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《百分数》整体规划
人教版小学数学六年级上册第五单元《百分数》整体规划
一、教材分析
1.编写意图
数学课程标准强调数学课程要注重发展学生的数感。
数感的形成和发展离不开对数的理解与应用。
在过去五年的数学课程学习中,学生经历了对整数、小数、分数的理解与应用,数感发展达到了一定的水平。
在小学阶段后期,教材进一步安排《百分数》教学单元,引领学生完整地经历“理解百分数的意义”、“掌握百分数的读写以及与其他形式数的互化方法”、“理解折扣、纳税、利息的含义,体验它们的生活应用价值”、“解答有关百分数的问题”等学习活动,能有效地提升学生数感的发展水平。
“数的认识”是数与代数领域最重要的知识内容之一,贯穿于义务教育的各个阶段。
整体来看,“数的认识”一般都包括数的生活原型、数的实质意义、数的读写、数的分类、数的大小、数的形式转化、数的性质、数的应用等知识内容,学生需要通过特定的数学活动达到相应的认识水平。
在知识内容的编排方面,整数、小数、分数的认识往往是分阶段进行的,时间跨度较大,学生的认识水平是循序渐进、逐步提高的。
百分数的认识把相关知识内容安排在一个单元内,用三周左右的时间集中学习,有利于学生再次体验数的认识的学习过程,积累关于数的认识的数学活动经验。
百分数实际上是表示一个数是另一个数的百分之几的数,因此,它与分数有密切的联系,同时,其意义和实际应用与分数又有所不同,百分数概念的抽象水平比分数更高。
百分数不仅有广泛的生活应用基础,同时对今后的数学学习,特别是统计与概念领域知识内容的学习,有着重要的工具和方法的价值。
因此,把百分数的认识安排在六年级上册,既依托于知识的前期基础,也着眼于知识的后续应用,这种安排是科学合理的。
2.内容特点
本单元教学内容分为共三节:
百分数的意义和写法,百分数和分数、小数的互化,用百分数解决问题,并安排一次单元整理和复习。
内容编排和呈现总体上具备以下的特点:
1知识内容集中,前后联系紧密,推进节奏较快。
本单元总计安排10道例题,涉及到的相对独立的“知识点”总计有14个。
配有7组练习,大题数量达78道(含“做一做”),是全册教学内容“量”最重的单元,在整个小学阶段也不多见。
各小节知识内容衔接紧密,先前基础与后续发展的线索十分清晰。
《教师教学用书》建议用15课时完成本单元教学,对教与学的进度、节奏提出了较高的要求。
本单元知识点分布如下表:
表1 百分数单元知识内容分布表
序号
知识内容
(知识点)
教材内容
1
百分数的意义
P77-79
含练习十八
2
百分数的实际应用
3
百分数的读、写
4
百分数化小数
P80-84
含练习十九
5
小数化百分数
6
百分数化分数
7
分数化百分数
8
百分率的意义
P85-89
含练习二十
9
关于百分率的实际问题
10
关于增、减百分数的实际问题
(1)
P90-92
含练习二十一
11
关于增、减百分数的实际问题
(2)
P93-96
含练习二十二
12
折扣
P97
练习二十三部分
13
纳税
P98-99
练习二十三部分
14
利率
P99-100
练习二十三部分
15
整理与复习
P104-105
含练习二十四
2呈现方式灵活,重视生活经验,学习方式多样。
各知识点呈现方式灵活,既有现实生活原型(如百分数的意义),也有抽象数学问题(如百分数和分数、小数的互化);既有文字表述方式(如第3节例1-
(1)百分率问题),也有表格、图文方式(如第3节例1-
(2)百分率问题、第3节例2增减百分数问题);既有以建立模型为主的学习方式(如“互化”),也有以应用模型为主的学习方式(如折扣纳税利息等)。
总体来看,教材的内容编排与呈现注意从实际出发,贴近学生生活,既重视数学知识的直观基础,也重视生活经验的抽象建构。
3创设问题情境,鼓励探索发现,积累活动经验。
教材编排虽然以知识发展为主要线索,但也十分重视过程目标的达成。
例如教材提供了多种素材,引导学生经历从具体情境中提炼百分数意义的过程(第77页)。
又如,教材呈现了存款凭证图片,意在要求教师指导学生参与实践活动,体验存取款活动的具体过程(第100页)。
再如,教材提出“你能用百分数表示出其中的分数吗”等问题,目的就是放手让学生用原有的知识探索分数化百分数的一般方法(第82页)。
