514 用样本估计总体.docx
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514用样本估计总体
5.1.4 用样本估计总体
5.2 数学探究活动:
由编号样本估计总数及其模拟(略)
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征.
2.能用样本的分布估计总体的分布.
通过用样本估计总体,提升学生的数据分析、数学运算和逻辑推理素养.
必备知识·探新知
知识点
用样本估计总体
(1)前提
样本的容量恰当,抽样方法合理.
(2)必要性
①在容许一定误差存在的前提下,可以用样本估计总体,这样能节省人力和物力.
②有时候总体的数字特征不可能获得,只能用__样本__估计总体.
(3)误差
估计一般是有__误差__的.但是,大数定律可以保证,当样本的容量__越来越大__时,估计的误差很小的可能性将越来越大.
思考:
用样本估计总体出现误差的原因有哪些?
提示:
样本抽取的随机性;样本抽取的方法不合适,导致代表性差;样本容量偏少等.
知识点
用样本的数字特征来估计总体的数字特征
(1)一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出样本对应的__数字特征__即可.
(2)样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总体的数字特征.以分两层抽样的情况为例.
条件
假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为,方差为t2
结论
如果记样本的平均值为a,样本方差为b,则=,
b2=×
知识点
用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为π1,π2,…,πn,样本在第一组对应的频率记为p1,p2,…,pn,一般来说,(πi-pi)2不等于零.当样本的容量__越来越大__时,上式很小的可能性将越来越大.
关键能力·攻重难
题型探究
题型
用样本的特征数估计总体的特征数
角度1 简单随机抽样的数字特征
┃┃典例剖析__■
典例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据为
甲:
99 100 98 100 100 103
乙:
99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
[解析]
(1)甲=(99+100+98+100+100+103)=100,
乙=(99+100+102+99+100+100)=100.
s=[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,
s=[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,
又s>s,所以乙机床加工零件的质量更稳定.
规律方法:
(1)利用样本的原始数据求得的样本数字特征是准确值,可用以估计总体.
(2)此类问题需计算样本的平均值和方差来估计总体.
┃┃对点训练__■
1.为了快速了解某学校学生体重(单位:
kg)的大致情况,随机抽取了10名学生称重,得到的数据整理成茎叶图如图所示.估计这个学校学生体重的平均数和方差.
4
5 9 7 9 6 6
5
1 8 9
6
0
[解析] 将样本中的每一个数都减去50,可得
-5,-1,-3,-1,-4,-4,1,8,9,10,
这组数的平均数为=1,
方差为=30.4,
因此可估计这个学校学生体重的平均数为51,方差为30.4.
角度2 分层抽样的数字特征
┃┃典例剖析__■
典例2 在对树人中学高一年级学生身高(单位:
cm)的调查中,采用分层抽样的方法,抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62,你能由这些数据计算出样本的方差,并对高一年级全体学生身高的方差作出估计吗?
[解析] 把样本中男生的身高记为x1,x2,…,x23,其平均数记为,方差记为s;把样本中女生的身高记为y1,y2,…,y27,其平均数记为,方差记为s,把样本的平均数记为,方差记为s2.
则==165.2,
s2=
=
=51.486 2,
即样本的方差为51.486 2.
因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.486 2.
规律方法:
1.求分层随机抽样的平均数的步骤
(1)求样本中不同层的平均数;
(2)应用分层随机抽样的平均数公式进行求解.
2.求分层随机抽样的方差的步骤
(1)求样本中不同层的平均数;
(2)求样本中不同层的方差;
(3)应用分层随机抽样的方差公式进行求解.
┃┃对点训练__■
2.为了解某公司员工的身体情况,利用分层抽样的方法抽取了9名男员工的身高和体重数据,计算得到他们的体质指数的平均数为25.1,方差为6,抽取了5名女员工的身高和体重数据,计算得到她们的体质指数的平均数为20.3,方差为3.求样本平均数与方差.
[解析] 样本平均数=≈23.4,
方差s2=
≈10.2.
题型
用样本的分布估计总体的分布
┃┃典例剖析__■
典例3 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:
吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
[解析]
(1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.
(2)由
(1)可知,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
而前5组的频率之和为:
0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3,
由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,
所以x=2.9,
所以估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
规律方法:
(1)由于频率分布表、频率分布直方图丢失了样本的原始数据,以此求得数字特征都是样本数字特征的估计值.
(2)可用样本的分布估计总体的分布.
┃┃对点训练__■
3.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:
[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图所示的频率分布直方图:
(1)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(2)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
[解析]
(1)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×=20.
(2)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30.
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,
男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.
所以根据分层随机抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
[错解] 根据以上数据可得众数为1.75,中位数为=1.725,平均数为1.69.
[辨析] 所求数据要注意单位问题,另外中位数计算错误.
[正解] 在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75 m.表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70 m;这组数据的平均数是=(1.50×2+1.60×3+…+1.90×1)=≈1.69(m).
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m.
5.1.4 用样本估计总体
5.2 数学探究活动:
由编号样本估计总数及其模拟(略)
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.能用样本的数字特征估计总体的数字特征.
2.能用样本的分布估计总体的分布.
通过用样本估计总体,提升学生的数据分析、数学运算和逻辑推理素养.
