电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案.docx

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电子科技大学随机信号分析CH2习题及答案

2.1

2.2

2.3掷一枚硬币定义一个随机过程：

cost出现正面

X（t）

2t出现反面

设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。

试求：

（1）X（t）的一维分布函数FX（x,12），

FX（x,1）；

（2）X（t）的二维分布函数FX（x1,x2;12,1）；（3）画出上述分布函数的图形。

2.3解：

一维分布为:

FX（x;0.5）0.5ux0.5ux1

FX（x;1）0.5ux10.5ux2

X（0.5）0,X

（1）1,依概率0.5发生

X（0.5）1,X

（1）2,依概率0.5发生二维分布函数为

F（x1,x2;0.5,1）0.5ux1,x210.5ux11,x22

2.4假定二进制数据序列{B（n）,n=1,2,3,,.}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B（n），并有概率P[B（n）=0]=0.2和P[B（n）=1]=0.8。

试问，

（1）连续4位构成的串为{1011}的概率是

多少？

（2）连续4位构成的串的平均串是什么？

（3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？

（4）该序列是可预测的吗？

如果见到10111后，下一位可能是什么？

2.4解：

解：

（1）

P1011

PBn1PBn10PBn21PBn31

0.80.20.80.80.1024

2）设连续4位数据构成的串为B（n），

B（n+1），B（n+2），B（n+3），n=1,2,3,⋯.其中B（n）为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。

所以有：

3

k

串（4bit数据）为：

X（n）2kB（nk），

k0

其矩特性为：

因为随机变量B（n）的矩为：

均值：

E[B（n）]00.210.80.8

020.2120.80.82

2

0.80.820.16

所以随机变量X（n）的矩为：

均值：

2kB（nk）

3

E[X（n）]E

k0

33

2kEB（nk）2k0.812

k0k0

方差：

3k

D[X（n）]D2kB（nk）

k0

323

2k2DB（nk）4k0.1613.6

k0k0

如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为：

串平均：

Bn,Bn1,Bn2,Bn30.8,0.8,0.8,0.8

串方差：

VarBn,Bn1,Bn2,Bn3

0.16,0.16,0.16,0.16

3）概率达到最大的串为1,1,1,1

4）该序列是不可预测的,因为此数据序列各个数据之间相互独立，下一位数据是0或1，与前面的序列没有任何关系。

所以如果见到10111后，下一位仍为0或1，而且仍然有概率

P[B（n）=0]=0.2和P[B（n）=1]=0.

2.5正弦随机信号{X（t,s）=Acos（200πt）,t>0},其中振幅随机变量A取值为1和0，概率分别为0.1和0.9，试问，

（1）一维概率分布F（x,5）；

（2）二维概率分布F（x,y,0,0.0025）；（3）开启该设备后最可能见到什么样的信号？

（4）如果开启后t=1时刻测得输出电压为1伏特，问t=2时刻可能的输出电压是什么？

概率多少？

它是可预测的随机信号

吗？

解：

（1）X（t）Acos2005X（5）A

Fx;50.1ux10.9ux

（2）

X（0）1,X（0.0025）0,依概率0.1发生X（0）0,X（0.0025）0,依概率0.9发生

Fx,y;0,0.00250.1ux1，y0.9ux,y（3）因为PA00.9，所以开启该设备后90%的情况会见到无电压（A=0）。

（4）t=1时刻，有

Xt,sAcos2001A1，可得A=1；t=2时刻，有

Xt,sAcos2002A1；因为在A=1的前提下，t=2时刻输出电压为确定值1，所以PX21X111。

它是可预测的随机信号。

解题关键：

理解本随机信号中只有一个随机变量A，而它的值只在初始时是不确定的，

一旦A的值确定了，信号变成了确定信号

2.6若正弦信号X（t）Acos（t），其中振幅A与频率取常数，相位是一个随机变量，它均匀分布于,间，即

1,f（）2

0其他

求在t时刻信号X（t）的概率密度fXt（x）解：

注意到X（t）

因此，

2.7设质点运动的位置如直线过程X（t）VtX0，其中VN（1,1）与X0N（0,2），并彼此独立。

试问：

（1）t时刻随机变量的一维概率密度函数、均值与方差？

（2）它是可预测的随机信号吗？

2.7解：

（1）独立高斯分布的线性组合依然是高斯分布

E[X（t）]E[VtX0]tE[V]E[X0]t

22

D[X（t）]D[VtX0]t2D[V]D[X0]t22所以它的一维概率密度函数

1（xt）2

为:

