小学奥数几何燕尾模型.docx
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小学奥数几何燕尾模型.docx
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小学奥数几何燕尾模型
燕尾定理
目側怔例题精讲
燕尾定理:
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点0,那么,
S小bo:
S举co=BD:
DC
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴,所
以这个定理被称为燕尾定理•该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径
通过一道例题证明燕尾定理:
如右图,D是BC上任意一点,请你说明:
S1:
S4=S?
:
S^BD:
DC
【解析】三角形BED与三角形CED同高,分别以BD、DC为底,所以有S:
S4=BD:
DC;三角形ABE与三角形EBD同高,S!
:
S^^ED:
EA;
三角形ACE与三角形CED同高,S4:
Sa二ED:
EA,所以S二S2:
;
综上可得,S於4二S2二BD:
DC.
【例1】(2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形ABC的面积是1,E是AC的中点,点
BC上,且BD:
DC=1:
2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于
【解析】方法一:
连接CF,
根据燕尾定理,
abfBD1
acfDC2
Saabf
S\CBF
AE
EC
设SaBDF=1份,则SaDCF=2份,Saabf=3份,SAAEF-SAEFC=3份,如图所标
所以SdceF
55
Saabc二
1212
方法二:
连接DE,由题目条件可得到SaAbd4SaABC冷,
SaADE
SaADC
2
-Saabc
£,所以
BF
FE
SaABD_1
SaADE1
1
11小
1
1
1
SadefSadeb
Sabec
X-X
SAABC
2
23
~2
3
2
1
12
21
Saabc
而SaCDE
32
15
二-.所以则四边形DFEC的面积等于—.
312
【巩固】如图,已知
BD=DC,EC=2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积
【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值,其他条件给出的实际上是比例的关系,由此我们可以初步
判断这道题不应该通过面积公式求面积•又因为阴影部分是一个不规则四边形,所以我们需要对它
进行改造,那么我们需要连一条辅助线,
(法一)连接CF,因为BD=DC,EC=2AE,三角形ABC的面积是30,
、1
所以SaabeSaabc=10,Saabd
3
1c
Saabc=15.
2
根据燕尾定理,
SAABFAE
1
SAABF
BD-1
SACBFEC
2,
2ACF
CD
所以SaabfSaabc-7.5,Sabfd=15-7.5=7.5,
4
所以阴影部分面积是30T0-7.5=12.5.
(法二)连接DE,由题目条件可得到
1
SaABE=—SaABC=10,
3
_1_12
SabdeSabecSaabc
223
AF
=10,所以——
FD
SAABE
SABDE
111
SadefSadeaSaadc
223
111
飞12SAab-2.5,
21
而Sacde丄Saabc=10•所以阴影部分的面积为12.5.
32
【巩固】
如图,三角形ABC的面积是200cm2,E在AC上,点D在BC上,且AE:
EC=3:
5,BD:
DC=2:
3,
AD与BE交于点F•则四边形DFEC的面积等于.
E
F
BC
【解析】
连接CF,
D
SABF
BD
2
6
SABF
AE
3
6
SACF
_DC
~3
_9,
Sacbf
-EC
~5
_10
根据燕尾定理,
设SaABF=6份,则SAACF=9份,SABCF=10份,
【巩固】
【解析】
【巩固】
连接CO,设saaeo
分按从小到大各占
=1份,则其他部分的面积如图所示,所以
132_色
60‘30~10
12+45
△ABC面积的一,一一
3030
Sab^129*18=30份,所以四部
13.59
30
20
(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示,在
△ABC中,
CPJcB,
2
1
CQCA,BQ与AP相交于
3
点X,若
△ABC的面积为
6,则△ABX的面积等于
【解析】
B
由于CP*CB,
B
由蝴蝶定理知,
2
CA,所以SABQS
3一
21
AX:
XP=S|_ABQ:
S」BPQSABC:
SABC=4:
1,
3_6-
4122
SABCSABC6=2.4•
5255
1
CQ-
3
ABC,
丄1
SbpqSbcqS
2一6_
ABC•
所以Sabx寺一abp
S9
“45份,
3
SacdF=106份,
3+5
8
2+3
45452
所以Sdcfe=200亠(6910)(6)=8(6)=93(cm)
88
如图,已知BD=3DC,EC=2AE,BE与CD相交于点O,则厶ABC被分成的4部分面积各占△ABC面积的几分之几?
方法二:
连接CX设Sacpx=1份,根据燕尾定理标出其他部分面积,
所以S^abx=6t(1-.-1-「4-:
4)4=2.4
【巩固】
如图,三角形ABC的面积是1,BD=2DC,的面积各是多少?
