河南省焦作市普通高中学年高二上学期期中考试数学文试题.docx
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河南省焦作市普通高中学年高二上学期期中考试数学文试题
2
2018-2019学年河南省焦作市普通高中高二(上)期
中数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知集合A={0,2},B={0,2,-2},则A∪B=()
A.
0,
B.
0,2,
C.
D.
2.
以(-1,0)为圆心,且和y轴相切的圆的方程是()
3.
A.B.
D.
已知平面向量=(2,m),=(-1,1),若(2
C.
)∥,则实数m的值是()
A.
3
B.C.
2
D.
4.
已知等差数列{a
n
A.2
}的前n项之和为S,若a=-4,S=-7,则a=()
n127
B.4C.6D.8
5.
点(a,b)为直线y=-4x+8的第一象限上的一点,则ab的最大值为()
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
6.
如图所示是一个几何体的三视图,则该几何体的体积等于()
A.
B.
C.
D.
48
32
24
16
7.
已知f(x)=
,则f
(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值之和等于()
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
8.
在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若a=1,b=1,c=,则∠A,∠B,∠C的度数之比为()
A.
1:
1:
5
B.
1:
1:
4
C.
1:
1:
3
D.
1:
1:
2
9.
在递增的等比数列{a}中,前3项之和等于7,若a,a,a-1成等差数列,则{a}
n123n
的公比等于()
A.
2或4
B.
4或
C.
2或
D.
2
10.若关于x的不等式-x+ax-4≥0的解集中只有一个元素并且该元素是正数,则实数a的值为()
A.
4
B.C.
4或
D.
0
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的一个最高点为(,),且与该最高点相邻的一个零点为,则f(x)的解析式为()
n
n
n
2018
2
2
A.
C.
B.
D.
12.已知数列{a}的前n项之和为S(n∈N*),且a=ntan,则S=()
A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.在△ABC中,边AB,BC的长为方程x-3x+1=0的两个根,且cosB=,则AC=______.14.如图,向边长为1的正方形内随机投掷一点P,则点P落在阴影
区域内的概率是______.
15.已知实数x,y满足不等式组,则目标函数z=2x-3y的取值范围是______.
16.在锐
ABC中,tanB+tanC=2tanBtanC,则tanAtanBtanC的最小值为______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.已知S
n
为数列{a}的前n项之和,且S=n+3n.
nn
(Ⅰ)求{a}的通项公式;n
(Ⅱ)求{}的前n项和T.
n
18.某企业近五年里每年的单件产品平均研发费用x(元)与销售单价增加值y(元)之间的对应关系如表:
x
y
2.4
14
2.8
19
3.2
24
3.6
29
4.0
34
已知x,y之间线性相关.
(Ⅰ)求x,y之间的线性回归方程;
(Ⅱ)当年单件产品平均研发费用为6元时,试估计销售单价增加值.附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
b=
,a=
.
2
222
19.已知向量=(sinx,cosx),
=(cosx,cosx),f(x)=
.
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)
ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(A)=1,a=1,
ABC面积的最大值.
20.已知关于x的不等式x-(2a+b)x+2a≤0的解集是{x|1≤x≤2},函数f(x)=(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求证:
f(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增.
.
21.设等差数列{b}的前n项和为S,已知b=4,S=30.
nn25
(Ⅰ)求{b}的通项公式;
n
(Ⅱ)设a=bcosnπ,求数列{a}的前30项和T.nnn30
22.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a,b,c成等差数列
ABC的周长为15,且c=a+b+ab.
(Ⅰ)
ABC的面积;
(Ⅱ)设G为△ABC的重心,求CG的长.
22
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解:
∵集合A={0,2},B={0,2,-2},
∴A∪B={-2,0,2}.
故选:
A.
利用并集定义直接求解.
本题考查并集的求法,考查集合的并集运算等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2.【答案】B
【解析】
解:
以(-1,0)为圆心,且和y轴相切的圆的半径为1,
故它的方程为(x+1)+y=1,
故选:
B.
先确定半径,再根据圆心坐标可得它的标准方程.
本题主要考查求圆的标准方程,关键是确定圆心坐标和半径,属于基础题.3.【答案】D
【解析】
解:
;
∵
∴3+2m+1=0;
∴m=-2.故选:
D.
