人教版九年级数学上册期末复习.docx
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人教版九年级数学上册期末复习
人教版九年级数。
上册知识点总结
21.1一元二次方程
知识点——元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:
①只含有一个未知数;②未知数的最高次数是2;③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式
一般形式:
ax?
+bx+c=0(a=0).其中,ax?
是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
知识点三一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
21.2降次一解•元二次方程
21.2.1配方法
知识点一直接开平方法解一元二次方程
(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,可以直接开平方。
一般地,对于形如x=a(a^0)的方程,根据平方根的定义可解得
&=-插.
(2)直接开平方法适用于解形如xS>或(mx+a)2=p(m^0)形式的方程,如果p'O,就可以利用直接开平方法。
(3)用直接开平方法求一元二次方程的根,要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。
(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是:
①移项;②使二次项系数或含有未知数
的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方,使原方程变为两个一元二次方程;
④解一元一次方程,求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法,配方的目的是降次,把
一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为:
一移、二除、三配、四开。
(1)把常数项移到等号的右边;⑵方程两边都除以二次项系数;
(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式;⑷若等号
右边为非负数,直接开平方求出方程的解。
21.2.2公式法
知识点一公式法解一元二次方程
(1)一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O),如果bFacNO,那么方程的两个根为x=7士*_竺,这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,
la
我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
(2)一元二次方程求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的过程。
(3)公式法解一元二次方程的具体步骤:
1方程化为一般形式:
ax2+bx+c=0(a/0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c
的值,注意符号;
③求岀b2-4ac的值;④若bJac'O,则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,若b2-4ac<0,则方程无实数根。
知识点二一元二次方程根的貞别式
式子英4ac叫做方程ax+bx+c=0(a^0)根的判别式,通常用希腊字母△表示它,即左
=b2-4ac.
△>0,方程ax2+bx+c=0(a^0)有两个不相等的实数根
二程△=(),方程ax2+bx+c=0(a=0)有两个相等的实数根
根的判别式
知识点二用合适的方法解一元一次方程
方法名
称
理论依据
适用范围
直接开平
方法
平方根的意
义
形如x2=p或(mx+n)Jp(p
部)
配方法
完全平方公式
所有一元二次方程
公式法
配方法
所有一元二次方程
因式分解
法
当ab=O,则a=0
或b=0
一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。
21.2.4一元二次方程的根与糸数的关系
若一元二次方程x2+px+Q=0的两个根为X】,X2,则有x1+x2=-p,x1x2=q.
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a^0)有两个实数根x”闻则有x1+x2=,aa
22.3实际问题与一元二次方程
知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)审:
是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是己知量,哪些是未知量以及它们之间
的等量关系。
(2)设:
是指设元,也就是设出未知数。
(3)列:
就是列方程,这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义,然后列代数式表示这个相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程。
(4)解:
就是解方程,求岀未知数的值。
(5)验:
是指检验方程的解是否保证实际问题有意义,符合题意。
(6)答:
写出答案。
知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型
(1)数字问题
三个连续整数:
若设中间的一个数为x,则另两个数分别为x-l,x+1。
三个连续偶数(奇数):
若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。
三位数的表示方法:
设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是
100a+10b+c.
(2)增长率问题
设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降低后
的等量关系为a(l±x)2=bo
(3)利润问题
利润问题常用的相等关系式有:
①总利润=总销售价-总成本;②总利润=单位利润X总
销售量;③利润=成本X利润率
(4)图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系,将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来,建立一元二次方程。
二次函数知识点归纳及相关典型題
第-部分基础知识
1.定义:
一般地,如果),=京+笊+皿如是常数,”0),那么),叫做X的二次函数.
2.二次函数),=京的性质
(1)抛物线),=履的顶点是坐标原点,对称轴是),轴.
(2)函数),=履的图像与。
的符号关系.
1当•>0时=抛物线开口向上。
顶点为其最低点;
2当.<0时=抛物线开口向下。
顶点为其最高点.
(3)顶点是坐标原点,对称轴是),轴的抛物线的解析式形式为),=技(々。
0).