CE=2AE,AD与BE相交于点F,请写出这
4部分
【解析】
【巩固】
【解析】
【巩固】
【解析】
连接CF,设S^aef
Saaef,Saabf
21
-1份,则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示,所以
62小8小242
217
-,S^bdf=8,Sfdce
217"
如图,E在AC上,D在BC上,
的面积等于22cm2,则三角形
连接CF,根据燕尾定理,
设bdf=1份,则
21
且AE:
EC=2:
3,BD:
DC=1:
2,AD与BE交于点F•四边形ABC的面积
SaabfBD
SaacfDC
saabf
Sacbf
AE
-EC
2
3,
DFEC
SAABF=2份
2
,SAAFC"份,SAA*4越
=1.6
=42.4份,如图所标,所以Sefdc=2-2.4=4.4份,S^ab^23^9份
23
所以Saabc=22‘4.49=45(cm2)
份,efc
三角形ABC中,C是直角,部分)的面积为多少?
连接BN•
已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,那么三角形AMN(阴影
△ABC的面积为32一:
一2=3
根据燕尾定理,△ACN:
^ABN二CD:
BD=2:
1;
同理△CBN^CAN二BM:
AM=1:
1
设厶AMN面积为1份,贝U△MNB的面积也是1份,所以△ANB的面积是「1=2份,而△ACN的面积就是22=4份,ACBN也是4份,这样△ABC的面积为4T=10份,所以△AMN的
面积为3"101=0.3•
【巩固】如图,长方形平方厘米?
ABCD的面积是2平方厘米,
EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少
【解析】
D
E
C
1
3
3
y
设Sadef=1份,则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影二-S^BCD
12
5平方厘米.
12
【例2】如图所示,在四边形ABCD中,
形BODC的面积为.
AB=3BE,AD=3AF,四边形AEOF的面积是12,那么平行四边
连接AO,BD,根据燕尾定理
【解析】
SAABO:
SABDO=AF:
FD-1:
2,SAAOD:
SABOD
二AE:
BE=2:
1,设Sabeo=1,
则其他图形面积,如图所标,所以Sbodc=2Saeof=212=24.
【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形,E、F分别是AB、BC边的中点,AF与CE交于G,则四边形AGCD的面积是平方厘米.
【解析】连接AC、GB,设Sag
=1份,根据燕尾定理得Saagb=1份,Sabgc=1份,则S正方形=(1+^1)2=6
份,Sadcg=3V=4份,所以Sadcg=122-、64=96(cm2)
【例4】如图,正方形ABCD的面积是120平方厘米,E是AB的中点,F是BC的中点,四边形BGHF的面积是平方厘米.
【解析】连接BH,根据沙漏模型得BG:
GD=1:
2,设S^bhc=1份,根据燕尾定理S^chd=2份,S/d=2份,
1277
因此Se方形(122)2=10份,Sbfhg,所以Sbfhg=120“1014(平方厘米).
2366
【例5】如图所示,在△ABC中,BE:
EC=:
3:
1,D是AE的中点,那么AF:
FC
【解析】
连接CD.
由于SaABD:
S^BED=1:
1,
Sabed:
SaBCD=3:
4,所以SaABD:
SaBCD
=3:
4,
根据燕尾定理,
AF:
FC
=S\ABD:
SabcD=3:
4.
【巩固】在「ABC中,BD:
DC^3:
2,
AE:
EC=3:
1,求OB:
OE二?
【解析】
连接oc.
因为BD:
DC=3:
2,根据燕尾定理,
S.Aob:
saoc=BD:
BC=3:
2,即Saob
Saoc;
4
又AE:
EC=3:
1,所以SaocS'AOE
血334
.则S'AOBSAOCSAOE=2SAOE,
223
所以OB:
OE=S.aob:
S.aoe~2:
1.
【巩固】在ABC中,BD:
DC=2:
1,AE:
EC=1:
3,求OB:
OE二?
【解析】题目求的是边的比值,一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值,也可以通过三角形的面积比来做桥梁,但题目没告诉我们边的长度,所以应该通过面积比而得到边长的比•本题的图形一看就联想到燕尾定理,但两个燕尾似乎少了一个,因此应该补全,所以第一步要连接OC.
连接oc.
A
因为BD:
DC—2:
1,根据燕尾定理,Saob:
Saoc二BD:
BC=2:
1,即Sao^—2Saoc;又AE:
EC=1:
3,所以S©OC=4S感OE-则SAOB=2S営OC=2X4S誉OE=8S总OE,所以OB:
OE=Saob:
SAOE=8:
1.
