三角恒等式三角诱导公式二倍角公式半角公式.docx

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三角恒等式三角诱导公式二倍角公式半角公式

三角恒等式-三角诱导公式-二倍角公式-半角公式

三角恒等式

1.同角三角比的基本关系:

（1）平方关系:

sin2a+cos'a=1,1+tan2a=sec2tzj+cot2=csc2a；

（2）倒数关系：

sinaCSCa=1,COSaSeCa=l,

tanaco二1；

（3）商数关系:

tan.=^,cota=^；cosasina

注意：

已知一个角任意一个三角比，就可以求岀它的其他五个三角比的值。

2.三角比的诱导公式:

“奇变偶不变，符号看象限”

函数。

（填“奇”或“偶”）

tan（2^^+a）=伙gZ）；

cos（2R;r—a）=

（3）sin（2^-a）=

tan（2^^一a）=伙gZ）;

（4）

sin（兀+a）=

9cos（/r+a）=

ftan（^+a）=

伙gZ）;

（5）

sin（/r-a）=

9cos（/r-a）=

9tan（^-a）=

（2Z）;

（6）

sin（—-cr）=

•cost—-

2

9tan（—-a）=

伙eZ）；

3•两角和与差的正弦、余弦和正切公式:

（1）cos（a-/?

）=

（3）sin（a-0）=

（5

；

（2）cos（a+0）=；；（4）sin（a+/?

）=；

）tan（a-#）=

tan（&+0）=

a；

如,

②tan（—+&）=

4

注意：

特别喜欢考查两角和与差的正切公式的逆用和“1”的巧用。

—=>1一tan0=（1+tan<9）-tan（-一0）

1+tanO4

凹型=>l+tan0=（l—tan&）tan（^+0）；

1-tanO4

4・辅助角公式:

把两个异名的三角比的和或差化为一个同名的三角比（“异名化同名”）。

女口:

Asina+Bcosa=Ja2+B1（.sina+、"cosa）,

>!

a2+B2Ja'+b‘

（1）如果令边"肩&曲0=眉磊'则

1AB

Asina+Bcosa=W+B2（f^sina+cosa）

\ia2+b2

=Ja'+B）（cos0sina+sin0cos&）=sin（a+0）,其中tan^£

A

（2）如果令5山0=占，2竹’则

I人

Asina+Bcosa=yjA2+B2（,^sina+,cosa）

Ja2+B2\Ia2+B2

=W+庆（sin0sina+cos0cosa）=+B‘cos（a-0）9其中切V

B

5•二倍角和半角的正弦、余弦和正切公式：

（1）已知sin（a+0）=sinacos0+cosasin0,其中当"0时,则有：

sin2a=2sinacosa=>1±sinla=sin2a+cos2a±2sinacosa=（sina±cosa）‘

（2）已cos（a+0）=cosacos0-sinasin0,其中当—0时,

则有：

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2&一1=1一2sin2a

亠升幕公式：

1+cos2a=2cos2-cos2a=2sin2a

（3）已知（an（a+0）=严气，其中当"0时，则有:

1-tanatan0

c2（ana

tanla=s—•

1-taira

总结：

（1）sin2a=2sinacosa；

（2）cos2a=cos2a-sin2a=2cos2-1=1-2siirc?

;（3）tan2a=-{ana

1-taira

6•万能公式：

任何一个角的三角比都可以用

来表示。

②

tan^tan£+tanAtan£+tan£tan£=1；

222222

例1.已知⑸2

=3则sinx+2cosx_.sinxcosx-

2sinx-3cosx

例

2.

sin（2017/r+f）

sin（/r+彳）•sin（2/r+彳）•sin（3/r+彳）

的值

等于

cos（a_0）=*，求sina的

例3・若-—

2212

值。

例4.已知”均为锐角，且sina=二，心0=晋~,贝!

|d-0的值为'

例5.己知XW0冷9求函数y=cos（吉一x）-cos（菩+x）的值域。

例6.求函数严=的值域。

3+cosx

例7•已知tan^=2,求值:

（1）「g+sina；

（2）sin2a+2cosN-3tan2d；答案：

2；

1+cosa+sina

-2066/175

则cosx-sim-的值为

变式训练:

