《排列组合之组合练习》.docx
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《排列组合之组合练习》
2014年4月高中数学组卷
2014年4月niuxs的高中数学组卷
一.选择题(共18小题)
1.(2008•上海)组合数Cnr(n>r≥1,n、r∈Z)恒等于( )
A.
Cn﹣1r﹣1
B.
(n+1)(r+1)cn﹣1r﹣1
C.
nrCn﹣1r﹣1
D.
Cn﹣1r﹣1
2.(2007•杭州一模)假设在200件产品中有3件次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有( )
A.
C32C1973种
B.
C32C1973+C33C1972种
C.
C2005﹣C1975种
D.
C2005﹣C31C1974种
3.(2011•徐水县一模)按分层抽样的方法,从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排,则不同的排列方法有( )
A.
C104
B.
A104
C.
A106
D.
A1010
4.(2009•朝阳区一模)从6名女生,4名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组,则不同的抽取方法种数为( )
A.
C63•C42
B.
C62•C43
C.
C105
D.
A63•A42
5.(2008•嘉定区一模)Cnr(n>r≥1,n,r∈Z)恒等于( )
A.
B.
C.
D.
6.可求得Cn0+2Cn1+3Cn2+4Cn3+…+(n+1)Cnn=( )
A.
(n+1)•2n
B.
(n+1)•2n﹣1
C.
(n+2)•2n
D.
(n+2)•2n﹣1
7.方程x+y+z=100(x,y,z∈N)的解的组数为( )
A.
B.
C.
D.
8.(2004•辽宁)有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是( )
A.
234
B.
346
C.
350
D.
363
9.(2003•北京)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有( )
A.
24种
B.
18种
C.
12种
D.
6种
10.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法共有( )
A.
60种
B.
48种
C.
36种
D.
24种
11.(2006•天津)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.
10种
B.
20种
C.
36种
D.
52种
12.(2010•崇文区二模)用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为( )
A.
120
B.
72
C.
48
D.
36
13.(2011•南汇区二模)从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组,则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为( )
A.
B.
C.
D.
14.如图一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.如图所示圆环分成的n等份为a1,a2,a3,…,an,有多少不同的种植方法( )
A.
2n﹣2•(﹣1)n﹣3种(n≥3)
B.
2n﹣2•(﹣1)n﹣2种(n≥3)
C.
2n+1﹣2•(﹣1)n﹣3种(n≥3)
D.
2n﹣1﹣2•(﹣1)n﹣3种(n≥3)
15.(2004•福建)某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为( )
A.
A62C42
B.
A62C42
C.
A62A42
D.
2A62
16.(2013•浙江模拟)现需编制一个八位的序号,规定如下:
序号由4个数字和2个x、1个y、1个z组成;2个x不能连续出现,且y在z的前面;数字在0、1、2、…、9之间任选,可重复,且四个数字之积为8.则符合条件的不同的序号种数有( )
A.
12600
B.
6300
C.
5040
D.
2520
17.(2012•济南二模)如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )
A.
11种
B.
20种
C.
21种
D.
12种
18.(2013•海淀区二模)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,且5不排在百位,2,4都不排在个位和万位,则这样的五位数个数为( )
A.
32
B.
36
C.
42
D.
48
二.填空题(共9小题)
19.(2006•上海)在一个小组中有8名女同学和4名男同学,从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者,那么选到的两名都是女同学的概率是 _________ (结果用分数表示).
20.(2014•静安区一模)(理)某班有38人,现需要随机抽取5人参加一次问卷调查,抽到甲同学而未抽到乙同学的可能抽取情况有 _________ 种.(结果用数值表示)
21.(2010•普陀区二模)已知C102x﹣C10x+1=0,则x= _________ .
22.(2010•黄浦区一模)(文科)计算
= _________ .
23.(2007•普陀区一模)某邮局只有0.6元,0.8元,1.1元的三种面值邮票可售,现有邮资为7.50元的邮件一件,为使粘贴的邮票张数最少,且游资恰为7.50元,则至少要购买 _________ 张邮票.
24.要为图中A、B、C、D、E五个区域涂色,一个区域仅涂一种颜色,且相邻的区域不同色,现有四种颜色可选,则不同的涂色方法种数为
_________ .(用数字作答)
25.欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或二级,问共有 _________ 种不同的走法.
26.若
,则x= _________ .