【例6】(2009年清华附中入学测试题)如图,四边形ABCD是矩形,E、F分别是AB、BC上的点,且
11
AEAB,CFBC,AF与CE相交于G,若矩形ABCD的面积为120,则AEG与CGF的34
【解析】
面积之和为.
(法1)如图,过F做CE的平行线交AB于H,贝UEH:
HB=CF:
FB=1:
3,
1所以AE=丄EB=2EH,
2
所以S「AEG=32SABF
33
且EG=2HF=--EC
334
所以两三角形面积之和为
AG:
GF=AE:
EH=2,即AG=2GF,
-3—SABCD=10.
942=
11
EC,故CG=GE,贝UScgf=1Saeg=5.
105=15.
Sbcg:
S.acg=BE:
AE=2:
1,
Sbcg2,Sabc」60=20,
3+2+13
【例7】如右图,三角形ABC中,
(法2)如上右图,连接AC、BG.
根据燕尾定理,SABG:
SAC^=BF:
CF=3:
1
1
而SABCSABCD=60,
2
31
所以SABG,SABC60=30,
3+2+12
11
则S.aegS.abg=10,S.cfgS.bcg=5,
所以两个三角形的面积之和为15.
BD:
DC=4:
9,CE:
EA=4:
3,求AF:
FB.
【解析】根据燕尾定理得Saaob:
Saaoc=BD:
CD=4:
9=12:
27
Saaob:
Saboc=AE:
CE=3:
4=12:
16
(都有△AOB的面积要统一,所以找最小公倍数)
所以Saaoc:
Saboc=27:
16二AF:
FB
【点评】本题关键是把aaob的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:
DC=3:
4,AE:
CE=5:
6,求AF:
FB.
【解析】根据燕尾定理得Saaob:
Saaoc二BD:
CD=3:
4=15:
20saaob:
saboc=AE:
CE=5:
6=15:
18
(都有aAOB的面积要统一,所以找最小公倍数)
所以saaoc:
saboc-20:
18=10:
9=AF:
FB
【巩固】如图,BD:
DC=2:
3,AE:
CE=5:
3,则AF:
BF=
【解析】根据燕尾定理有Saabg:
Saacg=2:
3=10:
15,Saabg:
Sabcg=5:
3=10:
6,所以
SAACG:
SABCG
=15:
6=5:
2二AF:
BF
【巩固】如右图,三角形ABC中,BD:
DC=2:
3,EA:
CE=5:
4,求AF:
FB.
【解析】根据燕尾定理得Saaob:
Saaoc二BD:
CD=2:
3=10:
15
Saaob:
Saboc二AE:
CE=5:
4=10:
8
(都有AAOB的面积要统一,所以找最小公倍数)
所以Saaoc:
Saboc—15:
8—AF:
FB
【点评】本题关键是把AAOB的面积统一,这种找最小公倍数的方法,在我们用比例解题中屡见不鲜,如果能掌握它的转化本质,我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量!
【例8】(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图,三角形ABC中,AF:
FB二BD:
DC二CE:
AE=3:
2,
且三角形ABC的面积是1,则三角形ABE的面积为,三角形AGE的面积为,三角
形GHI的面积为•
【分析】
连接AH、BI、CG•
C
2
由于CE:
AE=3:
2,所以AEAC,
5
故SABE=—S'ABC
根据燕尾定理,SACG:
SABG
二CD:
BD
-2:
3,SBCG:
SABG-CE:
EA=3:
2,所以
SACG:
SABG:
SBCG-4:
6:
9,
49
则sacg^,SB—亦;
2
那么SAGESAGC
同样分析可得S.ACH
4
x—
19
9
8;
95
19,
则EG:
EH=S^cg:
S:
ach=4:
9,EG:
EB=Sacg:
Sacb=4:
19,所以
EG:
GH:
HB=4:
5:
10,同样分析可得AG:
GI:
ID=10:
5:
4,
【巩固】
所以SBIE
-SBAE
10
521
——=一,Sghi=—SBIE-105519
51
—x
19519
如右图,三角形
ABC的面积.
ABC中,AF:
FB二BD:
DC二CE:
AE=3:
2,且三角形GHI的面积是1,求三角形
【解析】连接BG,S^AGC=6份
)如图,ABC中BD=2DA,CE=2EB,倍.
