第十二章 正交编码与伪随机序列.docx
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第十二章正交编码与伪随机序列
第十二章正交编码与伪随机序列
12-1、设3级线性反馈移位寄存器的特征方程为:
f(x)?
1?
x2?
x3,试验证它为本原多项式。
解:
由题意n=3,所以m?
2?
1?
7。
而xm?
1?
x7?
1?
(x3?
x2?
1)(x4?
x3?
x2?
1)
上式说明f(x)可整除x?
1,且f(x)既约,除不尽x6?
1,x5?
1,x4?
1所以f(x)为
本原多项式。
12-2、己知三级移位寄存器的原始状态为111,试写出两种m序列的输出序列。
解:
因为反馈移存器能产生m序列的充要条件为:
反馈移位寄存器的特征多项式为本原多项
式。
当n=3时,有2个3阶本原多项式:
7n
f1(x)?
x3?
x?
1,f2(x)?
x3?
x2?
1
f1(x)和f2(x)为互逆的本原多项式,都可以产生m序列。
根据第5题,由f1(x)?
x3?
x?
1产生的m序列为11101000,
同理,由f2(x)?
x3?
x2?
1产生的m序列为11100100。
12-3、设4级线性反馈移存器的特征方程为:
f(x)?
1?
x?
x?
x?
x,试证明此移位寄存器产生的不是m序列。
证明:
方法一:
由题意n=4,得m?
2?
1?
15。
因为
(x?
1)(x?
x?
x?
x?
1)?
x?
1
f(x)可整除x?
1,故f(x)不是本原多项式,它所产生的序列不是m序列。
方法二:
由特征多项式f(x)?
1?
x?
x?
x?
x构成的4级线性反馈移位寄存器如
图9-4所示。
假设初始状态为:
1111
状态转换位:
0111
1011
1101
1110
1111
可见输出序列的周期为6?
2?
1?
15,故不是m序列。
45n2344325234
图12-1
12-4、己知一个由9级移位寄存器所产生的m序列,写出在每一周期内所有可能的游程长度的个数。
解:
该m序列中共有2?
256个游程。
根据m序列游程分布的性质,长度为k的游程数目占游程总数的2?
k,1?
k?
(n?
1)。
而且在长度为k的游程中[其中1?
k?
(n?
2)],连“1”和连“0”的游程各占一半。
所以:
长度为1的游程有128个,“1”和“0"各为64个,
长度为2的游程有64个,“11”和“00”各为32个,
长度为3的游程有32个,“111”和“000”各为16个,
长度为4的游程有16个,“1111”和“0000”各为8个,
长度为5的游程有8个,“11111”和“00000”各为4个,
长度为6的游程有4个,“111111”和“000000”各为2个,
长度为7的游程有2个,“1111111”和“0000000”各为1个,
长度为8的游程有1个,即“00000000”,
长度为9的游程有1个,即“111111111”。
12-5、有一个9级线性反馈移存器所组成的m序列产生器,其第3、6和9级移存器的输出分别为Q3,Q6,Q9,试说明:
(1)将它们通过“或”门后得到一个新的序列,得到序列的周期仍为2?
1,并且“1”的符号出现率约为7/8。
(2)将它们通过“与”门后得到一个新的序列,得到序列的周期仍为2?
1,并且“1”的符号出现率约为1/8。
解:
设九级移存器所组成的序列为{ai},i?
1,?
29?
1,则其周期为T?
2?
1
则Q3,Q6,Q9的输出序列分别为{ai?
3},{ai?
6},{ai?
9}
(1)设它们通过“或”门后得到的新序列为{ai*},
则ai?
ai?
3?
ai?
6?
ai?
9
因为{ai}的周期为T,*9998
所以{ai?
3},{ai?
6},{ai?
9}的周期也为T,
所以ai*?
T?
ai?
3?
T?
ai?
6?
T?
ai?
9?
T?
ai?
3?
ai?
6?
ai?
9?
ai*
所以{ai*}的周期仍为T,
九级移存器的状态共有2?
