13・31
(A)-(B)一(C)-(D)-
5542
■
6、已知函数/(刃"严则下列说法正确的是.
[3(x=1)
线共有'•
(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条
11、已^/(x)=|x3+|(a+l)x2+(a+Z>+l)x+l,若方程/'(x)=0的两个根可以
分别作为一个楠圆和双曲线的离心率.则
(A)a-b<-3(B)a-b>-3(C)a-b^-3(D)a-bW-3
12、在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有靈复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有・
(A)56个(B)57个(C)58个(D)60个
自贡市普高2011级第一次诊断性考试
数学试卷(理工农医类)
注意事项:
(1)用钢笔或圆珠笔直接答在试題卷中.
(2)答题前密封线内的项目填坷消楚.
(3)本卷共10小题.共90分.
題号
■
总分
17
18
19
20・
21
22
分数
•得分
评卷人
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分.共16分•把答案填在题中橫线上.
13、设a为锐角,若cos(手+a)=£,则sin(^-a)=
636
14.设平面向^a=(-2J).5=(入一1),若方与乙的夹角为钝角.则几的
取值范鬧是■
15、log4(x+2y)+log4(x-2y)=1.则|x|+|y|的最小值为
16、已知二次函数/(X)的二次项系数为负,对任&xgR.都冇/(2+x)=/(2-x)
那么/(1-2『)与/(1+2x-H)满足条件时,才有-2yxv0.
三、解答题:
共6小题.共74分,解答时应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.
得分•
评卷人
17(本小题满分12分)•已知向Mm=(VJsin2x+2,cosx)>
M=(l,2cosx)t设f(x)=m•n・
(I)求函数/(x)的最小正周期与单调递增区间;
(II)在中,a.b、c分别是角川、B.C的对边,若/(J)=4,/>=1,
△48C的面积为求a的值.1•
2
得分
评卷人
■
18€本小题满分12分)
先阅读下列不等式的证明.再解决后面的问题:
已知糾、a2eRya}+a2=1,求证:
卧+另$丄・
2
证明:
构造函数/(x)=(x-q)2+(兀一。
2几即fM=2x2-2(aj+a2)x+a,2+a22
=2x2-2x+aj2+a22>•••对于一切xeR恒有/(x)M0-
・・・方程/(x)=0的4=4-8(彳+另)W0,从而q2+陽叫・
(I)若q、%oneR.+o2++=L请写出上面结论的推广式;
(II)参考上述证明,对你推广的结论加以证明.
得分
评卷人
19(本小题满分12分)
某校调資了高三年级1000位同学的家庭月平均收入情况,得到家庭月平均收入频率分布氏方图,如下图:
(I)某企业准备给该校髙三同学发放助学金.发放规定如卜•:
家庭收入&4000元及4000元以下的毎位同学得助学金2000元,家庭收入在(4000、6000](元)的每位同学得助学金1500元,家庭收入在(6000.8000](元)的每位同学得助学金1000元,家庭收入在(8000、10000](元)的同学不发助学金,记该年级某位同学所得助学金为E元,写出g的分布列,并计算该企业发放这个年级的助学金约需要的资金;
(II)记该年级某班同桌两位同学所得助学金Z差的绝对值为n元.求p(n>500).
得分
评卷人
20(本小题满分12分):
*
已知抛物线/=4x,点M(l,0)关丁j轴的对称点为N,宜
线/过点M交抛物线于B两点.
(I)证明:
直线MGNB的斜率互为相反数;
(il)求44NB面积的最小值・
评卷人
21(本小题满分12分)
得分
设数列{陽}的前刀项和为S”,已知at=a・S*=2S”+〃+l,neN\
■
(I)求数列S”}的通项公式;
(II)当时,若b”=—,设数列{©}的前以项和为T「nwN",
•一"it
••证明Tn<2.
•己知函数/(x)=logax和g(x)=21oga(2x+r-2),(a>0>
teR)的图象&x=2处的切线互相平行•
<(I)求/的值;.
*・
•电(II)设F(x)=g(x)-/(x),当xw[1,4]时.F(x)N2恒成立,求。
的取值范
参著答案及评分标准
(3分)
/(X)的最小正周期为刀,单増区「可为[左彳一三,上彳+二],上€Z
36
(6分)
(H)f(A)=4=>2sin(2Jl+-)+3=4=>sin(2>l+-)-丄
662
•・•A为AABC的内角A2A壮丄或竺…・・A=M(A=0舍去)(8
(10分)
SAABC中由余弦定理有“2=:
护+X—2力cosA=:
+4-2xlx2x丄=32
•••对于一切xR恒有
•••方程f(x)0的判别式
从而a「a22an2
(理)19.解:
(I)E的分布列是
(x)
0
4
4n(a.
