3.2函数模型及其应用.ppt
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函数模型及其应用函数模型及其应用1新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞了了解解指指数数函函数数、对对数数函函数数、幂幂函函数数、分分段段函函数数等等函函数数模模型型的的意意义义,并并能能建建立立简简单单的的数数学学模模型型,利利用用这这些知识解决应用问题些知识解决应用问题.2新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞1.拟拟定定从从甲甲地地到到乙乙地地通通话话m分分钟钟的的电电话话费费(单单位位:
元元)由由f(m)=1.06(0.50m+1)给给出出,其其中中m0,m是是大大于于或或等等于于m的的最最小小整整数数(如如4=4,2.7=3,3.8=4).若若从从甲甲地地到到乙乙地地的的一一次次通通话话时时间间为为5.5分分钟钟的的电电话费为话费为()CA.3.71元元B.3.97元元C.4.24元元D.4.77元元由题设知由题设知,f(5.5)=1.06(0.505.5+1)=1,06(0.56+1)=4.24.故选故选C.3新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞2.在某种新型材料的研制中在某种新型材料的研制中,实验人员获得了实验人员获得了如下一组数据:
如下一组数据:
现现准准备备用用下下列列四四个个函函数数中中的的一一个个近近似似地地表表示示这这些些数数据据的的规规律律,其其中中最最接接近近的的一一个个是是()xx1.991.9933445.15.16.126.12yy1.51.54.044.047.57.5121218.0118.01BA.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log2xD.y=()x将各组数据代入验证,选将各组数据代入验证,选B.4新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞3.某某电电信信公公司司推推出出两两种种手手机机收收费费方方式式:
A种种方方式式是是月月租租20元元,B种种方方式式是是月月租租0元元.一一个个月月的的本本地地网网内内打打出出电电话话时时间间(分分钟钟)与与打打出出电电话话费费s(元元)的的函函数数关关系系如如图图,当当打打出出电电话话150分分钟钟时时,这这两两种种方方式式的的电电话费相差(话费相差()AA.10元元B.20元元C.30元元D.元元5新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞两种话费相差为两种话费相差为y,根据几何关系可得根据几何关系可得y=y,=12,y=10,所以所以y=10.6新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞4.某某汽汽车车运运输输公公司司,购购买买了了一一批批豪豪华华大大客客车车投投入入客客运运,据据市市场场分分析析,每每辆辆客客车车营营运运的的总总利利润润y万万元元与与营营运运年年数数x(xN*)的的关关系系为为y=-x2+12x-25,则则为为使使其其营营运运年年平平均均利利润最大润最大,每辆客车营运年数为(每辆客车营运年数为()CA.2B.4C.5D.6平平均均利利润润=12-10=2,当当且且仅仅当当x=,即即x=5时时,等等号号成成立立,故故选选C.7新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞函函数数是是描描述述客客观观世世界界变变化化规规律律的的基基本本数数学学模模型型,不不同同的的变变化化规规律律需需要要用用不不同同的的函函数数模模型型来来描描述述.那那么么,面面临临一一个个实实际际问问题题,应应当当如如何何选选择择恰恰当当的的函函数数模模型型来来刻刻画画它它呢呢?
事事实实上上,要要顺顺利利地地建建立立函函数数模模型型,首首先先要要深深刻刻理理解解基基本本函函数数的的图图象象和和性性质质,熟熟练练掌掌握握基基本本函函数数和和常常用用函函数数的的特特点点,并并对对一一些些重重要要的的函函数数模模型型必必须须要要有有清清晰晰的的认认识识.一一般般而而言言,有有以下以下8种函数模型:
种函数模型:
8新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞一一次次函函数数模模型型:
f(x)=+b(k、b为为常常数数,k0);反反比比例例函函数数模模型型:
f(x)=+b(k、b为为常常数数,k0);二二次次函函数数模模型型:
f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为为常常数数,a0),二二次次函函数数模模型型是是高高中中阶阶段段应应用用最最为为广广泛泛的的模模型型,在在高高考考的的应应用用题题考考查查中中最最为为常见的常见的;指指数数型型函函数数模模型型:
f(x)=kax+b(k、a、b为为常常数,数,k0,a0且且a1);9新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞对对数数型型函函数数模模型型:
f(x)=mlogax+n(m、n、a为常数为常数,m0,a0且且a1);幂幂函函数数型型模模型型:
f(x)=axn+b(a、b、n为为常常数数,a0,n0);“勾勾”函函数数模模型型:
f(x)=x+(k为为常常数数,k0),这这种种函函数数模模型型应应用用十十分分广广泛泛,因因其其图图象象是是一一个个“勾勾号号”,故故我我们们把把它它称称之之为为“勾勾”函函数模型数模型,分分段段函函数数模模型型:
这这个个模模型型实实则则是是以以上上两两种种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.10新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞题型一题型一函数模型的选择函数模型的选择例例1扇扇形形的的周周长长为为c(c0),当当圆圆心心角角为为多多少弧度时,扇形面积最大?
少弧度时,扇形面积最大?