3.二次函数),=物+笊+。
的图像是对称轴平行于(包括重合)),轴的抛物线.
4.二次函数厂宀况+c用配方法可化成:
a*的形式,其中,b,4ac-b2
n,k=.
2a4。
5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
①厂物;②y=^+k;③厂志-庁;
(4)j'=a(x—h^+k;⑤jytzx2-i-bx+c.
6.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
1。
的符号决定抛物线的开口方向:
当。
>0时,开口向上;当•<()时,开口向下;
|。
|相等,抛物线的开口大小、形状相同.
2平行于),轴(或重合)的直线记作》=方.特别地,),轴记作直线x=0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数。
相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:
),=物+笊+。
=厶+9丫+竺让,.・.顶点是(一丄竺W),对称轴是
\2aJ4ala4a
直线x=-A.
la
(2)配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为),=*》-方下+左的形式,得到顶点为(方,Q,对称轴是直线》=方.
⑶运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
9.抛物线),=京+》x+c中,q如的作用
(1)々决定开口方向及开口大小,这与),=京中的a完全一样.
(2)方和。
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线
laa
工=-=,故:
①5=0时,对称轴为轴;②纟>0(即a、3同号)时,对称轴在),轴
左侧;③2<0(即a、b异号)时,对称轴在),轴右侧.
a
(3)c的大小决定抛物线),=履+笊+。
与N轴交点的位置.
当x=o时,),*,..・抛场线),=京+笊+。
与N轴有且只有一个交点(0,C):
①c=0,抛物线经过原点;②c>0,与},轴交于正半轴;③c<0,与N轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在),轴右侧,则
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:
11.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
y=a^+bx+c.己知图像上三点或三对X、),的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:
y=a(X-hY+k.己知图像的顶点或对称辄通常选择顶点式.
(3)交点式:
己知图像与X轴的交点坐标也、x2»通常选用交点式:
y=a(x-xl\x-x2).
12.直线与抛物线的交点
(1)),轴与抛物线),=履+彼+C得交点为(0,C).
(2)与),轴平行的直线》=方与抛物线),=履+笊+。
有且只有一个交点(方,泌i泌+C).
(3)抛物线与X轴的交点
二次函数),=宀bx+C的图像与X轴的两个交点的横坐标公巧,是对应一元二次方程衣2+笊+。
=0的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:
1有两个交点。
△>0=抛物线与X轴相交;
2有一个交点(顶点在工轴上)=△=()=抛物线与X轴相切;
3没有交点。
△<0=抛物线与X轴相离.
(4)平行于X轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为殆则横坐标是^+bx+c=k的两个实数根.
(5)一次函数),=女+〃(膈0)的图像,与二次函数),=技+笊+由。
0)的图像G的交点,
由方程组/'=枝:
〃的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时=,与G
=ov+bx+c
有两个交点;②方程组只有一组解时与G只有一个交点;③方程组无解时=/与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离:
若抛物线),=京+笊+。
与X轴两交点为才(冲0)5(x2,0),由于X]、工2是方程我+&v+c=0的两个根,故
bc
xx+x2=~9xrx2=-
如=ki一对二或也—易)2二/毎-戸尸-佔邑={■').兰="2"|4吃=存
第二十三章旋转
23.1图形的旋转
知识点一旋转的定义
在平面内,把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度,就叫做图形的旋转,点
。
叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。
知识点二旋转的性质
旋转的特征:
(1)对应点到旋转中心的距离相等;
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;(3)旋转前后的图形全等。
理解以下几点:
(1)图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
(2)对应点到旋转中心的距离相等,对应线段相等,对应角相等。
(3)图形的大小和形状都没有发生改变,只改变了图形的位置。
知识点三利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质:
(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;
(2)对应点到旋转中心的距离相等,它是利用旋转的性质作图的关键。
步骤可分为:
①连:
即连接图形中每一个关键点与旋转中心;②转:
即把直线按要求绕旋转中心
转过一定角度(作旋转角)
③截:
即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到各点的对应点;④接:
即连接到所连接的各点。
23.2中心对称
知识点一中心对称的定义
中心对称:
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心。
注意以下几点:
中心对称指的是两个图形的位置关系;只有一个对称中心;绕对称中心旋转180°两个图形能够完全重合。
知识点二作一个图形关于某点对称的图形
要作岀一个图形关于某一点的成中心对称的图形,关键是作岀该图形上关键点关于对称中心的对称点。
最后将对称点按照原图形的形状连接起来,即可得岀成中心对称图形。
知识点三中心对称的性质
有以下几点:
(1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心,并且都被对称中心平分;