必备知识·探新知
知识点
用样本估计总体
(1)前提
样本的容量恰当,抽样方法合理.
(2)必要性
①在容许一定误差存在的前提下,可以用样本估计总体,这样能节省人力和物力.
②有时候总体的数字特征不可能获得,只能用__样本__估计总体.
(3)误差
估计一般是有__误差__的.但是,大数定律可以保证,当样本的容量__越来越大__时,估计的误差很小的可能性将越来越大.
思考:
用样本估计总体出现误差的原因有哪些?
提示:
样本抽取的随机性;样本抽取的方法不合适,导致代表性差;样本容量偏少等.
知识点
用样本的数字特征来估计总体的数字特征
(1)一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出样本对应的__数字特征__即可.
(2)样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总体的数字特征.以分两层抽样的情况为例.
条件
假设第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为,方差为t2
结论
如果记样本的平均值为a,样本方差为b,则=,
b2=×
知识点
用样本的分布来估计总体的分布
如果总体在每一个分组的频率记为π1,π2,…,πn,样本在第一组对应的频率记为p1,p2,…,pn,一般来说,(πi-pi)2不等于零.当样本的容量__越来越大__时,上式很小的可能性将越来越大.
关键能力·攻重难
题型探究
题型
用样本的特征数估计总体的特征数
角度1 简单随机抽样的数字特征
┃┃典例剖析__■
典例1 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,各从中抽取6件测量,数据为
甲:
99 100 98 100 100 103
乙:
99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差;
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
[解析]
(1)甲=(99+100+98+100+100+103)=100,
乙=(99+100+102+99+100+100)=100.
s=[(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2]=,
s=[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2]=1.
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,
又s>s,所以乙机床加工零件的质量更稳定.
规律方法:
(1)利用样本的原始数据求得的样本数字特征是准确值,可用以估计总体.
(2)此类问题需计算样本的平均值和方差来估计总体.
┃┃对点训练__■
1.为了快速了解某学校学生体重(单位:
kg)的大致情况,随机抽取了10名学生称重,得到的数据整理成茎叶图如图所示.估计这个学校学生体重的平均数和方差.
4
5 9 7 9 6 6
5
1 8 9
6
0
[解析] 将样本中的每一个数都减去50,可得
-5,-1,-3,-1,-4,-4,1,8,9,10,
这组数的平均数为=1,
方差为=30.4,
因此可估计这个学校学生体重的平均数为51,方差为30.4.
角度2 分层抽样的数字特征
┃┃典例剖析__■
典例2 在对树人中学高一年级学生身高(单位:
cm)的调查中,采用分层抽样的方法,抽取了男生23人,其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人,其平均数和方差分别为160.6和38.62,你能由这些数据计算出样本的方差,并对高一年级全体学生身高的方差作出估计吗?
[解析] 把样本中男生的身高记为x1,x2,…,x23,其平均数记为,方差记为s;把样本中女生的身高记为y1,y2,…,y27,其平均数记为,方差记为s,把样本的平均数记为,方差记为s2.
则==165.2,
s2=
=
=51.486 2,
即样本的方差为51.486 2.
因此估计高一年级全体学生身高的方差为51.486 2.
规律方法:
1.求分层随机抽样的平均数的步骤
(1)求样本中不同层的平均数;
(2)应用分层随机抽样的平均数公式进行求解.
2.求分层随机抽样的方差的步骤
(1)求样本中不同层的平均数;
(2)求样本中不同层的方差;
(3)应用分层随机抽样的方差公式进行求解.
┃┃对点训练__■
2.为了解某公司员工的身体情况,利用分层抽样的方法抽取了9名男员工的身高和体重数据,计算得到他们的体质指数的平均数为25.1,方差为6,抽取了5名女员工的身高和体重数据,计算得到她们的体质指数的平均数为20.3,方差为3.求样本平均数与方差.
[解析] 样本平均数=≈23.4,
方差s2=
≈10.2.
题型
用样本的分布估计总体的分布
┃┃典例剖析__■
典例3 我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准x(吨),一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:
吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨),估计x的值,并说明理由.
[解析]
(1)由频率分布直方图知,月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04,
同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.
(2)由
(1)可知,100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率,可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12=36 000.
(3)因为前6组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,
而前5组的频率之和为:
0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3,
由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,
所以x=2.9,
所以估计月用水量标准为2.9吨时,85%的居民每月的用水量不超过标准.
规律方法:
(1)由于频率分布表、频率分布直方图丢失了样本的原始数据,以此求得数字特征都是样本数字特征的估计值.
(2)可用样本的分布估计总体的分布.
┃┃对点训练__■
3.某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:
[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图所示的频率分布直方图:
(1)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;
(2)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
[解析]
(1)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×=20.
(2)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×=30.
所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,
男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2.
所以根据分层随机抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例4 在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示:
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
人数
2
3
2
3
4
1
1
1
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数.
[错解] 根据以上数据可得众数为1.75,中位数为=1.725,平均数为1.69.
[辨析] 所求数据要注意单位问题,另外中位数计算错误.
[正解] 在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的众数是1.75 m.表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的,其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是1.70 m;这组数据的平均数是=(1.50×2+1.60×3+…+1.90×1)=≈1.69(m).
故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70 m,1.69 m.
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