2
a2
2
an
1
n
E
2000
1500
P
0.3
0.3
)0
(12分)
10000
0.20.2……(4分)
E20000.315000.310000.200.21250(5分)
•需要奖金约为:
1250X1000=1250000(元)(6分)
(n)P(=1000)=20.20.220.30.20.2
P(=1500)=20.30.20.12,P(=2000)=20.30.20.12……(11分)
P(>500)=0.20.120.120.44(12分)
a31
(文)19.解:
(I)设甲、乙两人同在A岗位记为事件E,则P(E)二(6分)
C2A440
•an
2n
1(n
N)•…
(3分)由已知得b1
a11
(4分)
设等比数列{
bn}
的公比为
q,由2
b3=
=b4得q
b4
2,•bn=
2n1…
(q
2
b3n1
(n)
Tn
11
325
22
(2n1)
2n1
①
……(7分)
2Tn
12
322
(2n3)2n1
(2n
1)2n
②
(9分)
①—②得:
Tn
122
23
2n
(2n1)2n
=—(2n3)2n
3-
••…(11分)
•-T
n(2n
3)2n
3
-(12分)
(理20.文21).解:
(I)设直线I的方程为yk(x1)
(1分)
(k0)
由yk(x1)
可得
k2x2(2k24)xk20
y24x
设A(xi,yi),
BX,y2)
则X1X2
2k24
x21
(3分)
N(—1,0)
kNAkNB
y1
x11
y24%
X21y124
4y2
y24
2
4[y1(y14)
22
(y14)(y24)
2
y2(y14)]_4(4y2
2
4yi4yi
22
(y14)(y24)
(6分)
又当I丄x轴时,点AB关于
22
kNB0
1111
x轴对称,此时A(1,—2),B(1,2)
kNA
综上有kNAkNB0
(7分)
(n)Snab
SNFBSNFA=|Y1
2y°2
当I丄x轴时
^4(x1__X2)8={p16=4(1
1
k2
(10分)
1
S244
SNAB
2
(11分)
NAB面积的最小值为4
(12分)
(理)21.解:
(I)由Sn1
2Sn
Sn2Sn1
n(n2)
两式相减得
Sn1Sn
2(Sn
Sn1)
1即an1
2an1(n2)
an1
2(an1)
1an1
an1
2(n2)
(3分)
故数列{an
2项起,以a2
1为首项,2为公比的等比数列
又S22S1
11,
2,故an(a3)2n21(n2)
又a1a
不满足an
(a
3)2n21
bn
an
证明:
a
(a3)2n2
由a11得
n
n1n
(21)(21)
an
(n
(n
2n
1)
2)
(6分)
1(nN)则
(理)
T1
,n2
1
从而hn
2
2212^
+3丄
23
1
(9分)
①-②得:
丄人
2
n
2*1
iTn
十c1
n
2
n
2c
In2n1
2
(12分)
2口i
2n
2n
22.解:
(I)f(x)
6[x2
(2
a)x
2a]
=6(x
2)(x
a)
(A
(1分)
当a1时
f⑼
12,
f(0)
2
(o
(2分)
•••切线方程为
y2
12(x
0)
即
12xy
20-
(4分)
(n)令f(x)
0解得
2
X2
a
(5分)
(文)
①
2则当x(2,2)时,f(x)
0,函数
f(x)在(
2,2)上单调递减
若a
当x
2时,函数f(x)取得最小值,
f
(2)
4236a
(8分)
若2
a2则当x(2,2)时,x,
f(x),
f(x)变化情况如下表
x
-2(-2,a)
-a
(a,2)
2
f'(x)
一
0
+
f(x)
10+12a
极小值
42-36a
当x
a时,
f(x)取得最小值,f(a)a3
6a22
(11分)
右a
2则当
x(2,2)时,f(x)
0,f(x)在(2,2)上单调递增
当x
2时,
函数f(x)取得最小值,
f
(2)
1012a
(14分)
(I)•••
f(x)
lOgae,g(x)
4
■logae
(2分)
22.解:
X
•••f
(2)
⑵
g
②
③
f(x)与g(x)的图像在x2处的切线平行
1
即1log
lOgae
2
(4分)
(n)•/t6
F(x)f(x)-g(x)=log
(2x4)2
x
a
[1,4]
(5分)
令h(x)
(2x
x[1,4]
(6分)
h(x)
4堕4(x2)(x2)
42
x
x2
x[1,4]
(7分)
•••h(x)在1,2上单减,在2,4上单增(8分)
h(x)minh
(2)32h(x)maxh
(1)h(4)36(9分)
•••当0a1时,有F(X)minloga36,当a1时,F(X)minloga32(10分)
当x[1,4]时,F(x)2恒成立,•F(x)min2(11分)
0a1
a1
②
①或
loga
362
loga322
满足条件的a的值满足下列不等式组
不等式组①的解集为空集,解不等式②得1a4.2
(13分)
(14分)
综上所述,满足条件的a的取值范围是1a4..2