1种,并且一个周期内各种状态出现1次,即等概率出现,所以{ai?
3},{ai?
6},{ai?
9}在一个周期内000,001,010,?
,111八种状态等概率出现,通过“或”门后,只有000输出为0,其余为1,所以为0的概率为1/8,为1的概率为7/8。
(2)同理,经过“与”门后,ai*?
ai?
3?
ai?
6?
ai?
9
所以{ai*}的周期仍为T,{ai?
3},{ai?
6},{ai?
9}通过“与”门后,只有111输出为1,其余为0,所以为1的概率为1/8,为0的概率为7/8。
12-6、写出p=7和p=11的二次剩余序列。
考点分析:
考察二次剩余式的概念和求解方法。
如果能找到一个整数x,它使x2?
1(modp)。
若方程成立,认为方程有解,满足此方程的i就是模p的二次剩余;否则i就是模p的非二次剩余。
当规定a0?
?
1时,有9
?
1,若i是模p的二次剩余ai?
?
?
?
1,若i是模p的非二次剩余
解:
(1)当p=7时,有
12?
1(mod7),22?
4(mod7),32?
2(mod7)
4?
2(mod7),5?
4(mod7),6?
1(mod7)222
所以1,2,4为模7的二次剩余,3,5,6为模7的非二次剩余。
因此得到p=7的
二次剩余序列:
-111-11-1-1
(2)当p=7时,有
12?
1(mod11),22?
4(mod11),32?
9(mod11),42?
5(mod11),52?
3(mod11)
6?
3(mod11),7?
5(mod11),8?
9(mod11),9?
4(mod11),10?
1(mod11)22222
所以1,3,4,5,9为模11的二次剩余,2,6,7,8,10为模11的非二次剩余。
因此得到p=11的二次剩余序列:
-11-1111-1-1-11-1。
12-7、试验证p=3和p=7的二次剩余序列为m序列。
解:
(1)p=3,二次剩余序列:
一+一,用二进制表示即101。
因为2?
1?
3,所以为两级
移存器。
由序列可看出状态转换为10?
01?
11,无重复,所以该序列为m序列。
2
(2)p=7,二次剩余序列:
一+十一+一一,即10010110因为2?
1?
7,所以为三级移
存器,由序列可看出状态转换为100?
001?
010?
101?
011?
111?
110,无重复,所以该序列为m序列。
12-8、若用一个由九级移存器产生的m序列进行测距,已知最远目标为1500km,求加于移存器的定时脉冲的最短周期为多少?
考点分析:
考察m序列的应用。
m序列进行测距的原理框图,如图12-2所示。
用一移位的m序列与被测量的经过传输路径时延的m后列相关。
当两个序列的相位相同时,得到的相关峰,有移位r,序列与原m序列的相位差可以求得时延。
这种方法的测量杆度是所用m序列的一个码元宽度。
3
图12-2
解:
本题中,传输的距离是1500?
2?
3000km
所以,传输m序列共需时间t?
3000?
10?
2s83?
10
t?
19.5?
10?
6s?
19.5us511定时脉冲的最短周期是在移位另外整个序列时才得到相关峰的情况下发生的。
此时,共9需移位2?
1?
511,故最短周期为T?
附录:
12-1、已知特征方程f1(x)?
1?
x2?
x3,f2(x)?
1?
x?
x3。
(1)构造两个m序列发生器;
(2)求这两个m序列发生器产生的m序列;
(3)验证这两个m序列的正交性。
解:
(1)特征方程f1(x)?
1?
x2?
x3,f2(x)?
1?
x?
x3所对应的m序列发生器分别如
图12-3(a)和(b)所示。
图12-3
(2)设初始状态为110,图12-3(a)所示的状态变换时序表如表12-1所示,输出的。
序列为1110010:
图12-3(b)所示的状态变换时序表如表12-2所示,输出的m序列为1110100。
表12-1表12-2
12-2、若多项式满足f(x)?
x3?
x?
1,试验证它为本原多项式?
解
(1)f(x)?
x3?
x?
