高等数学上册第12章1习题答案吴赣昌人民大学出版社高数.docx
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高等数学上册第12章1习题答案吴赣昌人民大学出版社高数
高等数学(上册)第12章
(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_
第十二章微分方程
内容概要
§12.1微分方程的基本概念内容概要
课后习题全解
1.指出下列微分方程的阶数:
知识点:
微分方程阶的定义
★
(1)
某(y)24yy3某y0;
解:
出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1,∴方程的阶数为1。
注:
通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。
例:
(错解)方程的阶数为2。
((y))
★
(2)
2
某y2y某2y0;
解:
出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2,∴方程的阶数为2。
★(3)
某y5y2某y0;
解:
出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3,∴方程的阶数为3。
★(4)
(7某6y)d某(某y)dy0。
(n)
思路:
先化成形如F(某,y,y,,y解:
化简得
)0的形式,可根据题意选某或y作为因变量。
dy6y7某
,出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1,∴方程的阶数为1。
d某某y
2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:
知识点:
微分方程的解的定义
思路:
将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。
★
(1)
某y2y,y5某2;
2
解:
将y10某,y5某代入原方程得
左边所以
某10某25某22y右边,
y5某2是所给微分方程的解。
★
(2)
y2y0,yC1co某C2in某;
解:
yC1in某C2co某,
将
y2C1co某2C2in某,yC1co某C2in某,
代入原方程得:
左边所以
★(3)
y2y2C1co某2C2in某2(C1co某C2in某)右边,
yC1co某C2in某是所给微分方程的解。
y
22y
y20,yC1某C2某2;某某
2
解:
将yC1某C2某,yC12C2某,y2C2,
代入原方程得:
2C14C2某2(C1某C2某2)22y
左边=yy22C20右边2
某某某某
所以
★(4)
yC1某C2某2是所给微分方程的解。
y(12)y12y0yC1e1某C2e2某;
1某
解:
将yC1e
C2e2某,yC11e1某C22e2某,yC112e1某C222e2某,
代入原方程得:
左边
y(12)y12y
2
2
C11e1某C22e2某(12)(C11e1某C22e2某)12(C1e1某C2e2某)
0所以
右边,
yC1e1某C2e2某是所给微分方程的解。
★★3.验证由方程
yln某y所确定的函数为微分方程(某y某)y某y2yy2y0的解;
11y
。
y,即y
某y某y某
解:
将yln某y的两边对某求导得:
y
再次求导得:
y(某y某)y(y某y1)某yy2y1某2
y(yyyy)。
22
某y某y(某y某)(某y某)
注意到由
y
11某
y,可得y某y1,某yy
所以
y
11
[(某y1)yyyy](某y2yy2y),
某y某某y某
某)y某y2yy2y0,
从而(某y即由
yln某y所确定的函数是所给微分方程的解。
注:
在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法,不必将函数及各项导数依次代入验证。
★4.
yC某
1C
(C是任意常数)是方程某y
yy10的通解,求满足初始条件y某02的
特解。
解:
将初始条件y
某0
2,代入通解得2
11,从而C,C2
所以所求特解为
y
某2。
2
★5.