fX（x）2（1t22）exp{2（（xt2t）2）}

（2）此信号是可预测随机信号

2.8假定（-1,+1）的伯努利序列

In,n1,2,...的取值具有等概特性。

试问：

（1）它的一维概率密度函数、均值与协方差函数？

（2）它是可预测的随机信号吗？

2.8解：

（1）fI（i）0.5（i1）0.5（i1）

E[In]0.5（11）0

C（n1,n2）R（n1,n2）EIn1In2

E[In1]E[In2]0n1n2

2,

E[In21]1n1n2

（2）该随机信号不可预测

2.9

2.10给定随机过程X（t）和常数a，试以X（t）的自相关函数来表示差信号Y（t）X（ta）X（t）的自相关函数。

2.10解：

由题意可得：

RY（t1,t2）

E[Y（t1）Y（t2）]

EX（t1a）X（t1）X（t2a）X（t2）

EX（t1a）X（t2a）EX（t1a）X（t2）

EX（t1）X（t2a）EX（t1）X（t2）

RX（t1a,t2a）RX（t1a,t2）RX（t1,t2a）RX（t1,t2）

2.11两个随机信号X（t）=Asin（ωt+Θ）与Y（t）=Bcos（ωt+Θ），其中A与B为未知分布随机变量，Θ为0～2π均匀分布随机变量，

A、B与Θ两两统计独立，ω为常数，试问，

（1）两个随机信号的互相关函数RXY（t1,t2）；

（2）讨论两个随机信号的正交性、互不相关（无关）性与统计独立性；解：

（1）

XtAsintEAsint0

YtBcost0，

RXYt1,t2CXYt1,t2Xt1Yt2

Asint1Bcost2

1

ABsint1t2sint1t22

1

ABsint1t2sint1t22

1

ABsint1t2

2）①如果E[A]或E[B]为0，则

RXYt1,t2CXYt1,t20，随机信号X（t）与Y（t）正交且互不相关；

②如果E[A]与E[B]均不为0，则

RXYt1,t2CXYt1,t20，X（t）与Y（t）不正交，

相关；

③因为随机信号X（t）与Y（t）中都有随机变量Θ，所以X（t）与Y（t）一般不会相互独立。

22

Xt2Yt2AB

2.12

2.13假定正弦电压信号X（t）Acost，其中，A服从均匀分布U（1,1），服从均匀分布U（,），它们彼此独立。

如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。

题2.13解：

由电路原理的相关知识可知：

X（t）Acost

E[i2t]

2.14

2.15零均值高斯信号X（t）的自相关函数为RX（t1,t2）0.5et1t2，求X（t）的一维和二维概率密度。

解：

（1）因为mX（t），0

RX（t1,t2）CX（t1,t2）0.5et1t2

DX（t）CX（0）RX（0）

所以一维概率密度函数为：

expx

（2）高斯信号X（t）的二维概率密度函数

为：

X（t1）0

Xμ

C

X（t2）0

0.5

0.5exp

t1t2

0.5exp

t1t2

0.5

C（t1,t1）C（t1,t2）

C（t2,t1）C（t2,t2）

（t1,t2）expt1t2，则

fXx1,x2;t1,t2

2.16

2.17

2.18某高斯信号的均值mX（t）2，协方差CX（t1,t2）8cos（t1t2），写出当t10、t20.5和t31时的三维概率密度。

解：

由定义得：

C（t1,t1）C（t1,t2）C（t1,t3）

CC（t2,t1）C（t2,t2）C（t2,t3）

C（t3,t1）C（t3,t2）C（t3,t3）

C（0,0）C（0,0.5）C（0,1）

C（0.5,0）C（0.5,0.5）C（0.5,1）

C（1,0）C（1,0.5）C（1,1）

又因为

C（0,0）C（0.5,0.5）C（1,1）8cos（0）8

C（0,0.5）C（0.5,1）C（0.5,0）C（1,0.5）8cos（0.5）

X（t1）

t1

2

X

X（t2）

t

t2

μ

2

X（t3）

t3

2

8

8cos（1/2）8cos1

88cos（1/2）

8cos（1/2）8

C

8cos（1/2）

8cos1

则

1

fXx,t3/2

xμC1xμ

1/2exp

2C2

2.19设随机变量X,Y~Nμ,C，其中

23

μ22，C35，求X,Y的概率密度和特征函数XYu,v。

题2.19

解：

因为E（X）2与E（Y）2，DX2,DY5，

Cov（X,Y）33

DXDY2510。

于是，（X,Y）~N2,2;2,5;3/10。

则

（X，Y）的概率密度函数为

11x23x2y2y2fXYx,yexp

XY25255

其特征函数为：

XYu,vexpjmxu

12222myv1u212uv2v

XYu,v

exp2juv2u26uv5v2