1为既约的;
(2)由n=3,m=7,x7?
1?
(x3?
x?
1)(x3?
x2?
1)(x?
1),则能整除x?
1
(3)x6?
1?
(x?
1)2(x2?
x?
1)2,x5?
1?
(x?
1)(x4?
x3?
x2?
x?
1),x4?
1?
(x?
1)4,则不能整除则能整除x?
1。
故为本原多项式。
12-3、若特征多项式f(x)?
1?
x?
x3,试:
(1)验证它是本原多项式;
(2)由它构造一个m序列产生器;
(3)设初始状态为110,写出一个周期的时序表;
(4)写出一个周期的输出序列。
解:
(1)本原多项式需满足三个条件:
1)f(x)?
1?
x?
x为即约;
2)n?
3,p?
2?
1?
7n3qm
xp?
1x7?
1p32x?
1;f(x)又,说明能整除?
?
(x?
x?
1)(x?
1)3f(x)1?
x?
x
3)q?
6时,x?
1?
(x?
1)(x?
x?
1);
q?
5时,x?
1?
(x?
1)(x?
x?
x?
x?
1);
q?
4时,x?
1?
(x?
1);
p3说明f(x)不能整除x?
1,q?
p;于是得结论:
f(x)?
1?
x?
x是本原多项式。
4454326222
(2)m序列产生器如图12-4所示。
图12-4
(3)由上图得,a2'?
a2?
a0,a1'?
a2,a0'?
a1,于是得时序表如表12-3所示。
表12-3
(4)输出序列为11101000。
说明:
f(x)?
1?
x?
x对应的二进制码为1011,对应的八进制码为(13)8,其逆多项式f(x)?
1?
x?
x,对应的二进制码为1101,对应的八进制码为(15)8。
用逆多项式f'(x)作为特征多项式亦可产生m序列,它与f(x)产生的m序列互为逆
码。
12-4、已知m序列的本原多项式为f(x)?
x?
x?
1,试用移位寄存器构成m序列产生器,并写出该m序列。
解:
m序列是最长线性移位寄存器序列,是伪随机序列中最重要的序列中的一种,这种序列易于产生,有优良的自相关特性,在直扩系统中用于扩展要传送的信号,在调频系统中用来控制调频系统的频率合成器,组成随机调频图案。
m序列的本原多项式为f(x)?
x?
x?
1,所以用移位寄存器构成的m序列产生器如图12-5所示。
44233
图12-5
求该m序列用长除法,即按升幂排列(除法中的加减均为模二加)
a0a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16a17a18a19?
11110101100100011110?
从以上可以看出从a15开始重复原序列,故该序列的周期为15,正好为4级最长线性移位寄存器序列,即m序列,该序列为111101*********。
12-5、已知某线形反馈移存器序列发生器的特征多项式为f(x)?
x3?
x2?
1,请画出此序列发生器的结构图,写出它的输出序列(至少包括一个周期),并指出其周期是多少?
解:
此序列发生器的结构图如图12-6所示。
图12-6
输出序列为:
?
10111001011100?
周期为:
7
12-6、已知m序列的特征多项式为f(x)?
x4?
x?
1,写出此序列的一个周期中的所有游程。
解:
该m序列的周期为15,一个周期为100011110101100,共有8个游程:
100011110101100
其中长度为1的游程有4个,长度为2的游程有2个,长度为3的游程有1个,长度为4的游程有1个。
12-7、利用本原多项式f(x)?
x?
x?
1构成m序列,试:
(1)构造相应的移存器结构;
(2)求其一个周期内的游程分布。
解:
(1)移存器的结构如图12-7所示。
73
图12-7
(2)游程总数为2n?
2?
27?
1?
64个,具体分布如表12-4所示。
表12-4
12-8、若线性反馈移存器的特征多项式为f(x)?
xn?
xn?
1?
?
?
x?
1,n?
3;并设初始状态为全1,试:
(1)求n为奇数时的输出;
(2)求n为偶数时的输出;
(3)它能否产生m序列?