(2)关于中心对称的两个图形能够互相重合,是全等形;
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或共线)且相等。
知识点四中心对称图形的定义
把一个图形绕着某一个点旋转L80。
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
知识点五关于原点对称的点的坐标
在平面直角坐标系中,如果两个点关于原点对称,它们的坐标符号相反,即点p(x,y)关于原点对称点为(-x,-y)。
第二十四章岡
24.1圆
24.1.1g
知识点一圆的定义
圆的定义:
第一种:
在一个平面内,线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫作圆。
固定的端点。
叫作圆心,线段0A叫作半径。
第二种:
圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。
比较圆的两种定义可知:
第一种定义是圆的形成进行描述的,第二种是运用集合的观点下的定义,但是都说明确定了定点与定长,也就确定了圆。
知识点二圆的相关概念
(1)弦:
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫作直径。
(2)弧:
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(3)等圆:
等够重合的两个圆叫做等圆。
(4)等弧:
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
弦是线段,弧是曲线,判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中,只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧,而不是长度相等的弧。
24.1.2垂直于弦的直径
知识点一圆的对称性
圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
知识点二垂径定理
(1)垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
如图所示,直径为CD,AB是弦,且CD丄AB,
JAM=BM
垂足月AC=BC。
AD=BD
垂径定理的推论:
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如上图所示,直径CD与非直径弦AB相交于点M,
_CD±AB
AM=BMAC=BC
AD=BD
注意:
因为圆的两条直径必须互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦必须不是直径,否则结论不成立。
24.1.3孤、弦、圆心角
知识点弦、弧、圆心角的关系
(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余的各组量也相等。
(3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件,如果丢掉这个条件,即使圆心角相等,所对的弧、弦也不一定相等,比如两个同心圆中,两个圆心角相同,但此时弧、弦不一定相等。
24.1.4圆周角
知识点一圆周角定理
(1)圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所
对的圆心角的一半。
(2)圆周角定理的推论:
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径。
(3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。
“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的,否则就不成立了,因为一条弦所对的圆周角有两类。
知识点二圆内接四边形及其性质
圆内接多边形:
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
圆内接四边形的性质:
圆内接四边形的对角互补。
24.2点、直线、圆和网的位置关系
24.2.1点和圆的位置关系
知识点一点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有:
点在圆外,点在圆上,点在圆内三种。
(2)用数量关系表示:
若设。
。
的半径是r,点P到圆的距离0P=d,则有:
点P在圆外<=>d>r;点p在圆上Ad=r;点p在圆内ndVr。
知识点二过己知点作圆
(1)经过一个点的圆(如点A)
以点A外的任意一点(如点0)为圆心,以0A为半径作圆即可,如图,这样的圆可以作
无数个。
(2)经过两点的圆(如点A、B)
以线段AB的垂直平分线上的任意一点(如点0)为圆心,以0A(或0B)为半径作圆即
B
(3)经过三点的圆
1经过在同一条直线上的三个点不能作圆
©不在同一条直线上的三个点确定一个圆,即经过不在同一条直线上的三个点可以作
圆,且只能作一个圆。
如经辻不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆,作法:
连接
AB、BC(或AB、AC或BC、AC)并作它们的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点0,以点。
为圆心,以0A(或OB、0C)的长为半径作圆即可,如图,这样的圆只能作一
个。
2知识点三三角形的外接圆与外心
(1)经过三角形三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。
(2)外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。
知识点四反证法
(1)反证法:
假设命题的结论不成立,经过推理得岀矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明命题的方法叫做反证法。
(2)反证法的一般步骤:
①假设命题的结论不成立;
Q)从假设出发,经过逻辑推理,推岀或与定义,或与公理,或与定理,或与己知等相矛盾的结论;
①由矛盾判定假设不正确,从而得岀原命题正确。
24.2.2H线和岡的位置关系
知识点一直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系有:
相交、相切、相离三种。
(2)直线与圆的位置关系可以用数量关系表示
若设。
。
的半径是r,直线1与圆心0的距离为d,则有:
直线1和。
