数学人教版六年级下册《鸽巢问题》.docx
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数学人教版六年级下册《鸽巢问题》
鸽巢问题(第一课时)
沧州市献县乐寿镇北紫塔中心校肖海滨
教学内容
简单的鸽巢问题(教材第68页例1和第69页例2)。
教学目标
1.理解简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式,引导学生采用操作的方法进行枚举及假设法探究“鸽巢问题”。
2.体会数学知识在日常生活中的广泛应用,培养学生的探究意识。
重点难点
了解简单的鸽巢问题,理解“总有”和“至少”的含义。
教学准备
课件,每组4个纸杯和若干支笔。
教学过程:
一、游戏导入。
游戏:
我来说你来做(抢椅子),我说动作学生完成动作。
三把椅子四个同学来坐。
引出问题:
要保证每个同学都坐在椅子上,至少有一把椅子上要坐两名同学,为什么?
根据学生回答,教师把学生提出的问题归结为:
“鸽巢问题”是怎样的?
这里的“鸽巢”是指什么?
运用“鸽巢问题”能解决哪些问题?
怎样运用“鸽巢问题”解决问题?
二、新课讲授
1.教师用投影仪展示例1的问题。
同学们手中都有笔和纸杯,现在分小组形式动手操作:
把四支笔放进三个标有序号的纸杯中,看看能得出什么样的结论。
组织学生分组操作,并在小组中议一议,用笔在纸杯里放一放。
教师指名汇报。
学生汇报时会说出:
1号纸杯放4支铅笔,2号、3号纸杯均放0支铅笔。
教师:
不妨将这种放法记为(4,0,0)。
〔板书:
(4,0,0)〕
教师提出:
(4,0,0)(0,4,0)(0,0,4,)为一种放法。
教师:
除了这种放法,还有其他的放法吗?
教师再指名汇报。
学生会有(4,0,0)(0,1,3)(2,2,0)(2,1,1)四种不同的放法。
教师板书。
教师:
还有不同的放法吗?
教师:
通过刚才的操作,你能发现什么?
(不管怎么放,总有一个杯子里至少有2支笔。
)
教师:
“总有”是什么意思?
(一定有)
教师:
“至少”有2支什么意思?
(不少于两只,可能是2支,也可能是多于2支)
教师:
就是不能少于2支。
(通过操作让学生充分体验感受)
教师进一步引导学生探究:
把5支笔放进4个纸杯,总有一个纸杯要放进几支笔?
指名学生说一说,并且说一说为什么?
教师:
把4支笔放进3个杯子里,和把5支笔放进4个杯子里,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2支铅笔。
这是我们通过实际操作发现的这个结论。
那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?
学生思考——组内交流——汇报
教师:
哪一组同学能把你们的想法汇报一下?
学生会说:
我们发现如果每个杯子里放1支笔,最多放3支,剩下的1支不管放进哪一个杯子里,总有一个杯子里至少有2支笔。
教师:
你能结合操作给大家演示一遍吗?
(学生操作演示)
教师:
同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?
教师:
这种分法,实际就是先怎么分的?
学生:
平均分。
教师:
为什么要先平均分?
(组织学生讨论)
学生汇报:
要想发现存在着“总有一个杯子里一定至少有2支”,先平均分,余下1支,不管放在哪个杯子里,一定会出现“总有一个杯子里一定至少有2支”。
这样分,只分一次就能确定总有一个杯子至少有几支笔了?
教师:
同意吗?
那么把5支笔放进4个杯子里呢?
(可以结合操作,说一说)
教师:
哪位同学能把你的想法汇报一下?
学生:
(一边演示一边说)5支笔放在4个杯子里,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2支笔。
师:
把6支笔放进5个杯子里呢?
还用摆吗?
生:
6支铅笔放在5个杯子里,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2支笔。
师:
把7支笔放进6个杯子里呢?
把8支笔放进7个杯子里呢?
……
教师:
你发现什么?
学生:
笔的支数比杯子数多1,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2支笔。
教师:
你们的发现和他一样吗?
(一样)你们太了不起了!
同桌互相说一遍。
把100支笔放进99个纸杯里会有什么结论?
一起说。
巩固练习:
教材第68页“做一做”。
A、组织学生在小组中交流解答。
B、指名学生汇报解答思路及过程。
2.教学例2。
①出示题目:
把7本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
请同学们小组合作探究。
探究时,可以利用每组桌上的7本书。
活动要求:
a.每人限独立思考。
b.把自己的想法和小组同学交流。
c.如果需要动手操作,可以利用每桌上的7本书,要有分工,并要全面考虑问题。
(谁分铅笔,谁当抽屉,谁记录等)
d.在全班交流汇报。
(师巡视了解各种情况)
学生汇报。
哪个小组愿意说说你们的方法?
