第一章 解三角形章节总体设计.docx

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第一章解三角形章节总体设计

第一章解三角形章节总体设计

　　　　　　奎屯市第一高级中学　　人教A版数学教案◆必修5◆第一章解三角形　　王新敞　　第一章解三角形章节总体设计课标要求　　本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：

　　通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．　　能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题．　　编写意图与特色　　1．数学思想方法的重要性　　数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握．　　本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等．　　教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：

“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?

”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学．2．注意加强前后知识的联系　　加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．　　本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?

”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．　　《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简　　第1页　　奎屯市第一高级中学　　人教A版数学教案◆必修5◆第一章解三角形　　王新敞　　洁．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．　　在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”　　3．重视加强意识和数学实践能力　　学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题．教学内容及课时安排建议正弦定理和余弦定理应用举例实习作业评价建议　　1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题．在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明．如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法．在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．　　2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．　　　　　　第2页　　奎屯市第一高级中学　　人教A版数学教案◆必修5◆第一章解三角形　　王新敞　　课题:

§1．1．1正弦定理　　●教学目标知识与技能：

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．过程与方法：

让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作．　　情感态度与价值观：

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．●教学重点：

正弦定理的探索和证明及其基本应用．　　●教学难点：

已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．●教学过程Ⅰ.课题导入　　如图1．1-1，固定?

ABC的边CB及?

B，使边AC绕着顶点C转动．　　思考：

?

C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角?

C的大小的增大而增大．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

Ⅱ.讲授新课　　CA（图1．1-1）B[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如图1．1-2，在Rt?

ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有?

sinA，则　　acbc?

sinB，又sinC?

1?

ccAbcabcabc?

?

?

?

?

c，从而在直角三角形ABC中，　　sinAsinBsinCsinAsinBsinC思考：

那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

　　可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

　　如图1．1-3，当?

ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=asinB?

bsinA,则　　asinA?

BaC（图1．1-2）AbsinB，同理可得　　csinC?

bsinB，从而　　asinA?

bsinB?

csinC　　思考：

是否可以用其它方法证明这一等式？

于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题．　　：

过点A作j?

AC，向量的加法可得AB?

AC?

CB　　?

?

?

?

?

?

?

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?

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?

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?

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?

bCac?

?

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?

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?

?

?

?

B（图1．1-3）AbCa?

?

j则j?

AB?

j?

（AC?

CB）∴j?

AB?

j?

AC?

j?

CB　　　　?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

00jABcos?

90?

A?

?

0?

jCBcos?

90?

C?

　　c∴csinA?

asinC，即　　ac?

sinAsinCB?

?

?

?

?

同理，过点C作j?

BC，可得　　bcabc?

，从而　　?

?

sinBsinCsinAsinBsinC第3页　　奎屯市第一高级中学　　人教A版数学教案◆必修5◆第一章解三角形　　王新敞　　类似可推出，当?

ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．　　从上面的研探过程，可得以下定理　　正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理]　　正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?

ksinA，b?

ksinB，c?

ksinC；　　cbabacabc等价于，，?

?

?

?

?

sinCsinBsinAsinBsinAsinCsinAsinBsinCbsinA；sinBabc?

?

sinAsinBsinC从而知正弦定理的基本作用为：

　　①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinA?

asinB．b一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．[例题分析]　　例1．在?

ABC中，已知A?

，B?

，a?

，解三角形．解：

根据三角形内角和定理，C?

1800?

（A?

B）　　根据正弦定理，b?

?

?

（cm）；根据正弦定理，c?

?

?

（cm）.?

180?

（?

）?

；　　0000评述：

对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．　　例2．在?

ABC中，已知a?

20cm，b?

28cm，A?

400，解三角形．　　bsinA28sin4000解：

根据正弦定理，所以B?

640，sinB?

?

?

因为0＜B＜180，　　a200或B?

1160.　　asinC20sin76⑴当B?

64时，C?

180?

（A?

B）?

180?

（40?

64）?

76，c?

?

?

30（cm）.0sinAsin400000000asinC20sin24c?

?

?

13（cm）.⑵当B?

116时，C?

180?

（A?

B）?

180?

（40?

116）?

24，0sinAsin400000000评述：

应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形．Ⅲ.课堂练习第5页练习第1、2题．　　[补充练习]已知?

ABC中，sinA:

sinB:

sinC?