27.定义:
设有限集合A={x|x=ai,i≤n,i∈N+,n∈N+},S=a1+a2+…+an﹣1+an,则S叫做集合A的模,记作|A|;若集合P={x|x=2n﹣1,n∈N+,n≤10},集合P的含有三个元素的全体子集分别为P1,P2,…Pk,则|P1|+|P2|+…+|Pk|= _________ (用数字作答).
三.解答题(共3小题)
28.(2004•黄浦区一模)求证:
在从4n个不同元素中取出n个元素的所有组合中,含有某特定元素的组合个数等于不含该特定元素组合个数的
.
29.
(1)求值:
(C20)2+(C21)2+(C22)2,C42;(C30)2+(C31)2+(C32)2+(C33)2,C63;
(2)由
(1)中计算结果能得到(Cn0)2+(Cn1)2+…+(Cnn)2和C2nn相等吗,试证明你的结论.
30.已知fn(x)=(1+x)+2(1+x)2+…+n(1+x)n=an0+an1x+…+annxn,n∈N*,这些系数可形成如下数阵:
(1)求出a31,a32的值;
(2)若n=9,求a91+a95+a97+a99的值;
(3)求数列{aij}(其中i,j∈N*,且1≤j≤i≤n)的和S.
2014年4月高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共18小题)
1.(2008•上海)组合数Cnr(n>r≥1,n、r∈Z)恒等于( )
A.
Cn﹣1r﹣1
B.
(n+1)(r+1)cn﹣1r﹣1
C.
nrCn﹣1r﹣1
D.
Cn﹣1r﹣1
考点:
组合及组合数公式.
专题:
计算题.
分析:
由组合数公式,Cnr进行运算、化简,找到其与cn﹣1r﹣1的关系,即可得答案.
解答:
解:
由
,
故选D.
点评:
本题考查组合数公式的运用,须准确记忆公式,另外如本题的一些性质需要学生了解.
2.(2007•杭州一模)假设在200件产品中有3件次品,现在从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的抽法有( )
A.
C32C1973种
B.
C32C1973+C33C1972种
C.
C2005﹣C1975种
D.
C2005﹣C31C1974种
考点:
组合及组合数公式.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
根据题意,“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况,由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数,进而相加可得答案.
解答:
解:
根据题意,“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况,
“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种,
“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种,
则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法,
故选B.
点评:
本题考查组合数公式的运用,解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论.
3.(2011•徐水县一模)按分层抽样的方法,从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排,则不同的排列方法有( )
A.
C104
B.
A104
C.
A106
D.
A1010
考点:
组合及组合数公式.
专题:
计算题.
分析:
首先根据题意,结合分层抽样的方法,可得需抽取6个红球与4个黑球,进而分析可得其抽取的方法数目,再对取出的球按题意进行排列,由排列分析可得答案.
解答:
解:
根据题意,按分层抽样的方法,需抽取6个红球与4个黑球,
因为红球和黑球完全相同,则只有一种取法;
进而对取出的球按题意进行排列,有C104种不同的取法;
故选A.
点评:
本题考查排列、组合的运用,解题时需注意红球、黑球全部相同这一条件,可得从中抽取6个红球与4个黑球,只有一种方法.
4.(2009•朝阳区一模)从6名女生,4名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组,则不同的抽取方法种数为( )
A.
C63•C42
B.
C62•C43
C.
C105
D.
A63•A42
考点:
组合及组合数公式.
专题:
计算题.
分析:
首先根据分层抽样的方法,可得抽取5名学生有3名女生,2名男生;进而分别计算从6名女生中抽取3名女生与从4名男生中抽取2名男生的情况数目,进而由乘法原理,计算可得答案.
解答:
解:
根据题意,即从6名女生,4名男生中抽取3名女生,2名男生组成课外小组,
则从6名女生中抽取3名女生有C63种情况,
从4名男生中抽取2名男生有C42种情况,
有乘法原理,可得共C63•C42种情况,
故选A.
点评:
本题考查组合公式的运用,注意与乘法原理、加法原理的综合运用.
5.(2008•嘉定区一模)Cnr(n>r≥1,n,r∈Z)恒等于( )
A.
B.
C.
D.
考点:
组合及组合数公式.
专题:
计算题.
分析:
由组合数公式,Cnr进行运算、化简,找到其与Cnr﹣1的关系,即可得答案.