;
先求出,根据
即可得出3+2m+1=0,解出m即可.
考查向量坐标的概念,向量平行时的坐标关系.4.【答案】A
【解析】
解:
设等差数列{a}的公差为d,
n
∵a=-4,S=-7,
12
∴-4×2+d=-7,解得d=1.
7
则a=-4+6=2.
故选:
A.
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
5.【答案】C
【解析】
解:
依题意得:
4a+b=8,(a>0,b>0),
8=4a+b≥2
,∴ab≤4,当且仅当4a=b=4,即a=1,b=4时取等),
故选:
C.
点代入直线后得4a+b=8,再利用基本不等式可得.
本题考查了基本不等式及其应用,属基础题.
6.【答案】D
【解析】
解:
由已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,
棱锥的底面积S=4×4=16,
棱锥的高h=3,
故棱锥的体积V=Sh=16,
故选:
D.
由已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,求出棱锥的底面面积和高,代入棱锥体积公式,可得答.
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,其中分析出几何体的形状是解答的关键.
22
2
7.【答案】C【解析】
解:
f(x)=
==1+
,
设g(x)=
,可得g(x)在[-1,1]为奇函数,
则g(x)的最大值和最小值之和为0,
可得f(x)的最大值和最小值的和为2.故选:
C.
由题意可得f(x)=1+
,设g(x)=
,判断g(x)在[-1,1]为奇函数,g(x)
的最值之和为0,即可得到所求f(x)的最值之和.
本题考查函数的最值求法,注意运用构造函数和奇函数的性质,考查运算能力,属于基础题.
8.【答案】B
【解析】
解:
由余弦定理得cosC===-,
∴C=120°,A=B=30°,
∴∠A:
∠B:
∠C=30°:
30°:
120°=1:
1:
4.
故选:
B.
ABC中,运用余弦定理:
cosC=
,代入计算即可.
此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.9.【答案】D
【解析】
解:
设公比为q,
由前3项之和等于7,可得a+a+a=7,
123
由a,a,a-1成等差数列,可得2a=a+a-1,
123213
则2a+1+a=7,
解得a=2,
2
则+2+2q=7,
即2q-5q+2=0,
2
2
2
2
2
2
解得q=(舍去),q=2,
故选:
D.
设公比为q,根据求和公式和等差数列的性质先求出a=2,则可得+2+2q=7,解得即可
本题考查等比数列的通项公式和求和公式,以及等差数列的性质,属基础题.
10.【答案】A
【解析】
解:
根据题意,不等式-x+ax-4≥0的解集中只有一个元素并且该元素是正数,必
=a-16=0,解可得a=±4,
当a=4时,不等式-x+ax-4≥0的解集为{2},符合题意;
当a=-4时,不等式-x+ax-4≥0的解集为{-2},不符合题意;
故a=4,
故选:
A.
根据题意,分析可
=a-16=0,解可得a=±4,验证不等式的解集即可得答案.本题考查一元二次不等式的解法,关键是
应用,属于基础题.
11.【答案】B
【解析】
解:
∵
∴T=
=-
=π,
,
∴ω=2,可得:
f(x)=sin(2x+φ),
又
+φ=2kπ+
,k∈Z.
∴φ=2kπ+
,k∈Z.
又|φ|≤
,
∴φ=
,
∴f(x)=sin(2x+
故选:
B.
).
1
2
2222
2
由
=-
,可求周期T的值,利用周期公式可求ω=2,由函数图象的最高点
为(
),可得
+φ=2kπ+
,k∈Z,结合范围|φ|≤
,可求得φ,从而可得
f(x)的解析式;
本题着重考查函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的确定,考查了正弦函数的图象和性质的应用,属于基础题.
12.【答案】C
【解析】
解:
∵a=tan
a=4tan=4
4
=
,a=2tan
2
,a=5tan
5
=-2
=-5
,a=3tanπ=0,3
,a=6tan2π=0,6
∴a+a+a+a+a+a=-2123456
∵2018=6×336+2,
,
∴S
2018
=-2
×336-=-673
.
故选:
C.
由正切函数的周期性得S=336S+a+a,求出S,a,a可得结果.