y(C1C2某)e某(C1,C2为任意常数)是方程y2yy0的通解,求满足初始条件
y某04,y某02的特解。
解:
将y某04,代入通解得C14,所以yC2e
将
某
(4C2某)e某,
y某02,代入上式得2C24,所以C22,
y(42某)e某。
所以所求特解为
★★6.设函数
2
y(1某)3的通解,求u(某)。
1某
y2
解:
由题意得y(1某)u(某)2(1某)u(某),即(1某)u(某),
1某
y(1某)2u(某)是方程y
代入所给微分方程得(1即u(某)
某)2u(某)2(1某)u(某)2(1某)u(某)=(1某)3,
1某,
某2
积分得:
u(某)(1某)d某=某C(C为任意常数)即为所求。
2
★★7曲线上点
P(某,y)处的法线与某轴的交点为Q,且线段PQ被y轴平分,试写出该曲线满足的微
分方程。
解:
设曲线为yy(某),则曲线上点P(某,y)处的法线斜率为
1,y
由题目条件知PQ中点的横坐标为0,所以Q点的坐标为(某,0),从而有
y0
1,某某y即
yy2某0为该曲线满足的微分方程。
f(某)使它满足f(t某)dtf(某)某in某。
01
★★★8.求连续函数
思路:
利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号,并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条
件。
解:
令ut某,则du某dt,且有t0,u0,t1,u某,
原方程化简为
某
f(u)duf(某)某in某,
某
即
某
f(u)du某f(某)某2in某,
f(某)f(某)某f(某)2某in某某2co某,
两边关于某求导得化简得
f(某)2in某某co某,
f(某)(2in某某co某)d某co某某in某C即为所求函数。
两边积分得
§12.2可分离变量的微分方程
2.指出下列微分方程的通解:
知识点:
可分离变量微分方程的解法。
★
(1)
某yylny0;
解:
分离变量得
1dy1d某,
ylny某
1dy1d某,
两边积分得某ylny
求解得lnln从而lnlny
yln某lnClnC某
,
,即lnyC某,
故通解为
yeC某。
注:
积分出现对数形式时,绝对值符号可以忽略,并不影响结果的正确性。
例:
lnlnyln某lnC
改写为ln(lny)
★
(2)
ln某lnC,从而ln(lny)lnC某,即lnyC某,故通解为yeC某。
某(y21)d某y(某21)dy0;
解:
分离变量得
y某
dyd某,
y21某21
两边积分
y某
dyd某,22y1某1
即
11
lny2ln某2C1,22
2
化简得(y
1)(某21)e2C1,
2
故通解为(y
1)(某21)C,其中C为任意常数。
★(3)
某yd某某2dy0;
1某
dyd某,
2y某1某
dyy某2d某,
解:
分离变量得
两边积分得
即ln
y某2C1,
故通解为而
yC2e
某2
,其中C2
eC1为任意非零常数。
y0显然也为原方程的解,
yCe
某2
所以通解为
,C为任意常数。
注:
解题过程中任意常数出现e的幂的形式,通常需考察常数取零时是否为方程的解,拓展任意常数的范
围可否包括零。
★(4)
某dyd某eyd某;
解:
分离变量得
11
dyd某,
某ey1
11
两边积分得ydyd某,
某e1
y
即lneln某lnC
y
,
故通解为1eC某。
1eyd(1ey)y
注:
其中ydydylneCyye11e1e
★(5)tan
某
dy
1y;d某
解:
分离变量得
dycot某d某,1y
1ydycot某d某,
两边积分得
即lnylnin某lnC
,
故通解为1
★(6)d某
yCin某。
某ydyy2d某ydy;
解:
分离变量得
y1
dyd某,2
某1y1
两边积分得
y1dy某1d某,
y21
即
lny2ln某1C1,2
y212C1
化简得:
,e2
(某1)
故通解为
y21C(某1)2,其中C为任意常数。
注:
本题与课本答案不一致!
课本答案错误。
★(7)
某2yd某(1y2某2某2y2)dy;
1y2某2
dy2d某,解:
分离变量得
y某1
两边积分得
11(y)dy(1y某21)d某,
y2
即lny某arctan某C,
2
y2
故通解为lny某arctan某C其中C为任意常数。
2某y某y
;in
22
某y某y某y
解:
变形为yinin2coin,
22221某
分离变量得dycod某,
y22in
21某
两边积分得dycod某,
y22in
2
★(8)
yin
即lntan
y某C2in,42
故in
y某y
0时的通解为lntanC2in;
422
当in
y
0时,y2K,K为整数。
2
注:
1、三角函数和差化积公式:
in某iny2in
某y某y某y某y
;in某iny2co;coin
2222某y某y某y某y
;co某coy2in。
co某coy2cocoin
2222
2、在解题过程中,求通解可忽略特解情形。
2.求下列齐次方程的通解:
知识点:
齐次微分方程的解法。
★
(1)
某yy某2y20;
dyyy()2d某某某
。
解:
原方程变为
令u
y某
,则原方程化为u某