解:
(1)为便于分析,先以n=5为例讨论,即
f(x)?
x5?
x4?
x3?
x2?
x?
1
移存器的结构如图12-8(a)所示。
图12-8
由于a5?
a4?
a3?
a2?
a1?
a0
是奇数项相加,因此当a4?
a3?
a2?
a1?
a0?
1时,左端移人的a5?
1,其余
各位经移位后仍为1。
换句话说,此时移存器内将永远是全1,输出亦为全1。
由此可推论:
当n为奇数时,若移存器初始状态为全1,则输出为全1码。
(2)以n=6为例,有f(x)?
x?
x?
x?
x?
x?
x?
1,移存器结构如图9-9(b)所示。
由于a6?
a5?
a4?
a3?
a2?
a1?
是a偶数项相加,因此当
其余各位经移位后仍为1。
a5?
a4?
a3?
a2?
a1?
1a时,0?
左端移人的a6?
0,
在随后的节拍中,该“0”位将逐拍右移,而其余位为1.,整个过程如表10一3所示。
由表可见:
输出为1111101?
周期为7。
由此可推论:
当n为偶数时时,(最右端)输出为n个1后接1个0,周期为n+1。
65432
(3)它不能产生m序列,可从两方面说明。
首先,从
(1)、
(2)题知,当n为奇数时周期为1,当n为偶数时周期为n+1。
当n?
3时,必有n?
1?
2?
1,表明这种情况下能得到最大周期,因而不能产生m序列。
其次,从本原多项式条件看,由于n
f(x)?
x?
xnn?
1xn?
1
?
?
?
x?
1?
x?
1
p即f(x)能整除x?
1,从而不满足本原多项式第3个条件,因而不能产生m序列。
12-9、己知某线性反馈移位寄存器的特征多项式系数的八进制数表示为125,若移位寄存器的起始状态为全1。
(1)求输出序列;
(2)输出序列是否为m序列?
为什么?
解:
(1)(125)8?
(001010101),对应的特征多项式为
f(x)?
x6?
x4?
x2?
1
移位寄存器结构如图12-9所示。
图12-9
由图可见:
a6?
a4?
a2?
a0
因此,当移位寄存器初始状态为全1时,由上式所产生的a6?
1,移位后移位寄存器仍为全1,从而输出为全1序列。
(2)输出序列不是m序列,因为输出为全1序列,移位后移位寄存器仍为全1,周期为1。
而且f(x)不是本原多项式。
12-10、设计一个由3级移存器组成的扰码器和解扰器,已知本原多项式为f(x)?
x?
x?
1
(1)画出扰码器和解扰器方框图;
(2)设扰码器初始状态为全1,求取当输人信码为全1码时的扰码器输出;
(3)若以
(2)题扰码器输出作为解扰器输人,问:
解扰器移存器的初始状态作如何安排时,解扰器输出方为恢复信码?
解:
(1)扰码器和解扰器方框图如图12-10所示。
3
图12-10
(2)扰码器输出:
bk?
ak?
bk?
1?
bk?
3,如表12-5所示。
(3)解扰器输出:
ck?
bk?
bk?
1?
bk?
3,如表12-6所示。
由表可见,只要解扰器移存器
的初始状态亦取全1,即可恢复信码。
表12-5表12-6
12-11、采用m序列测距,已知时钟频率等于1MHz,最远目标距离为3000km,求m序列的长度(一周期的码片数)。
解:
m序列一个周期的时间长度即为可测量的最大时延值。
m序列收发端与最远目标的往返时间为3000km?
2/(3?
10km/s)?
0.02s,因此。
序列的周期应该大于20ms。
由于序列发生器的时钟频率为1MFz,所以m序列长度应大于0.02s?
1MHz?
2?
10
12-12、利用m序列的移位相加特性证明双极性m序列的周期性自相关函数为二值函数,且主副峰之比等于码长(周期)。
证明:
二序列的移位相加特性是说单极性m序列和它的移位相加后仍然是m序列,相加的结
果在一个周期内1比0多一个。
双极性m序列是把0、1表示的,序列映射为?