2018612612
本题考查了数列前n项和,正切函数的周期性,考查了推理能力与计算能力.13.【答案】
【解析】
解:
∵AB,BC的长为方程x-3x+1=0的两个根,
∴AB•BC=1,AB+BC=3,
∵cosB=,
∴由余弦定理可得:
AC=AB+BC-2AB•BC•cosB=(AB+BC)-2AB•BC-
AB•BC=3-2×1-
=
,
∴AC=.
故答案为:
.
由已知利用韦达定理可得AB•BC=1,AB+BC=3,进而根据余弦定理即可解得AC的值.
本题主要考查了韦达定理,余弦定理在解三角形中的应用,考查了运算求解能力和方程思想,属于基础题.
14.【答案】
【解析】
解:
由题意知本题是一个几何概型,
∵试验发生包含的所有事件是正方形的面积S=1×1=1,
阴影部分区域的面积是8×[×π×-
]=-1,
∴由几何概型公式得到P=故答案为:
-1.
=
-1,
由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的所有事件是正方形面积
S=1×1,求出阴影部分区域的面积,最后利用几何概型的概率公式解之即可.
本题主要考查了几何概型,解题的关键求阴影部分的面积,同时考查了计算能力,属于中档题.
15.【答案】[-6,]
【解析】
解:
实数x,y满足不等式组
图:
的可行域如
直线z=2x-3y经过
,
当x=0,y=2时z取最大值-6;
直线z=2x-3y经过
,解得交点B,即x=,y=时,z=2x-3y取最大
值.
z的范围是[-6,].
故答案为:
[-6,].
通过实数x,y满足约束条件直接画出此二一元次不等式组表示的平面区域;
22
n
11
nnn-1
直接求出目标函数z=2x-y结果的可行域内的顶点,即可求出z的最大值和最小值;
本题考查简单的线性规划的应用,考查计算能力与作图能力,以及表达式的几何意义.
16.【答案】8
【解析】
解:
tanA=-tan(π-A)=-tan(B+C)=-
,
则tanAtanBtanC=-
•tanBtanC,
由tanB+tanC=2tanBtanC,可得tanAtanBtanC=-
,
令tanBtanC=t,由A,B,C为锐角可得tanA>0,tanB>0,tanC>0,
∴1-tanBtanC<0,解得t
>1,
tanAtanBtanC=-
===-
,
由t
>1得,≤
-<0,
因此tanAtanBtanC的最小值为8.
故答案为:
8.
根据诱导公式和两角和的正切公式,结合函数特性可求得最小值.
本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识,考查了转化思想,有一定灵活性,属于中档题.
17.【答案】解:
(Ⅰ)当n=1时,a=S=4,
11
当n≥2时,a=S-S=n+3n-(n-1)-3(n-1)=2n+2,
nnn-1
上式对n=1也成立,
则a=2n+2,n∈N*;
(Ⅱ)
==(
-
),
可得前n项和T=(-+-+…+-
n
.
=
)=(-
)
【解析】
(Ⅰ)由数列的递推式:
当n=1时,a=S;当n≥2时,a=S-S,化简计算可得
222222
2
2
所求通项公式;
(Ⅱ)求得
==(
-
),再由数列的裂项相消求和,
化简可得所求和.
本题考查数列的通项公式的求法,注意运用数列递推式,考查数列的裂项相消求和,化简整理的运算能力,属于基础题.
18.【答案】解:
(Ⅰ)依题意,=所以可得下表:
=3.2,==24,
于是,
(x-
i
)(y-
i
)=(-0.8)×(-10)+(-0.4)×(-5)+0×0+0.4×5+0.8×10=20,
(x-
i
)=(-0.8)+(-0.4)+0+0.4+0.8=1.6,
故b=12.5,a=-16,
于是线性回归方程为:
y=12.5x-16;
(Ⅱ)当x=6时,销售单价增加值的估计值为y=12.5×6-16=59,故销售单价增加值约为59元.
【解析】
(Ⅰ)先求出=3.2,=24,(x-)(y-)=20,
ii
a=-16,则可得回归直线方程为y=12.5x-16;
(Ⅱ)令x=6解得y=59即为所求.
本题考查了线性回归方程,属中档题.
