版高中数学第一章统计41平均数中位数众数极差方差42标准差.docx
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版高中数学第一章统计41平均数中位数众数极差方差42标准差
4.1平均数、中位数、众数、极差、方差
4.2标准差
[学习目标]1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点2要重视数据的计
算,体会统计思想.
自主学习
知识点一众数、中位数、平均数
1.众数、中位数、平均数定义
(1)众数:
一组数据中重复出现次数最多的数.
(2)中位数:
把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数
称为这组数据的中位数.
1
⑶平均数:
如果n个数X1,X2,…,xn,那么x=-(X1+X2+…+xn)称为这n个数的平均数.
2.三种数字特征与频率分布直方图的关系
众数
众数是最高长方形的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值
中位数
(1)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差;
(2)表示样本数据所占频率的等分线
平均数
(1)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和;
(2)平均数是
频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点
知识点二标准差、方差
2求每个样本数据与样本平均数的差Xi-x(i=1,2,…,n);
3求(X—T)2(i=1,2,…,n);
4求s2=-[(Xi—X)2+(X2—X)2+…+(Xn—X)2];
n
5求s=s2,即为标准差.
2•方差
标准差的平方s2叫作方差.
21222
s=石[(Xi—X)+(X2—X)+…+(Xn—X)],
其中,Xi(i=1,2,…,n)是样本数据,n是样本容量,"X是样本平均数.
車点突破
歹题型探究
题型一众数、中位数、平均数的简单运用
例1某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表:
职务
董事长
副董
事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5500
5000
3500
3000
2500
2000
1500
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;
⑵假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少?
(精确到元)
(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?
结合此问题谈一谈你的看法.
解
(1)平均数是:
X=1500+
4000+3500+2000X2+1500+1000X5+500X3+0X20一
33~1500+591=2091(兀),
33
中位数是1500元,众数是1500元.
⑵新的平均数是X'=1500+
28500+18500+2000X2+1500+1000X5+500X3+0X20
33~1500+1788=3
33
288(元),
新的中位数是:
1500元,新的众数是1500元.
(3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映
这个公司员工的工资水平.
反思与感悟1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,当一组数据中个别
数据较大时,可用中位数描述其集中趋势,当一组数据中有不少数据重复出现时,其众数往
往更能反映问题.2.在求平均数时,可采用新数据法,即当所给数据在某一常数a的左右摆动
时,用简化公式:
x=x'+a.
跟踪训练1在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:
成绩(单位:
m)
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
即这组数据的众数是1.75.上面表
9个数据1.70是最中间的一个
解在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,
格里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第
数据,即这组数据的中位数是
1.70;这组数据的平均数是
7=召1.50X2+1.60X3+-+
28.75
1.90X1)=丁〜1.69(m).
答17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75m,1.70m,1.69m.
题型二平均数和方差的运用
例2甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数
据为
甲:
9910098100100103
乙:
9910010299100100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
1
解
(1)x甲=6(99+100+98+100+100+103)=100,
1
x乙=6(99+100+102+99+100+100)=100.
21222222
SG6【(99—100)+(100—100)+(98—100)+(100—100)+(100—100)+(103—100)]
21222222
6【(99—100)+(100—100)+(102—100)+(99—100)+(100—100)+(100—100)]
=1.
⑵两台机床所加工零件的直径的平均值相同,
22
又S甲〉S乙,所以乙机床加工零件的质量更稳定.
反思与感悟1.极差、方差与标准差的区别与联系:
数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述.
(1)极差是数据的最大值与最小值的差,它反映了一组数据变化的最大幅度,它对一组数据中
的极端值非常敏感.
(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小,为了得到以样本数据的单位表示的波动幅
度通常用标准差,即样本方差的算术平方根,是样本数据到平均数的一种平均距离.
2.在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究方差,方差描述了数据相对平均
数的离散程度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动性越大,稳定性越差;方差越小,数据越集中,质量越稳定.
跟踪训练2某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一
包产品,称其质量,分别记录抽查数据如下(单位:
kg):
甲:
10210199981039899
乙:
110115908575115110
(1)这种抽样方法是哪一种方法?
(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差,并说明哪个车间产品比较稳定.解
(1)采用的抽样方法是:
系统抽样.
1
(2)x甲=7(102+101+99+98+103+98+99)=100;
—1
x乙=7(110+115+90+85+75+115+110)=100;
21222222
乂甲=7【(102—100)+(101—100)+(99—100)+(98—100)+(103—100)+(98—100)+(99—100)2]
1
=7(4+1+1+4+9+4+1)~3.43;
21222222
SZ=7【(110—100)+(115—100)+(90—100)+(85—100)+(75—100)+(115—100)+
2
(110—100)]
1
=7(100+225+100+225+625+225+100)
〜228.57.
所以S甲VS乙,故甲车间产品较稳定.
题型三数据的数字特征的综合应用
例3在一次科技知识竞赛中,两组学生的成绩如下表:
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分•请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组在这
次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由.
解
(1)甲组成绩的众数为90,乙组成绩的众数为70,从成绩的众数比较看,甲组成绩好些.