还有,涂方格(第79页)、说出更多的百分率及其求法(第86页)、画线段图(第90页)等内容,教材都鼓励学生通过积极参与丰富多彩的数学活动,进一步积累数学活动经验。
二、学情分析
1.生活经验。
由于百分数在生活中应用非常广泛,学生对百分数的直观了解、基本应用有比较丰富的感性认识。
特别是关于百分率、折扣、纳税、利息等典型性应用问题,学生有比较浓厚的学习兴趣。
但是,学生对上述问题的理解和认识水平总体上是零散、模糊或者不科学的。
某些生活经验甚至可能成为学生理解百分数的意义的阻碍,例如,学生在现实生活中很少接触到百分号前面的数大于100的情况,因此,他们有可能把百分号前面的数都小于或等于100作为百分数的一个特征。
2.知识基础。
分数的相关知识毫无疑问是本单元学习最重要的知识基础。
以下几种说法都可以构建起百分数与分数之间的联系(尽管有些说法不科学):
百分数都是分母为100的分数;每个百分数都有特定的单位“1”;大多数关于百分数的实际问题,其数量关系与解决策略与分数实际问题相似;百分数与分数可以互化。
发现并理解百分数与分数之间的联系不会很困难,但理解它们之间的区别,进而从本质意义层面认识百分数却较为抽象,这也是本单元教学的难点之一。
3.认知能力。
六年级学生的思维发展水平,总体上处于以具体形象思维为主,逐渐向以抽象逻辑思维为主的过渡阶段。
大部分学生具备进行概括、判断、推理等抽象思维活动的经验,但仍需要在一定的情境下,在教师引导或同伴协助下进行类似的高级思维活动。
五年以来的数学课程学习,为他们准备了较为全面的数学活动经验,学生基本掌握了观察与表达、操作与实践、合作与讨论、体验与探索等数学学习方式的主要特征和操作程序。
三、单元教学目标
1.单元教学目标
①理解百分数的意义,了解它在实际中的应用,会正确地读、写百分数。
②能够进行小数、分数和百分数的互化。
③理解折扣、纳税、利息的含义,知道它们在生活中的简单应用,会进行这方面的简单计算。
④在理解、分析数量关系的基础上,使学生能正确地解答有关百分数的问题。
2.对单元教学目标的认识与理解
①结果目标层次分明。
本单元知识内容虽然繁多,但根据课程标准的要求,对不同知识点的学习结果,目标层次却是十分清晰。
对照相关行为动词,我们可以用一些关键性问题对结果目标进行进一步的描述。
表2 百分数单元结果目标层次表
序号
知识内容
(知识点)
结果目标层次
(行为动词)
目标描述
(关键性问题)
1
百分数的意义
理解
百分数的本质意义是什么。
百分数与分数有什么联系与区别。
2
百分数的实际应用
了解
百分数在哪里,什么意思,为什么用百分数,有哪些表述方式。
3
百分数的读、写
理解
为什么这样写。
掌握
怎样写。
4
5
6
7
百分数化小数
小数化百分数
百分数化分数
分数化百分数
掌握
为什么要转化,为什么能转化,转化的依据是什么。
运用
怎样转化,怎样转化有利于应用,转化后应注意哪些问题。
8
百分率的意义
理解
常见的百分率有哪些,它们有什么共同特性。
9
关于百分率的实际问题
运用
如何归纳百分率计算公式,如何运用一般方法解决具体问题。
10
关于增、减百分数的实际问题
(1)
掌握
与类似的分数实际问题进行比较。
分析倍比关系中的标准数量。
11
关于增、减百分数的实际问题
(2)
12
折扣
理解
掌握
它们在哪里,是什么,有什么用,怎样表述。
如何用,可以解决哪些实际问题。
13
纳税
14
利率
②过程目标程度多样。
经历、体验、探索是课程标准设计的三种程度的过程目标行为动词。
三种程度的过程目标在行为参与、认知参与和情感参与方面都存在着明显的差别。
在各知识点的教学中,不仅要确定清晰的结果目标,也应对过程目标作深入的思考。
对百分数实例在现实生活或具体情境中含义的表述,可视作“经历”程度的学习过程,折扣与利率的学习活动则应尽可能为学生创造“体验”的机会,利率这一知识内容还可以拓展出一定规模的“探索”学习活动。
③情感目标内涵丰富。
任何学习活动都是在一定的情感状态下进行的,同时,数学教学活动也应包含相应的情感发展目标。
当然,情感目标成分复杂、内隐,并且富于个性,观察、测评、调适等方面的难度都较大。
态度和信念等情感成分相对稳定,在具体的单元和课时中一般不会出现急剧的变化。
结合具体的知识内容、知识的学习过程、知识的应用背景等,可以给情感发展预设一定的方向,创设一定的机会。