解答:
解:
由
,
故选A.
点评:
本题考查组合数公式的运用,准确记忆公式是关键.
6.可求得Cn0+2Cn1+3Cn2+4Cn3+…+(n+1)Cnn=( )
A.
(n+1)•2n
B.
(n+1)•2n﹣1
C.
(n+2)•2n
D.
(n+2)•2n﹣1
考点:
组合及组合数公式.
专题:
计算题.
分析:
利用组合数阶乘形式的公式得到kCnk=nCn﹣1k﹣1;将原式变成(Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn)+n(Cn﹣10+Cn﹣11+Cn﹣12+Cn﹣13++Cn﹣1n﹣1),再利用二项式系数的和即可求解
解答:
解:
∵kCnk=nCn﹣1k﹣1
∴原式=(Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn)+n(Cn﹣10+Cn﹣11+Cn﹣12+Cn﹣13++Cn﹣1n﹣1)
=2n+n2n﹣1
=(n+2)•2n﹣1
故选D
点评:
本题考查组合数的公式性质:
kCkn=nCk﹣1n﹣1;考查二项式系数和公式,属于基础题.
7.方程x+y+z=100(x,y,z∈N)的解的组数为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
组合及组合数公式.
专题:
计算题;分类讨论.
分析:
题目中给出了一个含有三个未知量方程,分析它的解的组数,可先固定一个未知量的取值,然后运用排列组合知识分析其它两个未知量的取值情况,逐一分析完后,把所有情况求和.
解答:
解:
因为x,y,z∈N,
若x取100,则y,z只能都取0,有1组解;
若x取99,则y,z能从0,1中取值,取法种数为
=2,有2组解;
若x取98,则y,z能从0,1,2中取值,取法种数为
,有3组解;
若x取97,则y,z能从0,1,2,3中取值,取法种数为
,有4组解;
…
若x取0,则y,z能从0,1,2,…100,中取值,取法种数为
,有101组解.
所以,方程x+y+z=100(x,y,z∈N)的解的组数为1+2+3+…+101=
=
.
故选D.
点评:
本题考查了组合及组合数公式,考查了分类讨论的数学思想,解答的关键是,在一个变量取值一定的情况下,正确求出其它两个变量的取值情况.
8.(2004•辽宁)有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是( )
A.
234
B.
346
C.
350
D.
363
考点:
排列、组合的实际应用.
专题:
计算题;压轴题.
分析:
前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,当两个人分别在前排和后排做一个时,前排有8种,后排有12种,两个人之间还有一个排列,当两个人都在前排坐时,因为两个人不相邻,可以列举出所有情况,当两个人都在后排时,也是用列举得到结果,根据分类计数得到结果.
解答:
解:
由题意知本题需要分类讨论
(1)前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,
前排一个,后排一个共有2C81•C121=192.
(2)后排坐两个(不相邻),
2(10+9+8+…+1)=110.
(3)前排坐两个2(6+5+…+1)+2=44个.
∴总共有192+110+44=346个.
故选B.
点评:
本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题,题目的分类要做到不重不漏.
9.(2003•北京)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有( )
A.
24种
B.
18种
C.
12种
D.
6种
考点:
排列、组合的实际应用.
专题:
计算题.
分析:
根据题意,由于黄瓜必选,故需要再选2种蔬菜,其方法数是C32种,进而由排列的意义,进行全排列,计算可得答案.
解答:
解:
∵黄瓜必选,故再选2种蔬菜的方法数是C32种,
在不同土质的三块土地上种植的方法是A33,
∴种法共有C32•A33=18种,
故选B.
点评:
本题考查排列、组合的综合运用,要注意排列、组合的不同意义,进而分析求解.
10.A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法共有( )
A.
60种
B.
48种
C.
36种
D.
24种
考点:
排列、组合的实际应用.
专题:
计算题.
分析:
根据题意,A、B必须相邻且B在A的右边,视A、B为一个元素,且只有一种排法;将A、B与其他3个元素,共4个元素排列,由乘法计数原理可得答案.
解答:
解:
根据题意,A、B必须相邻且B在A的右边,视A、B为一个元素,且只有一种排法;
将A、B与其他3个元素,共4个元素排列,
即A44=24,
则符合条件的排法有1×24=24种;
故选D.
点评:
本题考查排列的运用,注意分析相邻问题时,要用捆绑法.