同位d 0相切导=r;直线1和。 0 相离d>ro 知识点二切线的判定和性质 (1)切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (2)切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径。 (3)切线的其他性质: 切线与圆只有一个公共点;切线到圆心的距离等于半径;经过 圆心且垂直于切线的直线必过切点;必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 知识点三切线长定理 (1)切线长的定义: 经过园外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。 (2)切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 (3)注意: 切线和切线长是两个完全不同的概念,必须弄清楚切线是直线,是不能度量的;切线长是一条线段的长,这条线段的两个端点一个是在圆外一点,另一个是切点。 知识点四三角形的内切圆和内心 (1)三角形的内切圆定义: 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 这个三角形叫做圆的外切三角形。 (2)三角形的内心: 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。 (3)注意: 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,所以当三角形的内心己知时,过三角形的顶点和内心的射线,必平分三角形的内角。 24.2.3岡和圆的位置关系 知识点一圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系有五种: ①如果两个圆没有公共点,就说这两个圆相离,包括外离和内含两种; Q)如果两个圆只有一个公共点,就说这两个圆相切,包括内切和外切两种; 3如果两个圆有两个公共点,就说这两个圆相交。 (2)圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示: 若设两圆圆心之间的距离为d,两圆的半径分别是1r2,且方Vr2,则有 两圆外离<=: >d>r1+r2两圆外切u>d=x\+r2圆相交<==>r2-r1 24.3正多边形和阿 知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切,把圆分成n(n是大于2的自然数)等份,顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。 正多边形的中心: 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 正多边形的半径: 外接圆的半径叫做正多边形的半径。 正多边形的中心角: 正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 正多边形的边心距: 中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二正多边形的性质 (1)正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。 (2)所有的正多边形都是轴对称图形,每个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都经过正n边形的中心;当正n边形的边数为偶数时,这个正n边形也是中心对称图形,正n边形的中心就是对称中心。 (3)正n边形的每一个内角等于("一2)x180。 中心角和外角相等,等于犯: 。 nn 24.4弧长和扇形面积 知识点一弧长公式1=缪 loO 在半径为R的圆中,360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2mR,所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式1=三X2兀R喋o 36JloO 知识点二扇形面积公式 在半径为R的圆中,360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=nR2,所以圆心角为n°的扇形的面积为S^=噤。 比较扇形的弧长公式和面积公式发现: S^=^-=—x-R=-IR;^s_=-IR 36018022>6形2 知识点三圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面,沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开,容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。 设圆锥的母线长为L底面圆的半径为“那么这个扇形的半径为L扇形的弧长为2叶,因此圆锥的侧面积晶哽=,20」=河。 圆锥的全面积为$“金=$僵哽+$底="+加。 25.1随机事件与概率 25.1.1随机事件 知识点一必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下,有些事件必然会发生,这样的事件称为必然事件;相反地,有些事件必然不会发生,这样的事件称为不可能事件;在一定条件下,可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。 必然事件和不可能事件是否会发生,是可以事先确定的,所以它们统称为确定性事件。 知识点二事件发生的可能性的大小 必然事件的可能性最大,不可能事件的可能性最小,随机事件发生的可能性有大有小。 不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 25.1.2概率 知识点概率 一般地,对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值,称为随机事 件A发生的概率,记作P(A)o 一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=竺。 由m和n的含义可知0 n WmWn,因此0W竺W1,因此OWP(A)WL n 当A为必然事件时,P(A)=1;当A为不可能事件时,P(A)=0. 25.2用列举法求概率 知识点一用列举法求概率 一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率P(A)=竺。 n 知识点二用列表发求概率 当一次试验要涉及两个因素并且可能岀现的结果数目较多时,为不重不漏地列岀所有可能的结果,通常用列表法。 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的
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