),直线CM∥
轴(如图所示).点B与点A关于原点对称,直线y=x+b(
为常数)经过点B,且与直线CM相交于点D,联结OD.
(1)求b的值和点D的坐标;
(2)设点P在
轴的正半轴上,若△POD是等腰三角形,求点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,如果以PD为半径的圆P与圆O外切,求圆O的半径.
7..已知在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为A(3,0),C(0,4),点D的坐标为D(-5,0),点P是直线AC上的一动点,直线DP与
轴交于点M.问:
(1)当点P运动到何位置时,直线DP平分矩形OABC的面积,请简要说明理由,并求出此时直线DP的函数解析式;
(2)当点P沿直线AC移动时,是否存在使△DOM与△ABC相似的点M,若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P沿直线AC移动时,以点P为圆心、半径长为R(R>0)画圆,所得到的圆称为动圆P.若设动圆P的直径长为AC,过点D作动圆P的两条切线,切点分别为点E,F.请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S,若存在,请求出S的值;若不存在,请说明理由.注:
第(3)问请用备用图解答.
8.如图,对称轴为直线x=
的抛物线经过点A(8,14)、B(0,2),与x轴相交于点C、D(C在D的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是x轴上的动点,试判断PA+PB与AC+BC的大小关系,
并说明理由;
(3)在该抛物线上是否存在点Q,使得以Q为圆心的⊙Q既与直线BC
相切,又与y轴相交?
若存在,求出⊙Q的半径r的取值范围;若
不存在,请说明理由.
9.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(0,4),且抛物线的对称轴为直线x=2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线的顶点为B,在抛物线上是否存在点C,使得A、B、O、C四点构成的四边形为梯形?
若存在,请求出点C的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)试问在抛物线上是否存在着点P,使得以3为半径的⊙P既与x轴相切,又与对称轴相交?
若存在,请求出点P的坐标,并求出对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度;若不存在,请说明理由.
10.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(m,0)(0<m<
)、B(
,0),以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段OD与正方形ABCD的外接圆的交点,连接BE与AD相交于点F.
(1)求证:
BF=DO;
(2)若
=
,试求经过B、F、O三点的抛物线l的解析式;
(3)在
(2)的条件下,将抛物线l在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新图象,若直线BE向上平移t个单位与新图象有两个公共点,试求t的取值范围.
11.如图1,在平面直角坐标系中,点B在直线y=2x上,过点B作x轴的垂线,垂足为A,OA=5.若抛物线y=
x2+bx+c过O、A两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若A点关于直线y=2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)如图2,在
(2)的条件下,⊙O1是以BC为直径的圆.过原点O作⊙O1的切线OP,P为切点(点P与点C不重合).抛物线上是否存在点Q,使得以PQ为直径的圆与⊙O1相切?
若存在,求出点Q的横坐标;若不存在,请说明理由.
12.如图1,在第一象限内,直线y=mx与过点B(0,1)且平行于x轴的直线l相交于点A,半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E,且与直线l分别交于不同的M、N两点.
(1)当点A的坐标为(
,p)时,
①填空:
p=_________,m=_________,∠AOE=_________;
②如图2,连结QT、QN、TM、ME、EN,当r=2时,试说明:
以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形;
(2)在图1中,连结EQ并延长交⊙Q于点D,试探索:
对m、r的不同取值,经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c,a的值会变化吗?
若不变,求出a的值;若变化,请说明理由.
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- 有关 函数