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三个二次问题
提升成绩题型训练一一三个二次问题
(二次函数、不等式、方程)
1.解关于x的不等式:
(1)X2-(a+1)x+a<0,
(2)2x2+mx+2>_0.
3.不等式(m2—2m-3)x2-(m—3)x—1<0的解集为R求实数m的取值范围.
11
4.已知二次函数y=X2+px+q,当y<0时,有-3
5•若不等式丄X2+qx+p>0的解集为{x|2ex•<4},求实数p与q的值.P
7.(经典题型,非常值得训练)设二次函数f(X)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2
1
满足0CX1■ a 8.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(一1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围. 11.如果二次函数y=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求m的取值范围. 16.已知二次函数f(X)=ax2+bx+1(a,b亡R,a》0),设方程f(x)=x的两个实数根为x1和x2. (门如果Xjc2VX2v4,设函数f(x)的对称轴为X=x0,求证: x0>-1; 2 17.设f(X)=3ax+2bx+c若a+b+c=O,f(O)AO,f (1)A0,求证: (I)a>0且一2<-<-1; b (n)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根- 19.-为何值时,关于r勺方程的两根: (1)为正数根; (2)为异号根且负根绝对值大于正根;(3)都大于1;(4)一根大于2,一根小 于2;(5)两根在0,2之间。 23.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a 答案: 1.解: (1)原不等式可化为: (X-a)(x-1)c。 若a>1时,解为1Vxva,若a>1时, 解为avXV1,若a=1时,解为 2 (2)△=m-16. △>0. ①当m2-16: >0即m或m>4时, •••原不等式的解集为[x|x<~m~Jm2p~或x>—m+Jm2—16 ①当m=±4时,△=0,两根为洛=X2=-—■ 4 若m=4,则其根为—1,.・.原不等式的解集为{x|x亡R,且XH-1} 若m=V,则其根为1,•••原不等式的解集为{x|x€R,且XH1}. ②当一4vm<: 4时,方程无实数根.•••原不等式的解集为R. 2.解: A={x|[x-(3kT)][X-(k+1)]>C},比较3k—1,k+1的大小, 因为(3k-1)-(k+1)=2(k-1), (1)当k>1时,3k—1>k+1,A={x|x>3k—1或x (3)当kv1时,3k—1Vk+1,A={x|x>k+1或x<3k+1}. B中的不等式不能分解因式,故考虑判断式A=4k2-4(k2+k)=-4k, (1)当k=0时,也<0,x迂R. (2)当k>0时,△<0,R. (3)当kv0时,也>0,X兰k-A■匚k或x^k+J^. 故: 当k>0时,由B=R,显然有A匸B, bk-1 当kV0时,为使ACB,需要{=k>—1,于是k>—1时,AGB. [k+1>k+ 综上所述,k的取值范围是: k>0或一1 m=3或m=—1时, R 4x—1V0 3..解: (1)当m2—2m—3=0,即 1若m=3,原不等式解集为 2若m=-1,原不等式化为 •••原不等式解集为{xIXV =,不合题设条件. (2)若m2—2m—3工0,依题意有 即 VmV3 4..解 R. …p= q=- ,•不等式qx2+px+1>0 即一 x+1>0 2 …X—X—6V0,…一2vXV3. 即不等式qx2+px+1>0的解集为{XI-2Vxv3}. 解得p=_275,q=2J2. 2 6.解: •••f(一1)=a—b+c,f (1)=a+b+c,f(0)=c, 11 aw"I—2fsr(f(™,cf fUHf(1芥 X2+x +f(—1苏 2 X-X +f(0审】1-X2 1 1 2 1 2 1 当0 =-x2+x+1—(x-1)2+5乞5 244 7.证明: 由题意可知f(x)-x=a(x-X1)(x—X2). 0 a a(x—x/x-X2)》0, 当X€(0,X1)时,f(X)AX. 又f(X)—捲=a(x—XjXx—X2)+X—Xj=(X—捲)(ax—ax2+1), X—XjcO,且ax—ax2+1〉1—ax2>0,/•f(x)cx1, 综上可知,所给问题获证 8.