1:

2:

3，求a:

b:

c　　Ⅳ.课时小结定理的表示形式：

　　asinA?

bsinB?

csinC?

a?

b?

c?

k?

k?

0?

sinA?

sinB?

sinC；或a?

ksinA，b?

ksinB，　　c?

ksinC（k?

0）　　正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中　　一边对角，求另一边的对角．　　Ⅴ.课后作业第10页[习题]A组第1、2题．　　第4页　　奎屯市第一高级中学　　人教A版数学教案◆必修5◆第一章解三角形　　王新敞　　课题:

§余弦定理●教学目标　　知识与技能：

掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．　　过程与方法：

利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题　　情感态度与价值观：

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．●教学重点　　余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；●教学难点　　勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．●教学过程Ⅰ.课题导入　　如图1．1-4，在?

ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和?

C，求边cⅡ.讲授新课[探索研究]　　AbCa（图1．1-4）　　cB联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c．于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题．　　如图1．1-5，设CB?

a，CA?

b，AB?

c，那么c?

a?

b，则　　A　　　　bCac?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2?

?

?

?

?

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?

?

?

?

?

?

?

2?

2?

?

c?

c?

c?

?

a?

b?

?

a?

b?

?

a?

a?

b?

b?

2a?

b?

a?

b?

2a?

b从而c2?

a2?

b2?

2abcosC　　同理可证a2?

b2?

c2?

2bccosA，b2?

a2?

c2?

2accosB　　（图1．1-5）　　B于是得到以下定理　　余弦定理：

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即　　222222222a?

b?

c?

2bccosA，b?

a?

c?

2accosB，c?

a?

b?

2abcosC　　思考：

这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否三边求出一角？

　　从余弦定理，又可得到以下推论：

　　b?

c?

aa?

c?

bb?

a?

ccosA?

cosB?

cosC?

　　2bc2ac2ba，，　　222222222[理解定理]　　从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

　　①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；　　②已知三角形的三条边就可以求出其它角．　　思考：

勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

　　第5页

　　　　　　奎屯市第一高级中学　　人教A版数学教案◆必修5◆第一章解三角形　　王新敞　　若?

ABC中，C=900，则cosC?

0，这时c2?

a2?

b2此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．[例题分析]　　例1．在?

ABC中，已知a?

23，c?

6?

2，B?

600，求b及A⑴解：

∵b2?

a2?

c2?

2accosB　　=（23）2?

（6?

2）2?

2?

23?

（6?

2）cos450=12?

（6?

2）2?

43（3?

1）=8∴b?

22.　　求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

　　b?

c?

a（22）?

（6?

2）?

（23）1⑵解法一：

∵cosA?

?

?

　　2bc22?

22?

（6?

2）222222∴A?

600.　　解法二：

∵sinA?

sinB?

ab2322?

sin45,　　0又∵6?

2＞?

?

　　23＜2?

?

∴a＜c，即00＜A＜900,　　∴A?

600.　　评述：

解法二应注意确定A的取值范围．　　例2．在?

ABC中，已知a?

，b?

，c?

，解三角形　　解：

余弦定理的推论得：

　　b?

c?

?

?

?

?

2bc2?

?

?

A?

56020?

；　　2c?

a?

?

?

?

?

　　2ca2?

?

?

180?

（A?

B）?

180?

（5620?

?

3253?

）　　?

B?

32053?

；　　Ⅲ.课堂练习第8页练习第1、2题．　　[补充练习]在?

ABC中，若a2?

b2?

c2?

bc，求角AⅣ.课时小结　　余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：

①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边．Ⅴ.课后作业　　①课后阅读：

课本第9页[探究与发现]　　②课时作业：

第11页[习题]A组第3，4题．●板书设计●授后记　　第6页　　奎屯市第一高级中学　　人教A版数学教案◆必修5◆第一章解三角形　　王新敞　　课题:

§1．1．3解三角形的进一步讨论　　●教学目标　　知识与技能：

掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用．　　过程与方法：

通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．　　情感态度与价值观：

通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．●教学重点　　在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用．●教学难点　　正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．●教学过程Ⅰ.课题导入[创设情景]　　思考：

在?

ABC中，已知a?

22cm，b?

25cm，A?

1330，解三角形．　　　　从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．Ⅱ.讲授新课[探索研究]　　例1．在?

ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况分析：

先sinB?

bsinAasinC0可进一步求出B；则C?

