辽宁省沈阳市重点高中联合体学年高三上学期联考数学试题.docx
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辽宁省沈阳市重点高中联合体学年高三上学期联考数学试题
2020-2021学年度(上)市级重点高中联合体12月联考高三数学
第I卷(选择题)
一、单项选择题.(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若集合A={—2,70.1,2},集合B={xly=log2(l—x)},则A^B=()
C
先利用函数的定义域求法化简集合B,再利用交集的运算求解.因为集合B={x|y=log2(l-x)}=U|x C. 本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题. C 先根据复数除法法则化简,再根据复数模的定义求结果. (2+i)i(2+i)2i-4+3i43. ・•z====1—1 2-i5555 本题考查复数除法运算、复数的模,考查基本求解能力,属基础题. 3・已知sinx+y=m,则cos k6丿 B 将角2x-二拆分成x+f及特殊角的形式,利用诱导公式、倍角公式进行进一步的处理可得答 3o 案. 方法点睛: 已知角的某种三角名称值,求其相关角的三角名称值问题,把题口中已知的角做整 体及特殊角一起,去构造需要求解的角,再利用诱导公式、倍角公式进行处理. 4•等差数列{"”}中,已知坷>0,他+為<0,则{陽}前"项和S“的最小值为() A.S4B.S、C.$6D.S? C 先通过数列性质判断咳<0,再通过数列的正负判断S”的最小值. 等差数列仏}中,+^9<0,Aa5+a()=2a6<0,即a6<0.乂①>0,.•.{©}的前"项和S”的最小值为Se• 故答案选c 本题考查了数列和的最小值,将S”的最小值转化为W”}的正负关系是解题的关键. 5.(l-x)(l+x)3的展开式中,疋的系数为() A.2B.-2C.3D.-3 B 由题意转化条件得(1—X)(l+才=(l+x)‘—x(l+x)',再由二项式定理写出(1+才的通项公式,分别令厂=3、r=2,求和即可得解. 详解】由题意(1-x)(1+x)3=(1+a-)3-a(1+a-)\ (1+才的通项公式为几=C;•严•才=C;•0, 令广=3,则C;=C;=1; 令广=2,则CJ=C;=3; 所以(l-x)(l+x)'的展开式中,F的系数为1-3=-2.故选: B. 本题考查了二项式定理的应用,考查了运算求解能力,属于基础题. 6.已知平面向量方,石满足”卜5,p+%4,p-b|=6,则向量方在向量乙方向上的投影为 () A.1B.0C.—1D.—一 2 C a-b 通过条件可得bS根据公式-7■代值计•算即可. b 解: 由Q十b=4,a-b=6半方相减可得a巧=一5, crb-5, 所以向量方在向量乙方向上的投影为-g-=y=-1.故选: C. 方=匕」)/=也」2),计算向量方在向量乙方向上的投影的两个公式: «*a a-b (1)已知向量数量积和模长: 丁; (2)已知向量的坐标: Vx22+y22 7•抛物线C: y2=4x的焦点为N为准线上一点,M为)'轴上一点,ZMNF为直角,若 线段MF的中点E在抛物线C±,则4WVF的面积为() C 设M(O"gE(g冷),E在抛物线C上可得〃匸±2血,由抛物线的对称性,不妨设川=2血,”(一1/),・・・而=(1,271—〃),兩=(一2丿)••和页=02迈-心・(-2』)=0,可得”=血,由两点距离公式可得MN=也、NF=x/6,.\S=-MN・NF=JJx点=也・ 222 点晴: 本题考查的是抛物线中的直角三角形面积问题,先根据MF的中点E在抛物线C上,确定M点的坐标,再根据ZMVF为直角,二血•万V=(l,2血-2/)=0可得N点的坐标, 由两点距离公式可得MN=*,NF=EUf£mN•NF=辱屁屁洋. 8.已知函数f(x)=sin血+acoss: 周期T<2兀,且在x=^处取得最大值,则 使得不等式用动2d恒成立 实数兄的最小值为( ) A.—B. C. D.迺 10 11 12 13 B 先根据三角恒等变换和三角形函数的性质,以及同角的三角函数的关系可得(血卩二;■两tan—— 6 ⑪再根据/(f)=73,可得COS名妇#=,②,通过①②求出d的值,再根据三角函数的性 36认广+1 质可得e=i次+i,kwZ,求出i^L„=h,根据不等式川。 