闭环零点对二阶系统阶跃响应的影响.docx
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闭环零点对二阶系统阶跃响应的影响
闭环零点对二阶系统阶跃响应的影响
论闭环零点对二阶系统暂态响应的影响摘要:
分析二阶系统的动态特性对研究自动控制系统的动态响应特性具有重要的意义。
实际工作中,在一定的条件下,忽略一些次要的因素,常可以把一个高阶系统降为一个二阶系统来处理。
二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡,但阻尼比ξ取值恰当,则系统既有响应的快速性,又有过渡过程的平稳性,因此在控制过程中常把二阶系统设计为欠阻尼。
在全面分析二阶系统之后,得出二阶系统动态变化,由此引入带零点的二阶系统,并分析欠阻尼状态下的二阶系统单位阶跃响应,并分析其上升时间、峰值时间、调节时间、最大超调量,与没有零点的二阶系统进行了动态特性的对比,以及零点位置的变化对各动态性能变化趋势最终找到闭环零点对实际二阶系统的作用效果。
关键词:
二阶系统动态特性响应指标
0.引言
欠阻尼振荡的二阶系统在实际中可以看成是稳定的系统,因此分析欠阻尼系统具有实际意义。
二阶系统的单位阶跃响应是反映二阶系统本质的重要表现形式。
在实际生产过程中,二阶系统总是能需要满足工程最佳参数的要求,但是通过改变开环放大系数的方法可能会增大系统稳态误差。
因此需要通过设置零点的方法从而达到既满足工程所需的阻尼比,又保证系统稳态精度的目的。
正是由于闭环零点对二阶系统如此重要,所以此文主要分析闭环零点对二阶系统单位阶跃响应的影响。
1(二阶系统
一个系统的阶次是由其最简闭环传递函数分母S的最高次项决定的。
二阶系统就是S的最高次项为2的闭环传递函数所对应的系统典型。
简单来说就是由二阶微分方程描述的系统就叫做二阶系统。
1.1二阶系统标准形式的结构图
图1-1二阶系统标准形式的结构图
由上图可知二阶系统的传递函数写成如下标准形式
2,n,,Ws,K,,ss,2,,n
2,n,,Ws,B22s,2,,s,,nn
1.2二阶系统单位阶跃响应
1,,Xs,当输入为单位阶跃信号时rs
2,n,,Xs,故c22,,ss,2,,s,,nn
取拉氏逆变换有
t,,,net,0,,,,Xt,1,sin,t,,?
cd21,,
2,1,2,,,1,,,其中,arctandn,
1.3二阶系统极点分布图
σ
ξ1、当>1时,(过阻尼)
ξ2、当0<<1时,(欠阻尼)
ξ3、当=1时,(临界阻尼)
ξ4、当=0时,(无阻尼)
ξ5、当<0时,(发散振荡)
ξ是二在不同的阻尼比时,二阶系统的动态响应有很大的差别,因此阻尼比
ξξ阶系统的重要参数,当<0时系统不可以正常工作,而在>1时,系统动态响应
进行得太慢,所以对二阶系统来说欠阻尼是最有实际意义的。
1.4二阶系统动态特性
1.4.1上升时间tr
,,Xt,1令?
中t,tcr
t,,,nre,,则有sin,t,,,0dr21,,
得
,,,,,,,?
tr2,1,,,dn
t1.4.2峰值时间m
dxt,,c令?
中则第一个峰值对应的时间,0dt
,,,?
tm2,1,,,dn
%1.4.3最大超调量
XX,,,,cmc由于且,,X,,1,%,,100%c,,X,c
,,21,,得?
%,e,100%
t1.4.4调节时间s
3,,t0,,,0.95%,s,,n
4?
,,t0,,,0.92%,s,,n
2.具有零点的二阶系统的动态分析
2.1具有零点的二阶系统结构图及传递函数带零点的二阶系统结构图:
2w(s,z)X(s)X(s)ncr22z(s,2ξws,w)nn
具有零点的二阶系统的闭环传递函数为:
12w(s,)2nw(τs,1)Xc(s)τnW(s),,,B221Xr(s)22s,2ξws,wnn(s,2ξws,w)nnτ式中τ——时间常数
1令=z,则上式可写为如下形式:
τ
2w(s,z)Xc(s)n,?
