中考复习专题隐圆.docx
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中考复习专题隐圆.docx
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中考复习专题隐圆
中考复习专题:
隐型圆
一、根据圆的定义作辅助圆
例1如图,四边形ABCD中,AB//CD,AB=AC=A»p,BC=q,求BD的长.
例2、如图,正方形ABCD的边长为2,
将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如
果点Q从点A出发,沿图中所示方向按.滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿
图中所示方向按
滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过的路
线长为
变式1:
在矩形ABCD中,已知AB=2cmBC=3cm现有一根长为
个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒
的面积为
变式2:
如图,在矩形点,P为BC边上一动点,则
ABCD中,AB=2AD=3点E,F分别为AD,DC边上的点,且EF=2,G为EF的中
PA+PG勺最小值为
p
变式3:
在平面直角坐标系中,
且AC=2设tan/BOC=m贝Um的取值范围为
变式4:
如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF
沿EF所在直线折叠得到△EB‘F,连接B‘D贝UB'D的小值是
式5:
在Rt△ABC中,/C=90°,AC=6?
BC=8点F在边AC上,并且CF=2点E为边BC上的动点,将厶CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是「
变式6:
如图,在△ABC中,/ACB=90,AB=5BC=3,是AB边上的动点(不与点B重合),将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B‘CP,连接B‘A,贝UB‘A长度的最小值是.
变式7:
如图,在平行四边形ABCD中,/BCD=30,BC=4,CD=•氛臥M是AD边的中点,N是AB边
上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△AMN连接AC贝UAC长度的最小值是
沿直线AM对折,得到△ANM
练习:
如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3M是边CD上一点,将△ADM
(1)当AN平分/MAB寸,求DM的长;
(2)连接BN当DM=1时,求△ABN的面积;
(3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.
2.共端点两条线段为定长
在厶ABC中,AC=4,AB=5,则厶ABC面积的最大值为
变式1:
已知在四边形ABCD中,AD+DB+BC=1,6则四边形ABCD面积的最大值为
变式2:
在厶ABC中,AB=3,AC=谄当/B最大,BC的长是
3.共端点三条线段为定长
引列如图,已知AB=AC=AD,ZCBD=2/BDC/BAC=44,则/CAD的度数为
引列图变式1图
变式1:
如图,在四边形ABCD中,DC//AB,BC=1,AB=AC=AD=2则BD=
C均在AB的同
变式2:
如图,在等腰厶ABC中,AC=BC/C=70°,点P在厶ABC的外部,且与点
侧.如果PC=BC那么/APC=.
变式3:
如图,在△OAB中,OA=OB/AOB=15.在厶OCD中,OC=OD,/COD=45,且点C
在OA边上.连接CB将线段OB绕着点O逆时针旋转一定角度得到线段OE使得DE=OE则/BOC的
度数一一―.
知识架构
P,使/APB=/ACB.(尺规作图,保留作
如图,点A(2,0),B(6,0),CB丄x轴于点AC在y轴正半轴求作点图痕迹)
归纳:
当某条边与该边所对的角是定值时,该角的定点的轨迹是圆弧
方法:
见直角.找斜边(定长)■想直径—定外心.现“圆”形
弓I例已知A,B两点在直线L的异侧,在L上求作点P,使△PAB为直角三角形,(尺规作图,保留
痕迹)
变式1:
如图,在等腰Rt△ABC中,/ACB=90,AC=BC=4D为线段AC上一动点,连接BD,过点C作CH
丄BD于点H,连接AH,则AH的最小值为.
H
70s
F从点D出发向点C运
AF,BE相交于点P,则线
变式2:
如图,在正方形ABCD中,AB=2动点E从点A出发向点D运动,同时动点
动,点E,F运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运动过程中线段
段DP的最小值为.
变式3:
直线y=x+4分别与x轴,y轴相交于MN,边长为2的正万形OABC一个顶点O在坐标系的原点,直线AN与MC相交于P.若正方形绕着点O旋转一周,则点P到点(0,2)长度的最小值是.
方法三:
见定角t找对边(定长)宀想周角t转心角t现“圆”形
C,ZACB=30(利用直尺和圆规作
问题提出:
如图,已知线段AB,试在平面内找到符合所有条件的点图,保留作图痕迹,不写作法)
自主探索1:
在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),B(-1.0),C是y轴上一动点.当/BCA=45时,点C的坐标为
5亠
4)
—
3
y
541321
B十
-o
1:
-1-
-2
-3
123456x
-1o
-1
-2
-3
A
123456x
-4
-5
自主探索
1图
-4
-5
自主探索2图
自主探索2:
在平面直角坐标系中,已知点点C的坐标为
A(3,0),B(-1,0
),C是y轴上一动点.当/BCA=60时,
7
牛
3-
2
■X
B
A=—1——4
-o
1一
”123456x
-1
i
2
5-
牛
3
2
■=-W
B
A‘一1亠
-o
1-
123456x
-1
-2
-3
4
-5
自主探索3图
-4
-5
自主探
索4图
自主探索3:
在平面直角坐标系中,
已知点A(3,0),B(-1,0),C是y轴上一动点.当/BCA=120时,
点C的坐标为
自主探索4:
在平面直角坐标系中,
已知点A(3,0),B(-1,0),C是y轴上一动点.当/BCA=135时,
点C的坐标为
p
变式1:
如图,B是线段AC的终点,过点C的直线I于AC成60°角,在直线I上取一点P,使/APB=30,则满足条件的点P的个数是.\
■
\
j1A
4B/
变式2:
连接BE,AD,
p,
变式1图
2的等边△ABC中,动点
则CP的最小值为
D,E分别在BCAC边上,且保持
AE=CD
变式3:
如图,点A与点B的坐标分别是A(1,0),B(5,0),P是该平面直角坐标系内的一个动点
(1)使/APB=30的点P有个
(2)若点P在y轴上,且/APB=30,求满足条件的点P的坐标
(3)当点P在y轴上移动时,/APB是否存在最大值?