12"恒成立,则◎(金)“即可求岀答案. f(x)=sincox^acoscox=Ja'+1sin(QY+卩),其中^an0=, 处取得最大值,o /-—co+(p=—+2k7r,l! |J(p=—+2k7r-—co,keZ, 6226 /.tan0=tan(—+2k/r—一e)=tan(—一一e)==a小, 2626tan£ty,①,kwZ, T •/f(—)=>ja2+1sin(—co+(p)=>Ja2+1sin(—co+—+2ktt-—d>)=>ja2+1cos—=>/5,keZ, 333266 : .sin2—+cos2—=—+—―=1, 66a2+\a2(a2+\) 即『-2/-3=0,解得u=da=^y/3(舍去), ill①得tail—=tan(^+k兀),keZ, 66 vcos—>0 6 在第一象限, o .・.取Q=tan(—+2炽),kgZ, 36 37T 由心着<2/r,即 kwZ, : co=\2k+\,keZ, 使lol最小,则k=-\, 即I(t)Lwi=11, 若不等式小5恒成立,则T审故选: B 关键点点睛: 解答本题的关键点是求出d的值,需要转化=且在x=^处取得最大 k3y6 值,得到COS? 妇爭pSi吟再根据同角的平方关系得到关于。 的方程,解方程即得解.也是方程思想的体现. 二、多项选择题.(在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求) 9.下列说法中正确的是() A.设随机变量X服从二项分布B6,: ],则P(X=3)=4 V2丿16 B.已知随机变量X服从正态分布N(2&)且P(X<4)=0.9,则P(0 C.E(2X+3)=2E(X)+3;D(2X+3)=2D(X)+3 D.已知随机变量纟满足P(^=O)=x,P(^=l)=l-x,^0 )随着x的增大而增大 ABD 对于选项ZD都可以通过计算证明它们是正确的;对于选项C,根据方差的性质,即可判断选项C. 对于选项A,设随机变量x~,则p(x=3)=C: 所以选项A正确; 对于选项5因为随机变量g〜N(2qT, 所以正态曲线的对称轴是x=2, 因为P(Xv4)=0.9,所以P(X<0)=0.1, 所以P(0 对于选项c,E(2X+3)=2E(X)+3, D(2X+3)=4D(X),故选项C不正确; 对于选项D由题意可知,E(^)=l-x, D(^)=x(1-x)=-x2+x, 山一次函数和二次函数的性质知,当0vxv*时,E&)随着x的增大而减小, D(g)随着x的增大而增大,故选项D正确•故选: ABD. 本题主要考查二项分布和正态分布的应用,考查期望和方差的计算及其性质,意: 在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10.为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设 “礼,,“乐”“射,,“御,,"书”“数”六门体验课程,每周一门,连续开设六周.则() A.某学生从中选3门,共有30种选法 B.课程“射”“御”排在不相邻两周,共有240种排法 C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有144种排法 D.课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有504种排法 CD 根据排列组合的相邻关系和不相邻关系,以及有限制排列的关系,逐个分析选项即可. 6门中选3门共有C: =20种,故A错误; 课程“射”“御”排在不相邻两周,共有AX=480种排法,故B错误; 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周,共有A;A: =144种排法,故C正确; 课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周,共有&+C;C: A: =504种排法,故D正确.故选: CD 本题考查排列组合的应用,属于基础题. 11.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A^CA,中,E为棱cq上的中点,F为棱M±的点,且满足AxF.FA=\-2,点F,B,E,G,H为过三点B,E,F的平面BMN与正方体 ABCD-A.B^D,的棱的交点,则下列说法正确的是() A.HF//BEB.