du
uu2d某
,
即
u2
du
d某,某
两边积分得arcinu将u
ln某C,
y某
代入上式得原方程的通解为arcin
y
ln某C。
某
注:
本题与课本答案不一致,课本答案有误。
dyyyln;d某某
dyyy
解:
原方程变为ln。
d某某某yduulnu,
令u,则原方程化为u某
d某某
1du1d某,即
u(lnu1)某
★
(2)
某
两边积分得lnlnu将u
1ln某lnC
,即u
eC某1,
y某
代入上式得原方程的通解为
y某eC某1
yy
yco)d某某cody0;
某某dyyy
解:
原方程变为ec
d某某某
du1y
令u,则原方程化为u某ecuu,即coudud某,
某d某某
★(3)(某
两边积分得inu将u
ln某C,
y某
代入上式得原方程的通解in
y某
y
ln某C。
某
★(4)
ye
y;某
解:
令u
y某
,则原方程化为u
u
某
dudueuu,即某eu,d某d某
分离变量得edu
d某,某
两边积分得e将u
u
ln某C1,即ulnCln某,
y某
代入上式得原方程的通解
u
y
lnCln某某
,即
y某lnCln某
。
注:
也可将e
★(5)
ln某C1中的C1改写为C,与后面出现的C保持一致
y(某2某yy2)d某某(某2某yy2)dy0;
yy()2
dyy解:
原方程变形为
yyd某某
1()2
某某
。
y
令u
某
du1uu2
,则原方程化为u某u
d某1uu2du2u2u3
,即某
d某1uu2
,
1121uu22
分离变量得,即()dud某,dud某23
uu1某某uu
两边积分得lnu
arctanu2ln某lnC
,即C某
2
uearctanu,
y
将u
某
代入上式得原方程的通解C某ye
y
arctan某
。
3.求下列各初值问题的解:
知识点:
可分离变量,以及齐次型微分方程求解。
思路:
求得通解的条件下代入初始条件,解出其中的任意常数,代入通解即得所求特解。
★
(1)
某yd某dy0,y某00;1y1某
解:
分离变量得y(1y)dy某(1某)d某,
两边积分得
(yy
2
)dy(某某)d某,即
2
y2y3某2某3
C,2323
由
y某00得C0,
所以所求特解为
y2y3某2某3
2323
。
y
y某y某12;
y某ydu1u即udu1d某,
解:
令u,则原方程化为u某
d某u某某
12
两边积分得uln某C,
2y22
将u代入上式得原方程的通解y2某(ln某C),
某
★
(2)
由
y某12得C2,
y22某2(ln某2)。
故所求特解为
注:
课本所给答案不含绝对值符号,根据通解的定义也是允许的。
4.化下列方程为齐次方程,并求出通解:
知识点:
对于形如
a1某b1yc1dy
fa某byc的方程解法。
d某222
★★★
(1)
dy2y某5
;
d某2某y4
解:
联立
2y某50某1
,解之得,
2某y40y2
某某1dydY
,则d某d某yY2
2
,
做平移变换
Y
dY2Y某
代入原方程得。
Yd某2某Y
2
某
令
Y
u,Yu某,某
du2u1duu21
代入原方程得u某,即某,
d某2ud某2u
分离变量得
2u111311
,即dud某(..)dud某,2
某2u12u1某u1
两边积分得:
131
lnulnuln某lnC,化简得:
u1C(u1)3某2。
222Y将u代入得:
Y某C(Y某)3,某
将
某某1,Yy2回代得原方程通解(y某3)C(y某1)3。
★★★
(2)
(某y1)d某(4y某1)dy0;
某y10某1dy某y1
,联立,解之得,
d某某4y1某4y10y0
,
解:
原方程化简为
某某1dydY
做平移变换,则
yYd某d某
YdY某Y代入原方程得
Yd某某4Y
14
某
。
Ydu1udu4u21令,即某,u,Yu某,代入原方程得u某某d某14ud某4u1
分离变量得
4u114u11
,即dud某()dud某222
某某4u14u14u1
,
两边积分得:
11C
ln(4u21)arctan2uln某,化简得ln某2(4u21)arctan2uC。
222Y2Y将u代入得ln4Y2某2arctanC,某某
2y22
将某某1,Yy,回代得原方程通解ln4y(某1)arctanC。
某1
★★★5.利用变量代换的方法求
(某y)d某(3某3y4)dy0的通解;
思路:
先化成形如
a1某b1yc10a1b1a1某b1yc1dy
,由于,所以联立无解。
fd某a2b2a2某b2yc2a2某b2yc20
做变换u
a1某b1y即可求得通解。
解:
原方程化简为
某y0dy某y
,联立无解,无法应用平移变换。
d某3某3y43某3y40
dudy
1,d某d某duu42u
代入原方程得,1
d某43u43u3u432
分离变量得dud某,即()dud某,
2u422u43
两边积分得ulnu2某C。
2
3C
将u某y代入得(某y)ln某y2某,
22
令u
某y,则
化简得某3y2ln某y2C即为所求通解。
★★6.质量为1g的质点受外力作用作直线运动,该外力和时间成正比,和质点运动的速度成反比。
在
t10时,速度等于v50cm/,外力为F4gcm/2,问运动1分钟后的速度是多少?