22Xr(s)z(s,2ξws,w)nn由式?
可得,其系统的闭环传递函数具有零点-z,是具有零点的二阶系统
将式?
分解,由
2wXr(s)snXc(s),Xc1,Xc1(s)得Xc1(s),22zs,2ξws,wnn
如图
sX(s)zr2X(s)cwn22s,2ξws,wnn1
2.2具有零点的二阶系统的单位阶跃响应
1Xr(s),为求其阶跃响应,设,取初始条件为零,则Xc1(s)和Xc(s)的拉氏s
反变换为
2w1,nx(t),,[]c122ss,ξws,w
(2)nn
dxt()s1,,11c1xt,,Xcs,,Xcs,xt,()[1()][1()]()?
cc1zzdt
求出?
中两项然后相加即得输出量,经过运算得
wt,ξ2n,,,zζw,el1ξ22nx(t),1,sin(1,ξwt,θ),wcos(1,ξwt,θ)?
,cnnn2zll1,ξ,,,,
上述式子中的l为极点与零点间的距离,在复平面上画出其位置(假设零点
在极点左侧):
jw
P-1wnlυθσ-ZZ
图1复平面上的零点与极点分布
由图1可知:
2z,ξww1,ξn222nl,z,p,(z,ξw),(w1,ξ),cosυ,sinυnn1ll
故式子?
可以写成:
wt,ξnel2?
,,x(t),1,sin1,ξwt,υ,θcn2z1,ξ
式子中:
2ξ1,θ,arctanξ
2w,ξ1nυ,arctanz,ξwn
22z,2zξw,wlnn,2zz
wξnr,令,又由图1知,r为闭环传递函数的复数极点的实部与零点实部z
之比,则得
l1222,,2rξ,rzξ
因此式子?
可以写为:
222,2rξ,rwt,ξ2nt,0?
x(t),1,esin(1,ξwt,θ,υ)cn2ξ1,ξ
由此计算得到了典型的具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式,即为公
式?
。
3.具有零点的二阶系统的动态性能指标由公式?
得到了具有零点的二阶系统的单位阶跃响应的公式:
222ξ,2rξ,rwt,ξ2nt,0x(t),1,esin(1,ξwt,θ,υ)cn2ξ1,ξ
3.1上升时间
x(t),1在公式?
中令t,t时,,得cr
222,2rξ,rwt,ξ2n=0esin(1,ξwt,θ,υ)n2ξ1,ξ
222,2ξ,rr,ξwtn但在t,,期间,即没有达到最终稳定之前,e>0,所以使2ξ1,ξ
22上式为0的原因是sin(1,ξwt,θ,υ)=0,因此讨论sin(1,ξwt,θ,υ)=0nn
所出现的情况。
2sin(1,ξwt,θ,υ)由=0得:
n
2=π1,ξwt,θ,υn
π,θ,υ11?
t,r21,ξwn
ξυξww由上式可以看出上升时间受到,,,θ的影响,当,,θ一定tnnr
υ的时候,上升时间只与有关。
tr
3.2峰值时间
t,t最大超调量发生在第一周期中时刻,即导数为0的时刻。
m
dxt()c,0dtt,tm
2ξ1,2得ξθυtan(1,wt,,),nξ
2,ξ12,ξwt,θ,υ,,nπ,nπ,θ1arctan因此nξ
2即1,ξwt,υ,nπnm
因为第一次达到最大值经过时间,因此n取值为1,当n=1时,
21,ξwt,υ,πnm
π,υ12t,?
m21,ξwn
12t有式子?