三棱锥体积%曲=4 C.直线MN与平面\B{BA所成的角为45。 D.D.GiGC,=1: 3 ABD 面面平行性质定理可得出A正确;等体积法求得B正确;直线MV与平面\B.BA所成的角为zb、mn,求其正切值不等于1即可得出C错误;利用面面平行性质定理和中位线求出DQGCi长度即可得出D正确. 解: 对于A.在正方体ABCD-A^C^中平面ADA.D,〃平面BCBQ, 乂平面ADAjD,D平面BMN=HF,平面BCBQc平面BMN=BE, 有平面与平面平行的性质定理可得故正确; 3 对于B.因为A]F: FA=\.29所以B.M=-^8{=3, 乂E为棱CC;上的中点,所以B、N=4, 1(1A 所以V^bmn=VgBM=5X(2X2><3JX4=4,故正确; 对于C.由题意及图形可判定直线MN与平面"BA所成的角为ZBMN, BN4 结合B选项可得tanZB,M/V=—=-^1,故错误; 对于D.同A选项证明方法一样可证的GCJIBN, 13 因为E为棱CG上的中点,G为棱上的中点,所以GCX=-B^=- 厶乙 所以P,G=1,所以QG: GC严1: 3,故正确.故选: ABD 求体积的常用方法: (1)直接法: 对于规则儿何体,利用相关公式直接计算; (2)等体积法: 选择合适的底面来求儿何体体积,常用于求三棱锥的体积,即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换; (3)割补法: 首先把不规则的儿何体分割成规则的儿何体,然后进行体积讣算;或者把不规则的儿何体补成规则的儿何体,不熟悉的儿何体补成熟悉的儿何体,便于计算. 12.已知函数f(x)=x2-4x+(m2-m)(ex-2+e~x+2)(e为自然对数的底数)有唯一零点,贝9加的值可以为() A.1B.-1C.2D.-2 BC 由已知,换元令心—2,可得/(-/)=/(/),从而八为偶函数,畑图象关于x=2对称,结合函数图象的对称性分析可得结论. I/(x)=x2-4x+(m2-m)(ex-2+广心)=(x-2)2-4+(m2-m)(ex~2+, 令r=x—2,则y(r)=r2-4+(m2-m)(? +),定义域为R, /(-/)=(-F-4+(m2-加)(k+")="),故函数/⑴为偶函数, 所以函数/Xx)的图象关于a=2对称, 要使得函数f(x)有唯一零点,则/ (2)=0, 即4-8+2(m2-in)=0,解得〃? =一1或2 1当m=-l时,/(/)=/2_4+2(e'+k) 由基本不等式有K+QX2,当且仅当7=0时取得 /.2(K+e~,)>4 l'*/(r)=r-4+2(? +^/)>0,当且仅当/=0取等号 故此时/■(©有唯一零点x=2 2当m=2时,f(t)=t2-4+2(e'+e-l)f同理满足题意.故选: BC. 方法点睛: ①函数轴对称: 如果一个函数的图像沿一条直线对折,直线两侧的图像能够完全重 合,则称该函数具备对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴. ②y=f(x)的图象关于直线x=a对称<=>/(^-x)=/(^+x)<=>/(-x)=/(2«+x)第II卷(非选择题) 三、填空题. 2工一匕一1Sxv3 13.函数/«=贝9〃9)=・ /(x-4),x>3 1 根据自变量范围代入对应解析式,即得结果. 2x—1,—l^x<3 根据题意,=\“八“,则/(9)=/(5)=/(l)=2xl-l=l;/(x-4),x>3 故答案为1. 本题考查分段函数求值,考查基本分析求解能力,属基础题. 14.已知正项等比数列仏}的前”项和S“,若5=1,S3=7,则公比歼,前8项和为 (1).2 (2).255 根据等比数列基本量的讣算,可得q=2,代入等比数列求和公式汁算可得前8项和. 解: 由题意得=l+g+b=7, 1一§ 又>0,所以<7=2, 1-28 所以5*8==255 1—2 故答案为: 2: 255 等比数列基本运算的常见类型及解题策略: (1)求公比g或项数": 在求解时,一般要运用方程思想; (2)求通项: ®和g是等比数列的两个基本元素; (3)求特定项: 利用等比数列的通项公式或等比数列的性质求解; (4)求前“项和: 利用等比数列的前"项和公式直接求解或利用等比中项间接求解. 15.