180?

（A?

B）从而c?

aA1．当A为钝角或直角时，必须a?

b才能有且只有一解；否则无解．　　2．当A为锐角时，　　如果a≥b，那么只有一解；　　如果a?

b，那么可以分下面三种情况来讨论：

若a?

bsinA，则有两解；若a?

bsinA，则只有一解；若a?

bsinA，则无解．　　评述：

注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且　　bsinA?

a?

b时，有两解；其它情况时则只有一解或无解．　　[随堂练习1]　　在?

ABC中，已知a?

80，b?

100，?

A?

450，试判断此三角形的解的情况．在?

ABC中，若a?

1，c?

12，?

C?

400，则符合题意的b的值有_____个．　　在?

ABC中，a?

xcm，b?

2cm，?

B?

450，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围．　　有两解；0；2?

x?

22）　　第7页　　奎屯市第一高级中学　　人教A版数学教案◆必修5◆第一章解三角形　　王新敞　　例2．在?

ABC中，已知a?

7，b?

5，c?

3，判断?

ABC的类型．分析：

余弦定理可知　　a?

b?

c?

A是直角?

?

ABC是直角三角形222a?

b?

c?

A是钝角?

?

ABC是钝角三角形222a?

b?

c?

A是锐角?

?

ABC是锐角三角形222解：

?

72?

52?

32，即a2?

b2?

c2，∴?

ABC是钝角三角形．[随堂练习2]　　在?

ABC中，已知sinA:

sinB:

sinC?

1:

2:

3，判断?

ABC的类型．已知?

ABC满足条件acosA?

bcosB，判断?

ABC的类型．?

ABC是钝角三角形；?

ABC是等腰或直角三角形）例3．在?

ABC中，A?

600，b?

1，面积为分析：

可利用三角形面积定理S?

asinA?

1232，求　　12a?

b?

c的值　　sinA?

sinB?

sinC12absinC?

acsinB?

bcsinA以及正弦定理　　bsinB?

csinC?

a?

b?

c　　sinA?

sinB?

sinC32解：

S?

bcsinA?

21得c?

2，　　a?

b?

ca?

?

2　　sinA?

sinB?

sinCsinA则a2?

b2?

c2?

2bccosA=3，即a?

3，从而Ⅲ.课堂练习　　在?

ABC中，若a?

55，b?

16，且此三角形的面积S?

2203，求角C在?

ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积S?

600或1200；450）Ⅳ.课时小结　　在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；　　三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用．Ⅴ.课后作业　　在?

ABC中，已知b?

4，c?

10，B?

300，试判断此三角形的解的情况．设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围．在?

ABC中，A?

600，a?

1，b?

c?

2，判断?

ABC的形状．　　三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程5x2?

7x?

6?

0的根，求这个三角形的面积．●板书设计●授后记　　第8页　　a?

b?

c4222，求角C　　奎屯市第一高级中学　　人教A版数学教案◆必修5◆第一章解三角形　　王新敞　　课题:

§解三角形应用举例

（1）　　●教学目标知识与技能：

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语　　过程与方法：

首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫．其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：

激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力　　●重点:

实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解●难点:

根据题意建立数学模型，画出示意图●教学过程　　Ⅰ.课题导入　　1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？

2、[设置情境]　　请学生回答完后再提问：

前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？

”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？

我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离．　　Ⅱ.讲授新课　　解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解]　　例1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，求A、B两点的距离（精确到）?

BAC=51?

，?

ACB=75?

．启发提问1：

?

ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

　　启发提问2：

运用该定理解题还需要那些边和角呢？

请学生回答．　　分析：

这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边．解：

根据正弦定理，得　　ABsin?

ACB=　　55sin75?

ACsin?

ABC　　=55sin75?

≈（m）　　sin54?

AB=ACsin?

ACB=55sin?

ACB=　　sin?

ABCsin?

ABCsin（180?

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51?

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75?

）答:

A、B两点间的距离为米　　第9页　　奎屯市第一高级中学　　人教A版数学教案◆必修5◆第一章解三角形　　王新敞　　变式练习：

两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30?

，灯塔B在观察站C南偏东60?

，则A、B之间的距离为多少？

老师指导学生画图，建立数学模型．解略：

2akm　　例2.如图，A、B两点都在河的对岸，设计一种测量A、B两点间距离的方法．分析：

这是例