11新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞当当r=时,时,Smax=,此时此时|=2.所以当圆心角大小为所以当圆心角大小为2rad时,扇形面积最时,扇形面积最大,为大,为.(方法一方法一)因为因为c=l+2r,所以所以l=c-2r0,所以所以0r.面积面积S=lr=(c-2r)r=(-r)r(0r),12新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞当且仅当当且仅当=,即,即=2时,等号成立时,等号成立.所所以以当当圆圆心心角角大大小小为为2rad时时,扇扇形形面面积积最最大,为大,为.(方法二方法二)因为因为c=l+2r=r+2r,所以所以r=.所以所以S=r2=()2=.13新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞
(1)虽虽然然问问“为为多多少少时时”,但但若若以以为为自自变变量量,运运算算较较大大且且需需用用到到均均值值不不等等式式等等技技巧巧,而而方方法法一一以以半半径径为为自自变变量量,是是一一个个简简单单的的二二次次函函数数模模型型.同同样样,若若以以弧弧长长l为为自自变变量量,也也是是一一个个二二次次函函数数模模型型.所所以以在在构构造造函函数数过过程程中中,要要合合理理选选择择自自变量变量.14新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞
(2)一一般般的的,当当线线绕绕点点旋旋转转时时,常常以旋转角为变量以旋转角为变量.(3)合合理理选选择择是是画画图图象象还还是是分分离离参参数数解解决决不不等等式式组组成成立立问问题题.当当图图易易于于作作出出时时,常常用用图图象象解解决决;当当易易分分离离参参数数且且所所得得函函数数的的最最值值易易于于求求解解时时,可可用用分离参数法分离参数法.15新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞题型二题型二已知函数模型求参数值已知函数模型求参数值例例2如图如图,木桶木桶1的水按一定规律流入木桶的水按一定规律流入木桶2中,已知开始时木桶中,已知开始时木桶1中有中有a升水,木桶升水,木桶2是空的,是空的,t分钟后木桶分钟后木桶1中剩余的水符合指数中剩余的水符合指数衰减曲线衰减曲线y1=ae-mt(其中(其中m是常数,是常数,e是自然是自然对数的底数)对数的底数).假设在经过假设在经过5分钟时,木桶分钟时,木桶1和木桶和木桶2的水恰的水恰好相等好相等,求:
求:
16新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞
(1)因为木桶因为木桶2中的水是从木桶中的水是从木桶1中流出中流出的,而木桶的,而木桶1开始的水是开始的水是a,又满足又满足y1=ae-mt,所以所以y2=a-ae-mt.
(2)因为因为t=5时时,y1=y2,所以所以ae-5m=a-ae-5m,解得解得2e-5m=1m=ln2.所以所以y1=ae.当当y1=时时,有有=aet=15(分钟分钟).所以经过所以经过15分钟木桶分钟木桶1的水是的水是.
(1)木桶木桶2中的水中的水y2与时间与时间t的函数关系;的函数关系;
(2)经过多少分钟,木桶经过多少分钟,木桶1中的水是中的水是升升?
已知函数模型求参数值,关键是已知函数模型求参数值,关键是根据题设条件建立方程求解根据题设条件建立方程求解.17新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞题型三题型三给出函数模型的应用题给出函数模型的应用题例例3经经市市场场调调查查,某某城城市市的的一一种种小小商商品品在在过过去去的的近近20天天内内的的销销售售量量(件件)与与价价格格(元元)均均为为时时间间t(天天)的的函函数数,且且销销售售量量近近似似满满足足g(t)=80-2t(件件),价价格格近近似似满满足足f(t)=20-|t-10|(元)(元).
(1)试试写写出出该该种种商商品品的的日日销销售售额额y与与时时间间t(0t20)的函数表达式;的函数表达式;
(2)求该种商品的日销售额求该种商品的日销售额y的最大值与最小值的最大值与最小值.18新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞
(1)y=g(t)f(t)=(80-2t)(20-|t-10|)=(40-t)(40-|t-10|)=(30+t)(40-t)(0t10)(40-t)(50-t)(10t20).
(2)当当0t10时时,y的取值范围是的取值范围是1200,1225.在在t=5时时,y取得最大值为取得最大值为1225;当当10t20时时,y的取值范围是的取值范围是600,1200,在在t=20时,时,y取得最小值为取得最小值为600.答答:
第第5天天,日销售额日销售额y取得最大值为取得最大值为1225元元,第第20天天,y取得最小值取得最小值600元元.19新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞阅阅读读题题目目、理理解解题题意意是是解解决决应应用用题题的的前前提提.本本题题的的关关键键是是对对f(x)的的假假定定的的理理解解.选选择择数数学学模模型型和和方方法法解解决决实实际际应应用用问问题题是是核核心心步步骤骤,因因此此解解应应用用题题时时要要根根据据题题目目中中的的数数量量关关系系,选选择择适适当的数学模型和方法加以解决当的数学模型和方法加以解决.20新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞1.理理解解题题意意,找找出出数数量量关关系系是是解解应应用用题题的的前前提提,因因此此解解题题时时应应认认真阅读题目,深刻理解题意真阅读题目,深刻理解题意.2.建建立立数数学学模模型型,确确定定解解决决方方法法是是解解应应用用题题的的关关键键,因因此此解解题题时时要要认认真真梳梳理理题题目目中中的的数数量量关关系系,选选择适当的方法加以解决择适当的方法加以解决.21新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞3.函数的应用问题通常是以下几种函数的应用问题通常是以下几种类型:
可行性问题、最优解问题类型:
可行性问题、最优解问题(即最大即最大值或最小值问题,如费用最小,效益最值或最小值问题,如费用最小,效益最大等问题大等问题)、决策问题、决策问题.解题时要灵活运解题时要灵活运用函数的性质和数学方法用函数的性质和数学方法.4.应用题中的函数由于它具有实际应用题中的函数由于它具有实际意义,因此函数中的变量除要求使函数意义,因此函数中的变量除要求使函数本身有意义外,还要符合其实际意义本身有意义外,还要符合其实际意义.22新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞人教人教AA版高中数学版高中数学必修必修章节复习章节复习函数模型及其应用函数模型及其应用第一课时第一课时23新疆奎屯市第一高级中学特级教师王新敞人教人教AA版高中数学版高中数学必修必修章节复习章节复习孙小凯孙小凯(班级一学生班级一学生,刚好早晨迟到刚好
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