根据燕尾疋理,AGC:
S^BGC=AF:
FB=3:
2=6:
4,S4ABG:
S^AGC=BD:
DC=3:
2=9:
6
得S^BGC=4(份),S^ABG=9(份),则S^ABci9(份),因此]心6
S\ABC19
同理连接AI、
CH得比ABH
_6
S^BIC
_6
S^ABC
19
S^ABC
19
19—6—6—6
1
所以=
:
=
—
S^ABC
19
19
三角形GHI的面积是
1,所以三角形ABC的面积是19
【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级
AF=2FC,那么MBC的面积是阴影三角形面积的
G
F
H
I
【分析】如图,连接Al•
根据燕尾定理,bci:
Saci=BD:
AD=2:
1,Sbci:
Sabi=CF:
AF=〔:
2,
所以,SACI:
SBCI:
SABI=1:
2:
4,
22
那么,SBCISABCSABC•
疔1+2+4空7
同理可知「ACG和ABH的面积也都等于AABC面积的-,所以阴影三角形的面积等于ABC面积
7
21
的13=丄,所以ABC的面积是阴影三角形面积的7倍.
77
【巩固】如图在△ABC中,
DCEAFB
DBECFA
丄/GT的面积
2、△ABC的面积
【解析】连接BG,设Sabgc=1份,根据燕尾定理Saagc:
S^bgc=AF:
FB=2:
1,abg:
agc=BD:
DC=2:
1,
得Saagc=2(份),Saabg=4(份)则S^abc=7(份),因此
&AGC
SAABC
=-,同理连接Al、CH得
7
Saghi
SaABC
7—2—2—2
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的,那么在同样的位置上的图形,虽然形状千变万化,但面积是相等的,这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的,即再重复一次解题思路,因此我们有对称法作辅助线•
【巩固】如图在△ABC中,
的值.
DC=1,求厶gh|的面积
DBECFA3△ABC的面积
【解析】连接BG,设Sabgc=1份,根据燕尾定理Saagc:
Sabgc=AF:
FB=3:
1,Saabg:
Saagc=BD:
DC=3:
1,
S3
=9(份),则&ABC=13(份),因此丄竺一,同理连接AI、CH得
SAABC13
得Saagc二3(份),SAabg
SaabhSabic3
13,,
SAABCSAABC13
所以Saghi13—3-3—3
SaABC
13
4
~13
【巩固】如右图,的面积.
三角形
ABC中,AF:
FB=BD:
DC=CE:
AE=4:
3,且三角形ABC的面积是74,求角形GHI
E
H
H
F
F
I
I
G
B
B
C
C
D
D
根据燕尾定理
12
37
12
37
37—12—12—12
1
37
37
2
【例
两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形
如图所示
三个三角形的面积
则阴影四边形的面积是多少?
A
A
E
E
7
7
7
B
B
7
C
C
BD:
DC=4:
3=16:
12
37SABC
同理连接AI
AF:
FB=4:
3=12:
9
F7
【解析】连接BG
12BIC
D3
分另是3,7,7
S^AGC-12份
S^abg=16(份)
三角形ABC的面积是74,所以三角形GHI的面积是74古
得SABGC-9(份)
则S^ABC=9•12•16=37(份)
因此'AGC
SaABC
S^ABG:
SAAGC
SAAGC:
SABGC
CH得△愛
Saabc
所以4
Saabc
xx+3
A
【解析】方法一:
遇到没有标注字母的图形,我们第一步要做的就是给图形各点标注字母,方便后面的计算
E
D
3F7
再看这道题,出现两个面积相等且共底的三角形.
设三角形为ABC,BE和CD交于F,贝UBF=FE,再连结DE.
所以三角形DEF的面积为3•设三角形ADE的面积为x,
则x:
3,3i=AD:
DB=Ix'10:
10,所以x=15,四边形的面积为18•方法~:
设SAADF=X,根据燕尾定理SAABF:
SABFC=SAAFE:
SAEFC,得到SAAEF=x3,再根据向右下
飞的燕子,有(x"3"7):
7二x:
3,解得x二7.5四边形的面积为7.5-7.5"3二18
【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形,其中4个的面积已经标在图中,那么,阴影三角形的面积
是.
【解析】方法一:
整个题目读完,我们没有发现任何与边长相关的条件,也没有任何与高或者垂直有关系的
•我们发现右图三角形中存在一个
字眼,由此,我们可以推断,这道题不能依靠三角形面积公式求解比例关系:
2:
S阴影二13:
4,解得S阴影二2.
方法二:
回顾下燕尾定理,有2:
(S阴影-4)1:
3,解得Sw=2.
【例10】如图,
少?
三角形ABC被分成6个三角形,已知其中4个三角形的面积,问三角形ABC的面积是多
【解析】设bof二x,由题意知BD:
DC=4:
3根据燕尾定理,得
33
SAABO:
SAACO-SABDO:
SACDO=4:
3,所以Sa
44
3
再根据SaABO:
SABCO=SAAOE:
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