1-若shLV-cosx=Z/且7

2.已知函数加〜宁,

g（x）=tan（^-x）,则（）

A.他）与g⑴都是奇函数

B.f（x）与g（x）都是偶函数

C.y（x）是奇函数，g（x）是偶函

数D.fix'）是偶函数,g（x）是

奇函数

3•若sin（^+tz）=-|9a是第二象限角，sin（f+0）=一耳^,0是

第三象限角，

则cos（a-P）的值是

4.已知函数f（x）=sin（2x+&）+VJcos（2x+&）为奇函数，且

06（0,龙）9

则&的值为

5•在△ABC中，①

sin（A+B）+sinC；

（2）cos（B+C）+cos4；

其中恒为定值的是（

A.②③B.①②

C.②④D.③④

6■已知匕叱=2+屁贝lhane+兰）的值为

1+tana4

&已知00w（O,/r）tan（£Z—0）=—,tan/7=_丄，

27

贝ll2&_0二

9•若

8sina+5cos0=6

8cosa+5siii/7=10,

贝!

Jsin（a+0）—

10<已知sina+sin0+siny=O,

cosa+cos/?

+cos/=0,

则cos（a-0）的

值是

11•证明:

3xx2sinx

tan—_tan—=

22cosx+cos2x

12.（2013全国II）已知sin2a=—,则

.TC

cos"（tz+—）=

4

13•下列各式中值等于f的是（）

则论的值等于

15.（2012山东）若&上,3,sin2"型,则sin—

428

17.已知函数y=—cos2x+-^-sinxcosx+1,xeR9当函数y取

22

三角恒等变换技巧

三角变换的常用技巧有：

（1）名变换；

（2）

角变换；（3）“1”的变换；（4）公式逆用；（5）降次与升幕变换；（6）换元变换等。

在三角变换过程中，要做到异名化同名,fl角化同角,尽量减少三角比名称和角的个数，变换中要做到“同名、同角、同一个变量”。

方法一、“名”变换

当题目中出现不同名的三角函数时，这就需

要变“名”，即化异名函数为同名函数。

名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换，最

常见的做法是孩切互化和辅助角公式o

2.已知函数f（x）=（1-tanx）（l+sin2x4-cos2x）,求于⑴的定义域和值域。

3•已知心都是锐角，且30=池沁，求亠「的

sina+cosasina一cosa

4.已知函数

值。

f（x）=2cosxsin（x+—）-Visin'x+sinxcosx

3

的最大值和最小值。

_”>““.4—t/sin—+PCOS—o.

5.己知正实数a、b满足一5——认竺，求2的值。

兀i•兀15a

acos—-Z?

sin—

55

方法二、“角”变换

“角”变换的基本思想是，通过拼凑或分解

鱼方法把未知角转化为已知角的“和、差、倍角、半角”，然后运用相应的公式求解。

常见的变角方式有：

①加是&的二倍；Q是彳的二倍；f±2a是令密的

二倍；②」+0）严-0）;

7・已^0兰<0

2413

贝||sin2a=

9

才上（兀）3177_戶sin2x+2cos，x砧彳古

•COS—+XI=—,/TVXV—7T、:

K[I*J111,o

I4；51241-tanx

方法三、公式逆用

弦、余弦、正切公式以及二倍角半角公式，但有

时若能逆用这些公式也可以帮助我们快速解题。

逆用公式的方法有：

①通过添项拼凑出要用的公式，常见于二倍角半角公式的逆用:

②公式的恒等变形，常见于两角和差的正切公式的逆用。

10.求值:

（1）cos20°cos40°cos60°cos80°；

（2）tan70°-tan10°->/3tan70°tan10°；

11.求证：

tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan[（n-l）xltannx=一n

tanx

a+/?

+/=eZ）

tana+tan+tan/=tana・tan0tan/

条件。

13<（1+tanl7）-（1+tan18*）-（1+tan27）-（1+tan28）的值是

方法四、降次与升幕变换

降次和升幕也是三角变换的一种重要策略,

为运用公式创造条件。

常见的降次与升幕方法有:

sin—于；②巧用“1”,如sin%+cos'd=1,

2

cos4a+si«"a—1-2sin2acos2a^^o

14•化简：

"…皿

1-cosa-sin1a

15•求"丄+二的最小值。

sirrxcos"x

16•求函数/（x）=2sin21—+x]->/3cos2x,

k.4丿

最小值。

17.求siir20+cos250+sin20cos50的值。

18.化简下列各式:

方法五、换元变换

当函数表达式中同时出现sinx+cw（或sinx—cosx）

sinxcosx9

sinzx耳1）,把三角函数转化为熟悉的函数来求

解。

有时，换元可以达到简化运算的目的。

20•证明：

4+亠+三=4.4二

1+xy1+1+zx\+xy\+yz1+乙丫

21.求值：

sin（0+75•）+cos（&+45"）-VJcos（&+15）