已知双曲线C: 二-二=1(6/>0,b>0)的左右焦点分别为匚耳,点人在C的左支上, 设M的中点为必由(弔+莘)•乔=0,得到丽丄屈,进而得到\AFy\=\F{B\f再由\f^-F\b\=\f^\,得到阿|=|稲=网,设0用r,由双曲线的定义网|-阳=纠呵-阿|=加,联立求得阳=加,|明=|的=4«进而得到|聊|=2&,\MF2\=4af由同Mf+|M耳f=|斤耳『求解. 如图所示: 设M的中点为必 所以F\A+F\B=2F\M,又(帀+丽)•丽=0,所以2顾•丽=0,所以顾丄瓦5,申一丽卜网|=|丽因为M为M的中点,且丽丄亦所以"用=|巧8|, 设\BF2\=xf由双曲线的定义得|叭|=兀+勿=用, 乂\AF2\=\BF2\+\AB\=2x+2a, 所以|4列一帆用=2x+2d_(x+2d)=x=2c, 所以|B£|=|AB|=|生|="加=滋,所以闪M|=2VL,|M坊|=4°,因为\F.M[+\MF2[=\F}F2[,所以(2屈『+(4"『=4c2,即2&『=牡2,解得e=yp. 故答案为: V7 利用双曲线的定义进而得解. 16.函数.f(x)=x(lnx_aY)CaeR,x>0)在区间[护)上存在极大值,则实数的取值范 围是■ 【分析】对函数求导并化简,设^(A)=1±^(X>O),求导判断出单调性和最值,若函数存在极大值,则需函数先增后减,即导函数的函数值先正后负,列不等式可得实数d的取值范用. 令g(Q>0,解得xvl,即g(x)在(.1)上单调递增; 令g©)vo,解得A>1,即g(x)在(1,£)上单调递减; z、2 且&(叽《=£ (1)=1,乂g(£)=—, e 则当2g£,1],即耐\弓时,爪)先增后减,即函数存在极大值 故答案为: f-41 锐2) 关键点点睛: 本题考查导函数在极值中的应用,解决本题的关键点是将函数存在极大值,转化 为导函数零点问题,进而成为函数g(x)=±^(x>0)与),=加的图象问题,列不等式可得出 X 参数的范圉,考查学生转化思想和讣算能力,属于中档题. 四、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•) 17•在aABC中,b,c分别是角4,b,C的对边,并且b2+c2-a2=bc,已知, 计算aABC■的面积,请从①“=②0=2,③sinC=2sinB这三个条件中任选两个,将问 题补充完整,并作答. 答案见解析. 根据余弦定理求出人=£,若选择①d=®b=2,根据余弦定理求出c=3,然后根据面 积公式可求得结果;若选择①a=h,③sinC=2sinB,根据正弦定理和余弦定理求出&及利用&与c的关系,根据面积公式可求得结果;若选择②"2,③sinC=2sinB,根据正弦定理求出5再根据面积公式可求得结果. 因为b2+c2-a2=bc,所以匕二二匚所以cosA=l 2bc22 因为Ae(O,^),所以A=p 第一种: 若选择①"=②b=2,由a2=b2+c2-2bccosA^ 得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,解得c=3(负值舍去), 第二种: 若选择①"=③sinC=2sinB,illsinC=2sinB以及正弦定理可得c=2b,由 7a2=b2+c2-2加cosA得7=戻+4戻一2戻,得口=三,所以,BC=-bcsinA=--b-2b~=—x-=^. "C222236 第三种: 若选择②b=2,③sinC=2sinB,由sinC=2sinB以及正弦定理可得c=2b,所以 c=4, 所以S=l^sinA=lx2x4x^=2^. 本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式,解题的关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理公式及利用它们进行边角正确的转换,属于基础题. 18.数歹lj}满足aA+2(h+3佝+•••+%/”=(77-1)»2/,+1+2(/? >1). (1)求数列{厲}的通项公式; (2)设乞=口,S”为数列0”}的前“项和,求S”. (1)直接利用数列的递推关系式的应用求岀数列的通项公式; (2)利用 (1)的结论,进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和. 解: (1)ill题意,"1=2. 