11.(2006•天津)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.
10种
B.
20种
C.
36种
D.
52种
考点:
排列、组合的实际应用.
专题:
计算题.
分析:
根据题意,可得1号盒子至少放一个,最多放2个小球,即分两种情况讨论,分别求出其不同的放球方法数目,相加可得答案.
解答:
解:
根据题意,每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,
分析可得,可得1号盒子至少放一个,最多放2个小球,分情况讨论:
①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有C41=4种方法;
②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有C42=6种方法;
则不同的放球方法有10种,
故选A.
点评:
本题考查组合数的运用,注意挖掘题目中的隐含条件,全面考虑.
12.(2010•崇文区二模)用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为( )
A.
120
B.
72
C.
48
D.
36
考点:
排列、组合的实际应用.
专题:
计算题.
分析:
本题的限制条件比较多,可以用分类列举法来解题,分别列举出以5,6,7,8,9开头的数字,数出每一种情况中的结果数,把结果相加.
解答:
解:
本题的限制条件比较多,可以用列举法来解题,
以5开头符合要求的数:
56789、56987、57698、57896、58769、58967、59678、59876
以6开头符合要求的数:
65879、65897、67895、67859、69875、69857
以7开头符合要求的数:
75698、75896、76589、76985、78569、78965、79658、79856
以8开头符合要求的数:
85679、85697、87659、87695、89657、89675
以9开头符合要求的数:
95678、95876、96587、96785、97658、97856、98765、98567
用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,
其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为:
36个
故选D.
点评:
本题考查排列组合的实际应用,考查分类加法计数原理,是一个数字问题,这种题目的限制条件比较多,需要小心解答.
13.(2011•南汇区二模)从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组,则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
排列、组合的实际应用;古典概型及其概率计算公式.
专题:
计算题.
分析:
首先计算从12个人中选取6个人的情况数目,进而计算抽取男生2人,女生4人,即按性别分层抽样的情况数目,由古典概型公式,计算可得答案.
解答:
解:
根据题意,从12个人中选取6个,有C126种选取方法;
按性别分层抽样,需要男生2人,女生4人,有C84•C42种选取方法;
则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为
;
故选A.
点评:
本题考查古典概型的计算、排列组合的运用,难度不大,注意准确计算即可.
14.如图一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.如图所示圆环分成的n等份为a1,a2,a3,…,an,有多少不同的种植方法( )
A.
2n﹣2•(﹣1)n﹣3种(n≥3)
B.
2n﹣2•(﹣1)n﹣2种(n≥3)
C.
2n+1﹣2•(﹣1)n﹣3种(n≥3)
D.
2n﹣1﹣2•(﹣1)n﹣3种(n≥3)
考点:
排列、组合的实际应用;数列的应用;等比关系的确定.
专题:
计算题;转化思想.
分析:
法1:
由题意知圆环分为n等份,做法同前两种情况类似,对a1有3种不同的种法,对a2、a3、、an都有两种不同的种法,但这样的种法只能保证a1与ai(i=2、3、、n﹣1)不同颜色,但不能保证a1与an不同颜色.在这种情况下要分类,一类是an与a1不同色的种法,另一类是an与a1同色的种法,根据分类计数原理得到结果;
法2:
特值法,令n=3,易得此时的种法,依次计算选项的值,验证可得答案.
解答:
解:
法1:
圆环分为n等份,对a1有3种不同的种法,对a2、a3、、an都有两种不同的种法,
但这样的种法只能保证a1与ai(i=2、3、、n﹣1)不同颜色,但不能保证a1与an不同颜色.
于是一类是an与a1不同色的种法,这是符合要求的种法,记为S(n)(n≥3)种.
另一类是an与a1同色的种法,这时把an与a1看成一部分,相当于对n﹣1部分符合要求的种法,记为S(n﹣1).
共有3×2n﹣1种种法.
这样就有S(n)+S(n﹣1)=3×2n﹣1.
即S(n)﹣2n=﹣[S(n﹣1)﹣2n﹣1],则数列{S(n)﹣2n}(n≥3)是首项为S(3)﹣23公比为﹣1的等比数列.
则S(n)﹣2n=[S(3)﹣23](﹣1)n﹣3(n≥3).
由
(1)知:
S(3)=6
∴S(n)﹣2n+(6﹣8)(﹣1)n
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