把你们的发现和大家一起分享,学生可能会有以下方法:
a.动手操作列举法。
学生:
通过操作,我们把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进3本书。
b.数的分解法。
把7分解成三个数,有多种情况。
在任何一种情况下,总有一个数不小于3。
教师:
通过动手摆放及把数分解两种方法,我们知道把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进几本书?
(3本)
②教师质疑引出假设法。
教师:
同学们通过以上两种方法,知道了把7本书放进3个抽屉,总有一个抽屉至少放进3本书,但随着书的本数越多,数据变大,如:
要把155本书放进3个抽屉呢?
用列举法、数的分解法会怎么样?
(繁琐)我们能不能找到一种适用各种数据的方法呢?
请同学们想想。
如果有8本书会怎样?
10本书呢?
板书:
7÷3=2……1(总有一个抽屉里至少有3本书)
8÷3=2……2(总有一个抽屉里至少有3本书)
10÷3=3……1(总有一个抽屉里至少有4本书)
师:
3本、3本、4本是怎么得到的?
生:
完成除法算式。
7÷3=2……1(商加1)
8÷3=2……2(商加1)
10÷3=3……1(商加1)
师:
观察板书你能发现什么?
学生:
“总有一个抽屉里的至少有3本”,只要用“商+1”就可以得到。
师:
如果把5本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
学生:
“总有一个抽屉里至少有3本”只要用5÷3=1……2,用“商+2”就可以了。
学生有可能会说:
不同意!
先把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,还剩2本,这2本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。
师:
到底是“商+1”还是“商+余数”呢?
谁的结论对呢?
在小组里进行研究、讨论、交流、说理活动。
可能有三种说法:
a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。
b.把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少有2本书”。
c.我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有2本书”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。
教师:
现在大家都明白了吧?
那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢?
学生回答:
如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。
教师讲解:
同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽巢原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄利克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。
这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。
“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。
下面我们应用这一原理解决问题。
提问:
尽量把书平均分给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,你们能用什么方式表示这一平均的过程呢?
学生在练习本上列式:
7÷3=2……1。
集体订正后提问:
这个有余数的除法算式说明了什么问题?
生:
把7本书平均放进3个抽屉,每个抽屉有两本书,还剩一本,把剩下的一本不管放进哪个抽屉,总有一个抽屉至少放三本书。
③引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。
a.提问:
如果把10本书放进3个抽屉会怎样?
13本呢?
b.学生列式回答。
c.教师板书算式:
10÷3=3……1(总有一个抽屉至少放4本书)
13÷3=4……1(总有一个抽屉至少放5本书)
④观察特点,寻找规律。
提问:
观察3组算式,你能发现什么规律?
引导学生总结归纳出:
把某一数量(奇数)的书放进三个抽屉,只要用这个数除以3,总有一个抽屉至少放进书的本数比商多一。
⑤提问:
如果把8本书放进3个抽屉里会怎样,为什么?
8÷3=2……2
学生汇报。
可能出现两种情况:
一种认为总有一个抽屉至少放3本书;一种认为总有一个抽屉至少放4本书。
学生讨论。
讨论后,学生明白:
不是商加余数2,而是商加1。
因为剩下两本,也可能分别放进两个抽屉里,一个抽屉一本,相当于数的分解(3,3,2)。
所以,总有一个抽屉至少放3本书。
⑥总结归纳鸽巢问题的一般规律。
至少数=商+1
三、课堂作业
教材第69页“做一做”。
(1)组织学生在小组中交流解答。
(2)指名学生汇报解答思路及过程。
四、课堂小结
通过这节课的学习,孩子们你们有哪些收获?
五、课后作业
教材第71页练习十三第1、2题。
教学板书
鸽巢问题
(1)
(4,0,0)(0,1,3)(2,2,0)(2,1,1)
笔的支数比杯子数多1,不管怎么放,总有一个杯子里至少有2支笔。
7÷3=2……1(总有一个抽屉里至少有3本书)
8÷3=2……2(总有一个抽屉里至少有3本书)
10÷3=3……1(总有一个抽屉里至少有4本书)
13÷3=4……1(总有一个抽屉至少放5本书)
至少数=商+1
教学反思:
1.游戏以及小组活动很容易抓住学生的注意力,让学生觉得这节课要探究的问题既好玩又有意义。
2.理解“鸽巢问题”对于学生来说有着一定的难度。
3.大部分学生很难判断谁是物体,谁是抽屉。
4.学生对“至少”理解不够,给建模带来一定的难度。
5.培养学生的问题意识,借助直观操作和假设法,将问题转化为“有余数的除法”的形式。
可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般思路。
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