1表示,其中0映射为?
1,1映射为-l。
对于双极性m序列,一个周期内-1比十1多一个。
在45
这种映射下,模2加运算变成了乘法运算.如表12-7所示:
表12-7
因此m序列的移位相加特性对于双极性m序列表现为:
m序列和它的移位相乘后仍为
1p
m序列。
周期为p的双极性m序列的周期性自相关函数定义为R(j)?
?
bkbk?
j,pk?
1
其中b的下标按模p运算,即bk?
p?
bk。
当j和p为整倍数时,bk?
j?
bk,bkbk?
j?
1,因此R(j)?
R(0)?
1,这是自相关函数的主峰值;对于0?
j?
p,令ck?
bbkk
也是m序列,?
j,则m序列的移位相加特性表明序列{ck}?
bb
k?
1pkk?
j?
?
ck表示一个周期内求和,由于-1比+1多一个,所以k?
1p
?
c
k?
1pk?
?
1,从而得
?
1,jmodp?
0?
R(j)?
?
1?
else?
p?
这就证明了周期为p的双极性m序列的周期性自相关函数为二值函数,且主副峰之比等于码长(周期)。
12-13、写出长度为8的所有瑞得麦彻序列和沃尔什序列,并比较说明它们之间的关系。
解:
长度为8的瑞得麦彻序列有4个,如表12-8所示
表12-8
长度为8的沃尔什序列有8个,若以哈达马矩阵的行号为编号,则这8个码如表12-9所示:
表12-9
容易看到Walsh码的集合W包含了Rademache码的集合R。
Rademache码除去全0码字外,其余三个线性不相关。
另外由双极性Walsh码对乘法封闭这个特性可知单极性Walsh码对谈2加法封闭,由此可知W是一个线性空间,R是其一组基。
因此每个Walsh码一定可以表示为R的线性组合,即wi?
bG此外
?
00001111?
?
?
G?
?
00110011?
?
01010101?
?
?
i二进制向量b?
(b0bb12)和哈达马矩阵的行号的关系如表12-10所示:
表12-10
也就是说,b是i的自然二进制表示。
12-14、已知优选对m1,m2的特征多项式分别为f1(x)?
x?
x?
1,f2(x)?
x?
x?
1,写出由此优选对产生的所有Gold码,并求其中两个的周期互相关函数。
解:
特征多项式为f1(x)?
x3?
x?
1的m序列的一个周期为1110010;特征多项式为332
f2(x)?
x3?
x2?
1,写出由此生成的Gold码,并求其中两个的周期互相关函数。
G1:
1110100?
1110010?
0000110
G2:
1110100?
0111001?
1001101
G3:
1110110?
1011100?
0101000
G4:
1110110?
0101110?
1011010
G5:
1110110?
0010111?
1100011
G6:
1110110?
1001011?
0111111
G7:
1110110?
1100101?
0010001
再加上原有的两个m序列:
G8:
1110100G9:
1110010
一共有9个。
考虑G1,G2的互相关,这两个码的双极性形式为
g1:
1111?
1?
11
g2:
?
111?
1?
11?
1
其互相关函数为R12(k)?
?
g1(i)g2(i?
k)
i?
16k?
{0,1,2,?
6}
其中i?
k按mod7计算。
通过具体计算可得
?
?
1,k?
{0,1,3,5}?
R12(k)?
?
3,k?
2
?
?
5,k?
4?
12-15、设在一个纯ALOHA系统中,分组长度公=20ms,总业务到达率?
t?
10pkt/s,试求一个消息成功传输的概率。
解:
由题意,?
?
20ms,?
t?
10pkt/s,则系统的总业务量为
?
3P?
?
?
?
0.2t?
10?
20?
10
纯ALOHA系统吞吐量满足p?
Pe?
2P,一个消息成功传输的概率为Ps?
p?
e?
2P?
e?
2?
0.2?
e?
0.4?