如在百分数意义、百分率、折扣纳税和利率等内容的教学中,可以促进学生进一步体验数学与生活的联系,逐渐形成正确的数学价值观;在百分数和小数、分数的互化,以及用百分数解决问题等内容的教学中,可以引导学生进一步感受数学知识之间的联系,加深对数学学科特点的认识;利用利率的有关知识尝试探索一些开放性的、挑战性的实际问题,有利于进一步增强学生学习数学的兴趣,形成良好的学习态度。
这些情感发展方面的目标,需要与认知结果目标、学习过程目标相互渗透,融为一体。
3.单元教学重点和难点
①本单元的教学重点是理解百分数的意义。
首先,百分数的意义是本单元其他知识内容的基础。
只有理解了百分数的意义,才能正确地运用它解决百分率、折扣、纳税、利率等实际问题。
其次,百分数意义的理解是学生在小学阶段数的认识系列学习活动中最后一个环节,根据教材编排意图,学生要在本节内容的学习中进一步巩固认识数的方法和技能,积累特定数学活动的经验,增强数感,为中学阶段将要进行的有理数的认识做好经验和方法方面的准备。
②本单元的教学难点有两个。
第一个难点是理解百分数的意义,尤其是理解百分数与分数意义的区别。
第二个难点是求一个数比另一个数多(少)百分之几的实际问题。
前者是理解的难点,后者是应用的难点。
百分数和分数本质是相同的,但意义上仍有差别。
百分数只是表示两个数之间的比率关系,不表示具体的数量,而分数既可以表示两个数之间的比率关系,也可以表示数量。
这种意义上的差别来源于现实应用中的约定俗成,与百分数的产生有关,应结合具体的生活经验促进学生理解。
虽然求一个数比另一个数多(少)百分之几的实际问题与相关的分数实际问题在模型与思路上基本相同,但问题常常以“增加(减少)了百分之几”的形式提出,学生在判断单位“1”的量时难度加大了,需要对数量关系有更深刻的理解。
四、教学策略
教师应根据教学目标和教材编写特点,在进行教学设计的时候关注以下四个教学策略,并力求在具体的教学实施过程中落实:
1.经验-情境模式。
百分数作为数的一种形式,其意义和应用与整数、小数尤其是分数之间有着密切的联系,所以学生的知识经验是各种学习活动的基础。
百分数在现实生活中应用广泛,学生的生活经验是理解概念、掌握技能、解决问题的基础。
认识百分数的学习过程与方法,同此前认识其他数的学习过程与方法有很多的类似之处,因此,学生的数学学习经验也是重要的基础。
无论是知识经验、生活经验,还是学习经验,都需要教师创设有效的教学情境才能被唤醒和利用。
例如,介绍自己从日常生活中收集到的百分数,就是一种从生活经验出发的教学情境;回顾“求一个数比另一个数多(少)几分之几”的实际问题的模型与思路,是将学生的知识经验有效迁移到新的问题情境;教材创设了一个问题情境“你能用百分数表示出其中的分数吗”,意图利用学生以往学习中积累的自主探究、合作交流、提炼优化等数学活动经验,发现分数化成百分数的方法。
2.问题-解决模式。
教师常常以问题引导学生的学习,是因为问题有激发动机、引起思考、目标导向、突出关键等作用。
如前文所述,每个知识点都可以设计若干关键性问题,直接指向认知结果目标,并且精确把握目标的层次。
教师要善于发掘类似的关键性问题,用合适的方式,在恰当的环节,提出这些问题。
学生解决这些关键性问题的过程,即是认知启动、维持、发展的过程,努力促进结果目标达成。
例如,关于百分数的读、写知识点,结果目标要求达到理解和掌握的层次。
理解什么?
重点理解“写的原由”,即百分数在形式上的优越性。
设计一个“人们为什么这么写百分数”的问题,可以引起学生对知识的起源、知识的价值产生更多的思考,通过观察、讨论,学生可以发现百分数易于比较、书写方便、精确程度高等优越性。
掌握什么?
掌握“写的要求”,即百分数书写的顺序、格式以及百分号的具体要求。
“我们应该怎样写百分数”这个问题能激发学生主动观察、比较、归纳,通过交流和分享,让全体学生达成掌握写法的学习目标。
3.表征-策略模式。
数学教学是数学活动的教学。
无论是结果目标、过程目标、情感发展目标,都是在特定的数学活动中促进学生达成的。
学生参与数学活动会有一些具体的行为表现,比如能举例、会计算等,这就是学习表征。
这些学习表征有些是教师预设希望出现,或估计可能出现的,也有些是预设时未能想到的。
如何能让第一类表征尽可能呈现?
