直线方程的对称问题及最值恒过定点问题.docx
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直线方程的对称问题及最值恒过定点问题
直线方程的对称问题及最值-恒过定点问题
一、点关于点的对称问题
例1求点A(2,4)关于点B(3,5)对称的点C的坐标.
练习:
1求点A(-3,6)关于点B(2,3)对称的点C的坐标.
2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.
二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面:
①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1,②两点的中点在已知直线上.
例2求点A(1,3)关于直线l:
x+2y-3=0的对称点A′的坐标.
练习:
3求A(4,0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是
4已知直线l:
3xy30,求p(4,5)关于l的对称点
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题,可转化为直线上的点关于某点对称的问题,这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.
例3求直线2x+11y+16=0关于点P(0,1)对称的直线方程.
练习:
2若直线l1:
3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称
直线方程中的对称问题
的直线方程l2.求l2的方程
四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题,包含有两种情形:
①两直线平行,②两直线相交.对于①,我们可转化为点关于直线的对称问题去求解;对于②,其一般解法为先求交点,再用“到角”,或是转化为点关于直线对称问题.
例4求直线l1:
x-y-1=0关于直线l2:
x-y+1=0对称的直线l的方程.
例5试求直线l1:
x-y-2=0关于直线l2:
3x-y+3=0对称的直线l的方程.
练习:
5求直线m:
x-y-2=0关于直线l:
3x-y+3=0对称的直线n的方程
五最值问题
1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB的面积最小时直线l的方程;
2.若直线l过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则这样的直线l有()条
A1B2C3D4
(变式题:
若面积为5呢,面积为1呢?
)
3.已知点A(2,5),B(4,-7),试在y轴上求一点P,使得|PA|+|PB|的值最小。
4.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴于点A、B,求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.
5.位于第一象限的点A在直线y=3x上,直线AB交x轴的正半轴于点C,已知点B(3,2),求△OAC面积的最小值,并求此时A点坐标
6.已知点M(1,3),N(5,-2),在x轴上取一点P,使得||PM|-|PN||最大,则P点坐标是()A(5,0)B(13,0)C(0,13)D(3.4,0)
变式:
若使||PM|+|PN||最小呢?
7.函数y=x2+9+x2-8x+41的最小值是
六过定点
6.若k,-1,b三个数成等差数列,则直线y=kx+b必经过定点()
1
7.当0 kx-y=k-1与直线l2: ky-x=2k的交点在() A.第一象限B.第二象限C.第 三象限D.第四象限 4.直线kx-y+1=3k,当k变动时,所有直线都通过定点() A.(0,0)B.(0,1) C.(3,1)D.(2,1) 9.已知直线(3k-1)x+(k+2)y-k=0,则当k 变化时, 所有直线都通过定点 ( ) 1 2 A. (0,0) B. (17, 72) C. 21 D. 1 1) (27,17) (17, 14) 课后作业: 1.已知点A(2,5),B(4,-7),试在y轴上求一点P,使得|PA|+|PB|的值最小。 2光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1),求反射光线所在的直线方程. 3.已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为. 4.试求直线l1: xy20关于直线l2: 3xy30对称的直线l的方程. 5.若直线l1: y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点() 6.直线l过点P(1,3),且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6,则l的方程是() A.3x+y-6=0B.x+3y-10=0 C.3x-y=0D.x-3y+8=0
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