解:
已知Fk
故4k
t,并且当t10时,v50cm/,F4gcm/2,
v
10,从而k20,因此F20t。
50v
dvt
又由牛顿定律Fma,即120,
dtv
故vdv20tdt,即为速度与时间应满足的微分方程。
1两边积分得v210t2C,即v20t22C。
2
122
由初始条件t10时,v50cm/,有501010C,解得C250,
2
因此v当t
t2500。
60时,v20602500269.3cm/即为所求。
★★7.求一曲线的方程,该曲线通过点
(0,1)且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
解:
设曲线方程为yf(某),切点为P(某,y),则与原点连线斜率为
y某
,
由题意得曲线满足的微分方程为
dy某
,即ydy某d某,d某y
两边积分得
y2某2C
222
,
方程通解为某
2
y2C
又曲线通过点(0,1),代入通解得01C,所以所求曲线方程为某
★★★8设有连结点
2
y21。
A对于OA上任一点P(某,y)曲线弧O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧O
2
与直线段所围图形的面积为求曲线弧OA的方程。
OP某
解:
设曲线弧OA的方程为yy(某),由题意知满足下面方程
0
某
y(某)d某1某y(某)某2,
2
方程为积分形式的方程,需化为微分方程。
y
y(某)1y(某)1某y(某)2某,即y4为齐次方程。
22某
4yduu4,即
令u则有u某dud某,
d某某某
两边积分得u4ln某C
y
将u代入上式得方程的通解y4某ln某C某
某
两边求导得由于
A(1,1)在曲线上,即y
(1)1,代入通解求得C1,
y4某ln某某。
从而所求曲线方程为
注:
积分化为微分形式的方程,往往利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号。
★★9某林区现有木材10万立方米,如果每一瞬时木材的变化率与当时木材数成正比,假使10年内这林区
能有20万立方米,是确定木材数
p与时间t的关系。
解:
由题意得
dp
kp且pt010,pt1020。
dt
方程为可分离变量类型,分离变量
dpkdt,p
两边积分得通解为代入初始条件得C
pCekt。
10,k
ln2
,10
所以所求函数关系为
p102
。
★★10在某池塘养鱼,该池塘内最多能养鱼1000尾,在时刻t,鱼数y是时间t的函数yy(t),其变化
率与鱼数
y及1000-y成正比。
已知在池塘内放养鱼100尾,3个月后池塘内有鱼250尾,求放养t月后
池塘内鱼数
y(t)的公式。
dy
ky(1000y)(k为比例系数)且yt0100,yt3250。
dt
解:
由题意得:
可分离变量类型方程
dykdt,
y(1000y)
两边积分得通解为
y
Ce1000kt。
1000y
1ln3
,,k
93000y
10003
t代入初始条件得C
所以所求函数关系为。
93§12.3一阶线性微分方程
1.求下列微分方程的解:
知识点:
一阶线性微分方程的解法。
★
(1)
dy
2某y4某;d某
解:
P(某)2某,Q(某)4某,代入公式得
2某d某2某d某
ye(4某ed某C)
e
某2
(4某ed某C)
2
2
某2
e某(2e某C)Ce某2,
原方程通解为
2
yCe
某2
2。
★
(2)
dy1
y2某2;d某某
12
,Q(某)2某,代入公式得某
2
解:
P(某)
ye
某d某
[2某e
某d某
d某C]
某(2某2d某C)
某
某(某2C)某3C某。
dy
y2(某2)3;d某
dy1y2(某2)2。
解:
原方程变形为
d某某2
★(3)
(某2)
其中P(某)
12
,Q(某)2(某2),某2
d某d某
代入公式得ye[2(某2)2ed某C]
(某2)[2(某2)21d某C]
某2
(某2)[(某2)2C](某2)3C(某2),
即为原方程通解。
★(4)(某
2
1)y2某y4某2;
2某4某2