0.67P
12-16、若上题中的系统改为S-ALOHA系统,试求这时消息成功传输的概率。
解:
S-ALOHA系统的吞吐量满足p?
Pe?
P,这时消息成功传输的概率为
Ps?
p?
e?
P?
e?
0.2?
0.82P
12-17、在上题的S-ALOHA系统中,试求一个消息分组传输时和另一个分组碰撞的概率。
解:
其概率为:
1?
Ps?
1?
0.82?
0.18。
12-18、设一个通信系统共有10个站,每个站的平均发送速率等于2分组/秒,每个分组包含1350b,系统的最大传输速率(容量)R=50kb/s,试计算此系统的归一化通过量。
解:
由题意,b=1350b,?
?
10?
2?
20pks/s,则归一化通过量为
p?
b?
/R?
1350?
20/50000?
0.54
12-19、试问在三种ALOHA系统(纯ALOHA,S-ALOHA和R-ALOHA)中,哪种ALOHA系统能满足上题的归一化通过量要求。
答:
R-ALOHA。
因为纯ALOHA与S-ALOHA的最大通过量分别为0.18和0.37。
12-20、在一个纯ALOHA系统中,信道容量为64kb/s,每个站平均每10s发送一个分组,即使前一分组尚未发出(因碰撞留在缓存器中),后一分组也照常产生。
每个分组包括3000b。
若各站发送的分组按泊松分布到达系统,试问该系统能容纳的最多站数。
解:
对于纯的ALOHA可用的带宽为:
0.18*64=11.52kb/s,
每个站需要的带宽为:
3000/10=300b/s=0.3kb/s.
故系统能容纳的最多站数为:
N=11.52/0.3=38.4?
38。
12-21、N个站共享一个56kb/s的纯ALOHA信道。
每个站平均每100s输出一个1000位的帧,即使前面的帧还没有被送出,它也这样进行(比如这些站可以将送出的帧缓存起来)。
请问N的最大值是多少?
解:
对于纯ALOHA,可用的带宽是:
0.18*56=10.08kb/s,
每个站需要的带宽为1000/100=10b/s,
故N=10080/10=1008。
所以,最多可以有1008个站,即N的最大值为1008。
12-22、一大群ALOHA用户每秒钟产生50个请求,包括原始的请求和重传的请求。
时隙单位为40ms。
试求:
(1)首次发送成功的概率是多少?
(2)恰好k次冲突之后发送成功的概率是多少?
(3)所需传送次数的期望值是多少?
解:
(1)在?
秒时间间隔内有K个新消息到达的概率服从泊松分布(?
?
)Ke?
?
?
P(K)?
K!
K=0表示在?
时间间隔内没有消息到达的概率,即P(0)?
e
由题意,?
?
40ms,?
t?
50,P?
?
?
t?
50*40*10?
2?
?
?
t?
e?
P。
?
2
对于纯ALOHA,发送一帧的冲突危险区为两个帧时,在两帧内无其他帧发送的概
率是:
e?
P?
e?
P?
e?
2P
对于时隙ALOHA,由于冲突危险区减小为原来的一半,任一帧时间内无其他帧发送的概率为e?
P。
因此,时隙ALOHA首次发送成功的概率为e?
2?
1/e2。
(2)k次冲突之后发送成功的概率为
(1?
e?
P)k?
e?
P?
(1?
e?
2)k?
e?
2?
0.135?
(1?
0.135)k?
0.135?
0.865k
(3)尝试k次才能发送成功的概率(即前k-1次冲突,第k次才成功)为
pk?
(1?
e?
P)k?
1?
e?
P
因此,每帧所需传送次数的数学期望为
E?
?
kp?
?
k(1?
ek
k?
1k?
1?
?
?
Pk?
1)?
e?
P?
eP?
e2?
7.4
12-23、一个纯ALOHA系统中共有3个站,系统的容量是64kb/s。
3个站的平均发送速率分别为:
7.5kb/s,l0kb/s和20kb/s。
每个分组长100b。
分组的到
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- 第十二章 正交编码与伪随机序列 第十二 正交 编码 随机 序列
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