由ci\+2©++・••+na”=(,? —1)•2"+2("n1),Q) 得q+2tij+3q+…+(n—l)q_]=(“一2)・2"+2(mn2),(^) am得 nan=[(“一1)•2rt+l+2]-[(/? -2)•T+2〕=n•2"(«>2), 所以an=2n(n>2) 乂因为当”=1时,上式也成立,所以数列{"”}的通项公式为©=2". 亠.2畀+12/? +1 2" ⑵由题意,汗丁二十’所以 o,3572//+1„ 以=也+2+乞+・・・4=57+尹+歹+・・・一^,③ 2〃+12/7+1 F 数列求和的方法技巧 (1)倒序相加: 用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. (2)错位相减: 用于等差数列与等比数列的积数列的求和. (3)分组求和: 用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和. 19.如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCQ为边长为2的菱形,P4丄平面ABCD, ZABC=60°fE,F分别是BC,PC的中点. (1)证明: 由四边形ABCD为菱形,ZABC=60,可得△A3C为正三角形, TE为BC的中点,AAE丄AD. PA丄ABCD,AEu面ABCD,PA丄AE. 而QAu面PAD,APu面PAD,且PAr>AD=A ・•・AE丄面PAD. 又QAu面PAD,: -AE丄PD. (2)由 (1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别是BC,PC的中点,4(0,0,0),5(>/3-1,0),<7(点1,0),£>(0,2,0),P(0,0,2),£"(>/^,0,0),F-y-,—,•: AE=(5/^,0,0),AF=,1 L厶乙厶厶 设平面AEF的法向量为/H=(xpypz,), 取石=一1,则772=(0,2,-1). •/BD丄AC,3D丄PA,PA(^\AC=A,: •BD丄面AFC. 故丽为平面AFC的一个法向量,乂丽=(-713,0)・ 所以二面角一7的余弦值为乎. 方法点睛: 空间向量解答立体儿何问题的一般步骤是: (1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系; (2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离. 20.在全国第五个“扶贫日”到来之前,某省开展“精准扶贫,携手同行”的主题活动,某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.A镇有基层干部60人上镇有基层干部60人,C镇有基层干部 80人,每人都走访了若干贫困户,按照分层抽样,从A.B.C三镇共选40名基层干部,统计•他们走访 贫困户的数量,并将走访数量分成5组,[5,15),[15,25),[25,35),[35,45),[45,55],绘制成如图所示 (1)求这40人中有多少人来自C镇,并估计A.B.C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色,以频率估计概率,从AB.C三镇的所有基层干部中随机选取3人,记这3人中工作出色的人数为X,求X的分布列及数学期望. (1)40人中有16人来自C镇,28.5户 (2)见解析 (1)先确定抽样比,再由C镇有基层干部80人即可求出结果: 求平均数时,只需每组的中间值乘以该组的频率再求和即可; (2)先确定从三镇的所有基层干部中随机选出1人,其工作出色的概率,山题意可知X服从二项分布,进而可求出结果. 解: (1)因为A,3,C三镇分别有基层干部60人,60人,80人,共200人, 40 利用分层抽样的方法选40人,则C镇应选取80x—=16(人), 200 所以这40人中有16人来自C镇 因为元=10x0.15+20x0.25+30x0.3+40x0.2+50x0」=28.5, 所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户 (2)由直方图得,从三镇的所有基层干部中随机
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