状态方程的系数矩阵与网络函数的关系及应用_杨锡珍.docx
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1999年2月
第5卷第1期
安庆师范学院学报(自然科学版)
JournalofAnqingTeachersCollege(NaturalScience)
Feb.1999
Vol.5No.1
状态方程的系数矩阵与网络函数的关系及应用
杨锡珍
(安庆电大安庆246003)
摘要以线性时不变网络为例,分析了状态方程的系数矩阵与网络函数的关系,介绍了通过网络函数直接寻求状态方程的方法。
关键词状态方程矩阵网络函数
近代系统工程的迅速发展和电子计算机的广泛应用,促使作为电机、电子、通讯及控制工程基础的网络分析在研究方法上发生了深刻的变化。
六十年代以来,状态变量法已被广泛地应用于网络分析中。
状态变量法不仅适用于线性网络,而且适用于非线性网络;不仅适用于时不变网络,而且适用于时变网络;不仅适用于研究单输入单输出问题,而且适用于研究多输入多输出问题。
状态变量法首先分析能够代表网络内部特性的状态变量,然后通过状态变量和激励(输入)求出响应(输出)。
它用状态方程和输出方程来描述网络,其主要问题就是确立网
络的状态方程并求解。
对于具有n个状态变量x1(t),x2(t),…,xn-1(t),xn(t),和m个激励f1(t),f2(t),…,
fm-1(t),fm(t)的线性时不变网络,状态方程的标准形式为
·
x(t)=Ax(t)+Bf(t) ①
式中:
x(t)=
x1(t)
x2(t)
xn-1(t)
xn(t)
;f(t)=
f1(t)
f2(t)
fm-1(t)
fm(t)
·
;x(t)=
·
x1(t)
·
x2(t)
= =
d
·dt
xn-1(t)
·
xn(t)
x1(t)
x2(t)
;
xn-1(t)
xn(t)
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
A=
an1 an2 … ann
; B=
b11 b12 … b1m
b21 b22 … b2m
;
bn1 bn2 … bnm
网络中的无源元件按照能否储能分为储能元件(电容、电感)和非储能元件(电阻或电导、
受控源)。
能够描述储能元件储能状态的物理量(电容元件的电压或电荷、电感元件的电流或
*收稿日期:
1998-08-25
·25·
第1期
杨锡珍:
状态方程的系数矩阵与网络函数的关系及应用
磁链)均可作为网络的状态变量。
因此,状态方程实际上就是网络中电容电流、电感电压与作为状态变量的电容电压(或电荷)和电感电流(或磁链)以及激励的关系。
图1为线性时不变网络,uC、iL为状态变量,is、us为激励,R、G、L、C均为常数。
由于
·
iC cuc
= ·
uL LiL
,其状态方程可以写成②式
iC= a11 a12
uL a21 a22
uC+ b11 b12 is ②
iL b21 b22 us
ic=a11uc+a12iL+b11is+b12us
即 ③
uL=a21uc+a22iL+b21is+b22us
由③式不难得到系数矩阵A的各元素:
a11=ic
,而-a11=-ic
=G,即原网络在所有激励
ucis=0,us=0,iL=0 uc is=0,us=0,iL=0
为零且电感电流iL=0时电容端口的策动点导纳,其等效电路如图2(a)。
a12=
ic
图1 图2
=-1,为原网络在所有激励为零且电容短路时电容电流与电感电
iLis=0,us=0,uc=0
流的转移比,等效电路如图二(b)。
同理,a21为无源网络当电感电流为零时电感电压与电容电压的转移比,a22为无源网络当电容电压为零时电感端口的策动点阻抗,即
a21=
uc
uL
=1; =uL
a22
is=0,us=0,iL=0 iL
=-
R
is=0,us=0,uc=0
可见,系数矩阵A其实就是原网络在激励全部为零时的一组网络函数。
用同样的方法可以得到系数矩阵B。
计算B中各元素的等效电路如图3。
ic
i
b11=
s
uc=0,iL=0,us=0=-1;
b12=
ic
us
uc=0,iL=0,is=0=0;
b21=uL
is
uL
u
b22=
s
图3
uc=0,iL=0,us=0
=0;
=-1
uc=0,iL=0,is=0
·26·
安庆师范学院学报(自然科学版) 1999年
不难看出,系数矩阵B就是原网络在状态变量全部取值为零时的一组网络函数。
上面的分析确立了网络函数与状态方程的联系。
在状态变量分析法中,运用网络函数的概念,分别求出激励为零和状态变量为零两种情况下相应的一组网络函数,就确定了电容电流和电感电压与状态变量以及激励之间的关系,进而得到网络的状态方程,物理概念清晰,且易于实现。
下面是用这种方法求状态方程的一个例子。
图4为一参数不随时间变化的线性网络,选择电容电压u1、u2和电感电流i3、i4为其状态变量,有一个电流源激励is。
则
i1 a11 a12 a13 a14
i2 a21 a22 a23 a24
=
u3 a31 a32 a33 a34
u4 a41 a42 a43 a44
u1 b1
u2 b2
+ is
i3 b3
i4 b4
图四
矩阵A就是原网络激励为零时的一组网络函数:
a11=
a13=
i1
u1
i1
i3
is=0,u2=0,i3=0,i4=0
is=0,u1=0,u2=0,i4=0
i1
=0; a12=
u2
=-1; a14=
i1
i4
is=0,u1=0,i3=0,i4=0
=0;
=-1;
is=0,u1=0,u2=0,i3=0
其等效电路分别见图5(a)、(b)、(c)、(d)。
图 5
a21…a44的计算与上述类似,不再赘述。
它们分别为
a21=0,a22=-
1
R5+R6
,a23=
R5
R5+R6
,a24=-
R6;
R5+R6
·27·
第1期
杨锡珍:
状态方程的系数矩阵与网络函数的关系及应用
a31=1,a32=-
R5
R5+R6
,a33=-
R5R6
R5+R6
=a34;
a41=1,a42=
R5
R5+R6
,a43=-
R5R6
R5+R6
=a44;
矩阵B是原网络状态变量取值全部为零时的一组网络函数。
计算B的等效电路如图6。
b1=0,b2=
R5
R5+R6
,b3=-
R5R6
R5+R6
=b4
0 0 -1 -1 0
i1
∴i2=
u3
0 - 1
R5+R6
1 - R5
R5+R6
R5
R5+R6
-R5R6
R5+R6
-R6
R5+R6
-R5R6
R5+R6
u1
u2+
i3
R5
R5+R6
-R5R6is
R5+R6
u4 R
i4
6
1 R5+R6
· ·
R5R6
-
-
R5+R6
· ·
R5R6
R5+R6
R5R6
-
R5+R6
而i1=c1u1,i2=c2u2,u3=L3i3,u4=L4i4。
所以,图4所示网络的状态方程为
0 0 -R5+R6
·c1
-R5+R6 0
c1
u1
R u1
R5
·
u2 1
0 -1 5
c2 c2
R6
-c2
c2
u2 1
· =R5+R6
R
3
+R5+R6
R5R6is
i3 5+R6
·L3
-R5
L3
-R5R6
L3
-R5R6 i3 - L
L3 i4
i4
R5+R6
L4
R6
L4
-R5R6
L4
-R5R6
L4
R5R6
- L4
图 6
参考文献
1江泽佳.网络分析的状态变量法
2RonaldA.Rohrer:
CircuitTheory-AnIntroductiontotheStateVariableApproach.
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