如果出现第二类表征如何应对?
当第三类表征出现时应该做出怎样的反应?
这些问题的答案就是教学策略。
例如,百分数意义的教学目标要达到理解的层次,那么,理解的表征有哪些呢?
相对应的策略又有哪些呢?
可以通过下表具体分析:
表3 《百分数的意义》学习表征与教学策略对照表
学习表征行为描述
教学策略行为描述
举例:
说出生活中的百分数,描述外部特征,正确读写。
提供典型素材,指导观察和归纳。
分类:
①按百分号前面的数与100的大小关系分类。
②按结果是否可以用百分数表示对问题进行分类。
组织讨论和交流,明确分类的依据。
解释:
能对以数字、文字、语言、图画等形式呈现的百分数进行形式转换。
做好资源准备和复习铺垫,促进知识与方法的迁移。
概括:
完整而准确地说出百分数的本质含义。
突出定义中的核心概念,并确认学生理解了定义中的全部相关概念;提供表达范式。
比较:
能说明百分数与分数的联系和区别。
创设问题情境引发思考和讨论,探“异”为主,寻“同”为次。
说明:
运用百分数的意义说明生活事实。
设计适当的问题。
如“我们班的65%与全校的60%可比较大小吗?
如何看?
”
4.任务-探索模式。
学习任务的差别主要表现在任务的难度、主体性要求、时间跨度和空间范围、需要的思维水平、相应的学习方式等。
根据六年级学生的认知能力,可以设计一些具有探索性的学习任务。
如关于利率的学习,教师可以要求学生体验在银行网点存取款的具体过程,了解教材中没有详细介绍的储蓄知识,自己提出一些关于利率与利息的数学问题,或者在教师创设的开放性的问题情境中,提出解决问题的多种方案,并进行分析与讨论。
这样的教学设计不仅有利于学生自主学习数学知识,还能积累学生的基本活动经验,落实数学课程与教学的过程目标。
五、课时安排与课时教学重点。
本单元用15课时进行教学。
具体安排如下表:
表4 百分数单元课时安排表
序号
知识内容
(知识点)
教材内容
课时安排
1
百分数的意义
P77-79
含练习十八
第1、2课时
2
百分数的实际应用
3
百分数的读、写
4
百分数化小数
P80-84
含练习十九
第3课时
5
小数化百分数
6
百分数化分数
第4课时
7
分数化百分数
8
百分率的意义
P85-89
含练习二十
第5、6课时
9
关于百分率的实际问题
10
关于增、减百分数的实际问题
(1)
P90-92
含练习二十一
第7、8课时
11
关于增、减百分数的实际问题
(2)
P93-96
含练习二十二
第9、10课时
12
折扣
P97
练习二十三部分
第11课时
13
纳税
P98-99
练习二十三部分
第12课时
14
利率
P99-100
练习二十三部分
第13、14课时
15
整理与复习
P104-105
含练习二十四
第15课时
其中以第1、3、4、5、7、14等6个课时为重点课时。
具体讨论如下:
第1课时教学百分数的意义和写法。
重点是理解百分数的意义,难点是比较百分数与分数意义的差别。
第3课时教学百分数与小数的互化。
掌握技能方面的难度不大,但教师不能忽略理解性知识的教学,学生应该清晰地认识到,百分数和小数互化的依据是小数的意义和分数的基本性质。
第4课时教学百分数与分数的互化。
重点是落实过程目标。
教师要准确把握“探索”这个过程目标行为动词的含义,设计、组织有效的数学活动,使学生经历“明确问题-寻求思路-发现规律-对比优化-形成策略”的探索过程。
第5课时教学百分率的意义。
百分率有广泛的现实应用,与百分数的意义有直接的联系,理解百分率意义的重点在于抽象和归纳两次跨越:
由解决具体问题的方法抽象同类问题的数量关系,由同类型的数量关系归纳出百分率的意义。
第7课时教学求一个数比另一个数多(少)百分之几的实际问题。
重点是理解“增加(提高、减少、节约等)百分之几”的表述方式,难点是掌握此种表述下如何确定单位“1”的量。
如有条件,也可以让学生了解“甲比乙多20%,乙比甲少( )%”及类似问题的知识背景与解决思路。
第14课时教学与利率有关的实际问题。
重点是设计适当的学习任务,引导学生经历、体验、探索,落实数学课程的过程目标。
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