(x-)=1.6,b=12.5,i
19.【答案】解:
(Ⅰ)向量=(
sinx,cosx),
=(cosx,cosx),
则f(x)==sinxcosx+cosx=sin2x+cos2x+=sin(2x+),
令
≤2x+
,k∈Z
得
≤x≤
,
∴f(x)的单调递增区间为[
,
],k∈Z;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=sin(2x+),
22
22
2
2
∵f(A)=1,即sin(2A+∴sin(2A+
)=,∵0<A<π,
可得A=,
余弦定理:
cosA=
)
,
=1,
即bc=b+c-1,
∵b+c≥2bc.当且仅当b=c时取等号,∴bc+1≥2bc.
即bc≤1,
△ABC面积的最大值S=bcsinA=
ABC面积的最大值为.
【解析】
(Ⅰ)由f(x)=
.根据向量的坐标运算可得f(x),化简,结合三角函数的
性质求f(x)的单调递增区间
(Ⅱ)根据f(A)=1,求解A,由a=1,结合余弦定理,基本不等式即可求解△ABC面积的最大值.
本题主要考查向量的运算和三角函数的图象和性质,余弦定理和基本不等式的应用.
20.【答案】解:
(Ⅰ)根据题意可得关于x的方程x-(2a+b)x+2a=0的两根为1,2则1+2=2a+b,1×2=2a,
解得a=1,b=1,
证明(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=设x<x,
12
=x+,
∴f(x
1
)-f(x)=(x-21
)-(x2+)=
(xx-9),12
∴当0<x<x<3时,f(x)>f(x),此时f(x)在(0,3)上单调递减,
1212
当3<x<x时,f(x)<f(x),此时f(x)在(3,+∞)上单调递增
1212
【解析】
(Ⅰ)根据题意可得关于x的方程x-(2a+b)x+2a=0的两根为1,2,根据根与系数的关系即可求出,
n
222
222
△ABC
2
2
2
22
(Ⅱ)利用函数的单调性的定义即可证明
本题考查了一元二次不等式和函数的单调性,属于基础题
21.【答案】解:
(Ⅰ)等差数列{b}的公差设为d,前n项和为S,b=4,S=30,
nn25
可得b+d=4,5b+10d=30,
11
解得b=d=2,
1
可得b=2n,n∈N*;
(Ⅱ)a=bcosnπ=
nn
为偶数
,
为奇数
则数列{a}的前30项和T=(-2-6-…-2×15)+(4+8+…+2×30)
n30
=×15×(-2-30)+×15×(4+60)
=240.
【解析】
(Ⅰ)等差数列{b}的公差设为d,运用等差数列的通项公式和求和公式,解方
n
程即可得到所求通项公式;
(Ⅱ)a=bcosnπ=
nn
,由数列的分组求和,结合等差数列的求和公
式,即可得到所求和.
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的求和方法:
分组求和,考查方程思想和运算能力,属于基础题.
22.【答案】(本题满分为12分)
解:
(Ⅰ)设a=x,b=x+d,c=x+2d,由
ABC的周长为15,可得:
x+d=5,…1分∵c=a+b+ab,
∴(x+2d)=x+(x+d)+x(x+d),
将d=5-x代入到上式中,解得:
x=3,d=2,…3分
∴a=3,b=5,c=7,…4分
∴由余弦定理可得:
cosC=
∴由C∈(0,π),可得C=
=-,
,…6分
∴S
=absinC==
…7分
(Ⅱ)延长CG,交AB于F点,则F为AB的中点,…8分
∵
=
(
+
),
∴
2
=
(
+
)=(
+
+2
•)=[3+5+2×]=
,…10分
∴CF=
,
222
∴CG=CF=
.…12分
【解析】
(Ⅰ)设a=x,b=x+d,c=x+2d,
ABC的周长为15,可得:
x+d=5,进而由
c=a+b+ab,可得x=3,d=2,解得a=3,b=5,c=7,由余弦定理可得cosC=-,
结合范围C∈(0,π)可得C的值,根据三角形面积公式即可计算得解.
.
(Ⅱ)延长CG,交AB于F点,则F为AB的中点,由CF的值,利用重心的性质可求CG=CF=
=(
+
),可求
本题主要考查了数列,余弦定理以及平面向量在解三角形中的应用,考查了运算求解能力和转化思想,属于中档题.
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