解: (1)条件说明抛物线得 2,-, f(x)=x+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(一1,0)和(1,2)内,画出示意图, f(0)=2m+1cO, «f(—1)=2〉0, *f (1)=4m+2c0,f (2)=6m+5>0 1 m<-— 2m亡R, 1 m< 2 5 m>- 6 51 一一 62 f(0)》0,f (1)>0, ⑵据抛物线与X轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组4, △>0, 0<—mC1 1 1 >--,(这里0<—m<1是因为对称轴x=—m应在区间(0,1)内通过) >1+『2或m<1-72, m 一1cmcO. 11.解: •••f(0)=1>0 (1)当mv0时,二次函数图象与X轴有两个交点且分别在y轴两侧,符合题意. a>0 (2)当m>0时,贝Ug—m解得0Vmw1 i——>0 Im 综上所述,m的取值范围是{m|m<1且0}. 12.证明: (1)PfCrP[P(話)2+qCrr] =pm[p;^q-r^pm[丁2-p2](m+1)2m+1m(m+1)2m+2 2m(m+2)—(m+1)2 =pm[爲m =pm2;,由于f(x)是二次函数,故pM0,又m>0,所以, (m+1)2(m+2) ⑵由题意,得f(0)=r,f (1)=p+q+r ①当pV0时,由 (1)知f()<0 m+1 若r>0,则f(0)>0,又f(^^)<0,所以f(x)=0在(0, m+1 —)内有解; m+1 若rw0,则f (1)=p+q+r=p+(m+1)=(——p—)+ m+2m 「亠厶0, m+2m 又f(^^)<0,所以f(x)=0在(^^,1)内有解.m+1m+1 ②当p<0时同理可证. 13..解: (1)设该厂的月获利为y, y=(160—2x)x—(500+30x)=—2x2+130x—500 由y》1300知一2x2+130x—500>1300 •••x2—65x+900w0,•••(x—20)(x—45)w0,解得20wxw45 •••当月产量在20~45件之间时,月获利不少于1300元. 2652 (2)由 (1)知y=—2X+130X—500=—2(x—刁)+1612.5 •••X为正整数,•••x=32或33时,y取得最大值为 •••当月产量为32件或33件时,可获得最大利润 1612元, 1612元. 2 15.解: 由题意f(x)-x=ax+(bj)x+c. 它的对称轴方程为x=b-1 -2a 由方程f(x)—x=0的两个根x1,x2满足Ocxj <丄,可得 a 0cxjC CX2<,且- -X1 -2a a -2a •b-1 b-1 1 b-1 -X1 =X2一< -2a -2a a -2a 即-- 而X0=- 4 a 2a X1 =x2 XoV—. b—1 -2a 16.解: 设g(x)=f(X)-X=ax 2 2+(b-1)x+1,贝Ug(x)=0的二根为 x1和x2. ]g (2) lg(4)>0 (1)由a>0及xj<2CX2<4,可得 [4a+2b-1CO[16a+4b-3AO' [b3 [3+3—-——<0,即;2a4a b3 -4一2”——+—<0, 2a4a 17.证明: (错误! 未找到引用源。 )因为f(0)>0,f (1)>0, 所以c>0,3a+2b+c>0. 由条件a+b+c=0,消去b,得a>caO; 由条件a+b+c=0,消去c,得 a+bcO,2a+b: >0. 故—2c—1. a l_l_ 所以方程f(x)=0在区间(0,-—)与(一一,1)内分别有一实根。 3a3a 故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根. 18.解析: 解本题主要是应用抛物线的几何特性(张口方向,对称轴,截距,与点(方程)的有关知识,即 兀轴交点个数)及函数零 (1)由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与X轴交点个数,立即可得: ano &<0疋0 O (2)由方程 2a IOB1=-GI。 卫1=1OBI 结论 19.解析: 关于方程根的讨论,结合二次函数图象与 X轴的交点位置的充要条件即可求: 即设方程两 A>0 吗+再》0=7<桝<9威桝>2亍 心乃>0 f A>0 K]+Xq<0n■於《1 、,矿花<0 A>0 +兀2〉2=桝2壬 (3)[(阳-1)9厂2)〉0 A>0 =>wfl>27 (可-2)(乜-2)<0 込>0 二>7<朋<9或25<叨<2了 码+兀2>0 兀1*X]>0 (孟1-2)(花-2)>0 h 即由nB八2Ek-\〈Q恒成立O对应抛物线恒在忑轴下方 pt-2<01 OUe-4(3k-2)(k-1) 2+4+1>0 恒成立O对应抛物线恒在兀轴上方 -—>0 12 的问题。 即 IA>0 圧+2m=>-罷 炉/? =4梆"-6 -旋<廉<忑,=心-15,-6-472 1[otP
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- 三个 二次 问题