可以看出,的值随υ的值增大而减小。
m
3.3最大超调量σ%
xmx,()(),cc超调量=*100%x,()c
x(,)在单位阶跃输入下=1c
x(t)将t代入得mc
()ξπ,υ,21,ξelx(m)=1,sin(π,θ)c2z1,ξ
ξ(π,υ),2,ξ1el21,ξ=1+2z1,ξ
ξ(π,υ),2l1,ξe=1+z
则
ξ(π,υ),2l1,ξ*100%eδ%=z
最大超调量随υ的值增大而增大。
t3.4调节时间s
tx(t)x(,)调节时间是与稳态值之间的偏差达到允许的范围而不再超出的scc动态过程时间。
在动态过程中的偏差为
wt,ξne2,x,x(,),x(t),sin(1,ξwt,θ,υ)ccn21,ξ
当时采用近似计算法得到:
x,0.05或0.02
ξwtne(或0.02),0.052ξ1,
由此求得调节时间为:
3t(5%),,0<ξ<0.9sξwn
4t(2%),,0<ξ<0.9sξwn
w由上面的两个式子可以看出,具有零点的二阶系统的调节时间只与ξ和有n
关,与z的大小无关。
3.5振荡次数μ
tx(t)振荡次数是指在调节时间内,波动的次数。
根据这一定义可得振荡次sc数为:
tsμ,tf
2πt,其中即阻尼振荡的周期时间。
f21,ξwn
由上述公式可以看出,振荡次数μ只与与阻尼ξ和振荡角频率w有关。
n4.加入零点之后二阶系统的变化
未加入闭环零点时二阶系统的动态特性与存在闭环零点的二阶系统有很大
差别,在过渡工程开始阶段有较大影响。
4.1上升时间的变化
π,θ,υπ,θζ由与对比可得当阻尼系数和无阻尼振荡角t,t,rr221,ξωn1,ξwn
频率一定时,附加一个闭环零点时,上升时间tr减小,即使系统响应速度加快。
tm4.2峰值时间的变化
π
π,υξt=与对比可得当阻尼系数和无阻尼由t,mm221,ξωn1,ξwn
t振荡角频率一定时,存在闭环零点时,峰值时间峰值时间减小,并与上升时m间的时间减小量相同,是系统响应速度加快。
4.3最大超调量的变化
ξπξ(π,υ),,22l1,ξ1,ξ*100%eδ%=与公式δ%=相比可得e*100%z
ξπξ(π,υ),,2l21,ξ1,ξ*100%e设A=B=e*100%z
ξ(π,υ),2l1,ξ*100%eAz,ξπ,B21,ξ*100%e
υ2l1,ξe=z
将其转化成关于υ的函数关系
ζ得当阻尼系数和无阻尼振荡角频率一定时,加入闭环零点使系统的调节量略有
上升。
4.4调节时间的变化
w二阶系统的调节时间只与ξ和有关,与z的大小无关。
n
4.5振荡次数μ
w振荡次数μ只与与阻尼ξ和振荡角频率有关,因此振荡次数不受零点的位置n
影响,即与零点的大小无关。
5零点位置变化对二阶系统的影响5.1对上升时间的影响
π,θ,υ由公式可知t,r21,ξwn
ξωn当z>时,tr增大。
ξωn当z=时,υ=90度,此时tr最小。
ξωn当0
由此得出结论:
上升时间会随零点的左移而增大。
5.2对峰值时间的影响
同理可得当零点左移时峰值时间会增大。
5.3对最大超调量的影响
ξ(π,υ),2l1,ξ*100%e由公式δ%=可得,将其转化成关于υ的函数z
(,),,,,,,,,2当零点左移时减小,增大,减小1,e,
lzlsin,,由三角形正弦定理可知:
,则sinsin(,,)zsin(,,),,,,,,,所以当闭环零点左移时,最大超调量将减小。
5.4对调节时间的影响
系统的调节时间与零点的位置无关。
5.5振荡次数μ
w振荡次数μ只与与阻尼ξ和振荡角频率有关,因此振荡次数不受零点的位置n
影响。
6.总结分析
通过上述分析可以看出,有具有零点的二阶系统的响应指标与无零点的系统
tw有很大的差别。
无零点的上升时间只与阻尼ξ和振荡角频率有关,而在具sn有零点的二阶系统中,上升时间还与零点的实部有关,即零点离虚轴越近上升时
ξwnr,间越小。
由可知,r值越大,振荡性就越强。
最大超调量σ%也与零点的z
3位置有关,z值越小,υ值越大,影响t的值变小。
调节时间只与t(5%),msξwn
w阻尼ξ和振荡角频率有关,所以不受零点位置的影响,同样,振荡次数也不n
受其影响。
参考文献:
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清华大学出版社(19905.张元林,积分变换([M]北京:
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