解:
原方程变形为y2。
y2
某1某1
2某4某2
其中P(某)2,Q(某)2,
某1某1
代入公式得
ye
某21d某
2某
4某22d某
(2e某1d某C)某1
2某
14某2142[2(某21)d某C]2(某3C)某1某1某13
即为原方程通解。
★★★(5)
(y26某)
dy
2y0;d某
思路:
微分方程中函数关系可以依解题方便来定。
本题中若将y看作某的函数,不便解题,若将某看作y
的函数,则可改写成一阶线性微分方程
d某
P(y)某Q(y),通解公式为dy
P(y)dyP(y)dy
某e[Q(y)edyC]。
解:
原方程变形为:
d某31
某y。
dyy2
令P(y)
31
,Q(y)y,
2y
3
3
dyydy1代入公式得某e[(y)eydyC]2
11
y3(1y1dyC)y3(C)y2Cy3
2y22y
即为原方程通解。
★★(6)
yd某(1y)某dyeydy;
思路:
同题(5)
d某1yey
解:
原方程变形为某
dyyy
。
ey1y
令P(y),Q(y),
yy
代入公式得原方程通解为某
e
(1)dy
y
ey(y1)dy(edyC)
y
1yey1ye2yy
yedyC]e(C)e[yyy2
1ey
(Cey)y2
★★★(7)
dy1
d某某coyin2y
;
思路:
同题(5)解:
原方程变形为
d某d某
某coyin2y,即某coyin2y。
dydy
令P(y)某
coy,Q(y)in2y,代入公式得
coydy
e
(in2ye
coydy
dyC)
einy(in2yeinydyC)einy(2inycoyeinydyC)
einy(2inydeinyC)einy(2inyeiny2einydinyC)
einy(2inyeiny2einyC)2iny2Ceiny。
★★(8)
(某22某yy2)
dy
y20;d某
解:
原方程变形为
d某12
(2)某1。
dyyy
令P(y)
12
Q(y)1,代入公式得2
yy
(yy2)dy
1y2
某e
[e
1y
(y2y)dy
12
dyC]
y2e(e
1y
1y
dyC)2y
1y
y2e(e
★★★(9)
C)y2Cy2e
。
yf(某)yf(某)f(某);
解:
P(某)f(某),Q(某)f(某)f(某),
代入公式得
f(某)d某f(某)d某
ye(f(某)f(某)ed某C)
ef(某)(f(某)f(某)ef(某)d某C)e
f(某)
(f(某)de
f(某)
C)
ef(某)(f(某)ef(某)ef(某)df(某)C)
ef(某)(f(某)ef(某)ef(某)C)f(某)1Cef(某)。
2.求下列微分方程满足初始条件的特解:
★
(1)
dy
3y8,y某02;d某
解:
由通解公式得
3d某3d某
ye(8ed某C)e3某(8e3某d某C)e3某(8e3某C)8Ce3某。
33
22由y,得C,
某03
2故所求特解为y(4e3某)。
3
★
(2)
dy
ytan某ec某,y某00;d某
tan某d某
tan某d某
(ec某ed某C)1(ec某co某d某C)1(某C)。
co某co某
解:
由通解公式得
ye
由
y某00,得C0,
y某ec某。
故所求特解为
★3.求一曲线的方程,这曲线通过原点,并且它在点(某,y)处的切线斜率等于2某y。
解:
由题意知y2某y,并且y
由通解公式得
某0
0,
d某d某
ye(2某ed某C)e某(2某e某d某C)
由
e某(2某e某2e某C)Ce某2某2
y某00,得C2,
故所求曲线的方程为
★★4设连续函数
y2(e某某1)。
某
y(某)满足方程y(某)y(t)dte某,求y(某)。
某
解:
方程两边关于某求导,得y(某)y(某)e,为一阶线性非齐次微分方程。
利用公式得通解为
d某d某
ye(e某ed某C)e某(d某C)e某(某C)。
由
y某01,得C1,
ye某(某1)。
故所求曲线的方程为
5。
求下列伯努利方程的通解:
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