若存在,求点
P的坐标;若不存在,请说明
(2)
如图②,在平面直角坐标系的第一象限内有一点B,坐标为(2,m),过点B作AB丄y轴,BC丄x
轴,垂足分别为A,C若点P在线段AB上滑动(点P可以与A,B重合),发现使得/OPC=45的位置有两个,则m的取值范围为.旦區
变式5:
如图,已知抛物线(0,2),连接AC,BCo
y=ax2+bx+c(0)与x轴交于A(1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C
(1)求抛物线的解析式;
2)若BC的垂直平分线交抛物线于D,E两点,求直线DE的解析式;
(3)
若点P在抛物线的对称轴上,且/CPB玄CAB求出所有满足条件的点P的坐标
二、结论类似于圆幕定理的形式时作辅助圆
例如图,在△ABC中,AB=AC=3,D是边BC上的一点,且AD=1,求BD•DC的值.
三、探究动点对定线段所张的角时作辅助圆
例1如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC/B=90°,设AB=a,DC=b,AD=c,当a、b、c之间满足什么关系时,在直线BC上存在点P,使APIPD?
B
D
C
例2如图,在平面直角坐标系xOy中,给定y轴正半轴上的两点A(0,8)、B(0,2),试在x轴正半轴上求一点C,使/ACB取得最大值。
Q是边BC上的动点,且
例3已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,/AC吐90°,P是边AB上的动点,/CPQ=90°,求线段CQ的取值范围.
A
P
__
jr*■tB..
C
jjrTh
护\B
FQ・
四、四点共圆
判断四点共圆的常用方法有
(1)对角互补的四边形的四个顶点共圆;
(2)同底同侧顶角相等的两个
三角形的四个顶点共圆.判断四点共圆后,就可以借助过这四点的辅助圆解题.
例1如图,E是正方形ABCD勺边AB上的一点,过点E作DE的垂线交/ABC的外角平分线于点F,求证:
FE=DE
Dc
例2如图等边厶PQR内接于正方形ABCD其中点P、QR分别在边ADABDC上,M是QR的中点,求证:
不论等边厶PQR怎样运动,点M为不动点.
例3如图,正方形ABCD的中心为O,面积为1989,P为正方形内的一点,且/0P吐45°,PA:
PB=5:
14,求PB的长.
练习
1.在直角坐标系中,过A(-1,0)和B(3,0)的。
M上有点P.
(1)若cos/APB=(/APB是锐角),求OM的半径;
3
(2)在y轴上,是否存在一点D,使得/ADB=45?
若存在,求出点D的坐标
2.在平面直角坐标系中,
抛物线yx2bxc与X轴交于
A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点
G点B的坐标为(3,0),将直线ykx沿y轴向上平移
(1)求直线BC及抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且
3个单位长度后恰好经过
B,C两点.
APDACB求点P的坐标.
12
/”2
3.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,°)B(4,°)、,抛物线yaxbx—-2过点A、B顶点为C点P
(m,n)n<°为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)当APB为钝角时,求m的取值范围.
4.如图,已知点A(1,°),B(°,3),C(-3,°),动点P(x,y)在线段AB上,CP交y轴于点D,设
BD的长为t.
(1)求t关于动点P的横坐标x的函数表达式;
CD与线段AB的数量及
(2)若S:
S=2:
1,求点P的坐标,并判断线段
△BC0AOB
位置关系,说明理由;
(3)在
(2)的条件下,若M为x轴上的点,且/BMD最大,请求出点M的坐标.
C-2-1OA2x
-1
5.如图,点A与点B的坐标分别是(1,°),(5,°),点P是该平面直角坐标系内的一个动点.
(1)若点C平面直角坐标系内的一个点,且△ABC是等边三角形,则点C的坐标是;
(3)当点P在y轴上移动时,理由;若没有,也请说明理由.
(2)若点P在y轴上,且/APB=3°,求满足条件的点P的坐标;
APB是否有最大值?
若有,求点P的坐标,并说明此时/APB最大的
E一
6.如图,直线y=-x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数的图象交于点P(2,
1).
(1)求该反比例函数的关系式;
(2)设PC丄y轴于点C,点A关于y轴的对称点为A;
1求△ABC的周长和sin/BAC的值;
2对大于1的常数m求x轴上的点M的坐标,使得1
sin/BMC三
m
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