1
(2)x甲=2+5+10+13+14+6(50乂2+60X5+70X10+80X13+90X14+100X6)
1
=—X4000=80,
X乙=4+4+16+2+12+12(50X4+60X4+70X16+80X2+90X12+100X12)=1
50X4000=80
2
s甲=
1
2+5+10+13+14+6
2
s乙=
1
4+4+16+2+12+12
[4X(50—80)2+4X(60—80)2+16X(70—80)2+2X(80—80)2+
222
22
12X(90—80)+12X(100—80)]=256.
Ts甲<s乙•••甲组成绩较乙组成绩稳定,故甲组好些.
⑶甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分•其中,甲组成绩在80分以上(包括80分)
的有33人,乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看,甲组的成绩较好.
(4)从成绩统计表看,甲组成绩大于等于90分的有20人,乙组成绩大于等于90分的有24
人,所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多
6人.从这一角度看,乙组的成绩较好.
反思与感悟要正确处理此类问题,首先要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算、分析,而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好,像这样的实际问题还得从实际的角度去分析,如本例的“满分人数”;其次要在恰当地评估后,组织好正确的语言作出结论.
跟踪训练3甲、乙两人同时生产内径为25.40mm勺一种零件.为了对两人的生产质量进行
25.
46
25.32
25.45
25.39
25.
34
25.42
25.45
25.38
评比,从他们生产的零件中各抽出
甲
20件,量得其内径尺寸如下(单位:
mm)
25.36
25.42
25.3925.4325.3925.4025.44
25.
40
25.42
25.35
25.41
25.39
乙
25.
40
25.43
25.44
25.48
25.48
25.
47
25.49
25.49
25.36
25.34
25.
33
25.43
25.43
25.32
25.47
25.
31
25.32
25.32
25.32
25.48
从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
(结果保留小数点后3位)
解用计算器计算可得
x甲~25.405,x乙~25.406;
s甲~0.037,s乙~0.068.
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙的更接近内径标准(25.40mm),差异很小;从样本标
准差看,由于s甲
思想方法
分类讨论思想
例4某班有四个学习小组,各小组人数分别为10,10,x,8,已知这组数据的中位数与平均
数相等,求这组数据的中位数.
分析由于x未知,因此中位数不确定,需讨论.
11
解该组数据的平均数为4(10+10+x+8)=4(28+X),中位数是这4个数按从小到大的顺序排列后处在最中间两个数的平均数.
1
(1)当x<8时,原数据从小到大排序为X,8,10,10,中位数是9,由-(28+X)=9,得x=8,
符合题意,此时中位数是9;
11
⑵当8vx<10时,原数据从小到大排序为8,x,10,10,中位数是2(x+10),由4(28+x)=
1
2(10+x),得x=8,与8vx<10矛盾,舍去;
1
⑶当x>10时,原数据从小到大排序为8,10,10,X,中位数是10,由:
(28+x)=10,得x
=12,符合题意,此时中位数是10.综上所述,这组数据的中位数是9或10.
解后反思当题目中含有参数,且参数的不同取值影响求解结果时,需对参数的取值分类讨
论.
自查自纠
r当堂检测
i•下列选项中,能反映一组数据的离散程度的是()
A.平均数B.中位数
C.方差D.众数
答案C
解析由方差的定义,知方差反映了一组数据的离散程度.
2.一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31,其中位数为22,则x
等于()
A.21B.22
C.20D.23
答案A
X亠23
解析根据题意知,中位数22==^,则x=21.
3.一次选拔运动员的测试中,测得7名选手中的身高(单位:
cm)分布的茎叶图如图所示.记
录的平均身高为177cm,有一名候选人的身高记录不清楚,其末位数记为x,则x等于()
180]
17II3x89
A.5B.6
C.7D.8
答案D
解析由题意知,10+11+0+3+x+8+9=7X7,解得x=8.
4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是.
答案0.1
解析x=4.7+4.8+丫+5.4+5.5=5.1,则方差s=£[(4.7—5.1)2+(4.8—5.1)2+(5.1
55
解析
7+8+7+9+5+4+9+10+7+4
10
212222222
(2)•••s=祁(7—7)+(8—7)+(7—7)+(9—7)+(5—7)+(4—7)+(9—7)+(10—7)
22
+(7—7)+(4—7)]=4,二S=2.
「课堂小结1
1.一组数据中的众数可能不止一个,中位数是唯一的,求中位数时,必须先排序.
2•利用直方图求数字特征:
(1)众数是最高的矩形的底边的中点.
(2)中位数左右两边直方图的面积应相等.
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
3•标准差的平方s2称为方差,有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度•方差与标
准差的测量效果是一致的,在实际应用中一般多采用标准差.
1.标准差
(1)平均距离与标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.
假设样本数据是X1,X2,…,xn,x表示这组数据的平均数.X到x的距离是|Xi—x|(i=
1,2,…,n),
则用如下公式来计算标准差:
s=X1—X12+X2—X2+…+Xn—X2]T
(2)计算标准差的步骤
1求样本数据的平均数X;
[2X(50—80)+5X(60—80)+10X(70—80)+13X(80—80)
+14X(90—80)2+6X(100—80)2]=172,
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- 高中数学 第一章 统计 41 平均数 中位数 众数 极差 方差 42 标准差