第8章高斯平面直角坐标.docx
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第8章高斯平面直角坐标
第八章高斯平面直角坐标
§1正形投影的基本公式
一、地图投影的概念
1.投影的必要性及其方法
①投影的必要性:
测量工作的根本任务,是测定地面点的坐标和测绘各种地形图。
因:
1)椭球面上计算复杂;2)地图是画在平面图纸上,故,有必要将椭球面上的坐标、方向、长度投影到平面上。
②投影的方法:
按一定的数学法则,得到如下的解析关系(函数关系)
x=F1(B,L)
y=F2(B,L)
式中B,L——椭球面上的大地坐标
x,y——投影平面上的直角坐标
按高斯投影方法得到的平面直角坐标x,y叫高斯平面直角坐标。
2.投影的分类
椭球面是不可展开的曲面(圆柱,圆锥面是可展开曲面)。
若展开成平面,必产生变形。
投影按变形的性质可分为:
等距离投影━投影后地面点见的距离不变
等面积投影━保证投影后面积不变
等角投影━投影后微分范围的形状相似
3.测量采用的投影
测量工作从计算和测图考虑,采用等角投影(又称正形投影、保角投影)。
其便利在于:
1)可把椭球面上的角度,不加改正地转换到平面上。
(注:
椭球面上大地线投影到平面上亦为曲线。
为实用,需将投影的曲线方向改正为两点间弧线方向,称方向改化。
方向改化是在平面上为实用而做的工作,非投影工作。
且:
①改化小,公式简单;②只在等级控制改化,图根控制、测图不顾及)
2)因微分范围内投影前后图形相似,则大比例尺图的图形与实地完全相似,应用方便。
二、正形投影
1.正形投影的特性
有微分三角形如图:
对于保角投影:
A′=A;B′=B;C′=C
所以长度比
故,正形投影在一个点(微分范围)上,各方向长度比相同。
即投影后保持图形相似。
例如下图,对一个任意形状的微小图形,总可以取一个边数极多的中点多边形逼近它,对于正形投影:
但上述特点只在微分范围内成立。
在广大范围内,投影前后图形保持相似是不可能的(否则意味着椭球面可以展开)。
因此,在大范围内,各处的长度比m必定不同。
结论:
正形投影的特性:
长度比m与方向无关,但随点位而异。
2.正形投影基本公式(充要条件)
设椭球面上有无限趋近的两点P1,P2
椭球面上:
P1(B,L)
P2(B+dB,L+dL)
大地线长度dS
投影面上:
p1(x,y)
p2(x+dx,y+dy)
大地线长度的投影ds
投影长度比为:
下面分别推导上式中dS和ds:
(dS和ds为曲线,但对微分线段,将其看成各自三角形的斜边)
dS2=(MdB)2+(NcosBdl)2
=(MdB)2+(rdl)2
=r2[(
dB)2+(dl)2]
引入等量纬度
,则dq=(
)dB
(引入等量纬度纯粹为了推导公式方便)
dS2=r2[(dq)2+(dl)2]
另:
x=F1(B,L)
y=F2(B,L)
因q与B有确定的关系,l与L有确定的关系,所以有:
x=f1(q,l)
y=f2(q,l)
微分得:
故:
令:
则:
ds2=Edq2+2Fdq.dl+Gdl2
故:
⑴
由微分三角形知:
所以:
dl=dq·tanA⑵
将⑵代入⑴得:
欲使投影为正形投影,长度比m应与方向(A)无关。
为此:
令:
F=0;E=G
即:
⑶
⑷
则上式为:
(可看出m与方向无关)
由⑶式可解得:
⑸
⑸式代入⑷得:
⑹
⑹式开平方得:
⑺
⑺取正号代入⑸得:
⑻
(注:
⑺式取正号意义是:
选取椭球面和平面坐标轴方向时,要求在经线方向上q增加时,平面上x也增加;沿纬线方向l增加时,y也增加)
故,椭球面到高斯平面上的正形投影公式(柯西黎曼方程):
(此即正形投影的充分必要条件)
3.证明复变函数x+iy=f(q+il)当f′存在、且≠0时亦为正形投影
证明如下:
基本投影公式x=F1(B,L)
y=F2(B,L)
亦可写成x=f1(q,l)
y=f2(q,l)
用复变函数形式写出为x+iy=f(q+il)(q+il—复变数;
)
令x+iy=z
q+il=u
则z=f(u)
求导
⑼
⑽
由⑼、⑽式可得
⑾
因z=x+iy
故
⑿
⒀
将⑿、⒀式代入⑾式得
⒁
⒁式虚实分开
此即柯西黎曼方程。
证毕。
练习及作业:
1、阅读
§8.1,§8.2
2、理解:
①、投影的必要性及方法。
②、投影的分类及测量采用的投影类型。
③、正形投影的特性。
§2高斯投影及高斯平面直角坐标
一、高斯投影的一般解释及其特性
1.高斯投影的几何意义
高斯投影的几何意义是横轴椭圆柱正形投影。
设想一横椭圆柱面套在椭球上,与某一子午线(称轴子午线或中央子午线)相切。
椭圆柱的中心轴通过椭球中心,且与椭球短轴垂直。
2.高斯投影的特性
①高斯投影是正形投影;
②中央子午线投影后应为x轴,且长度不变。
3.高斯投影的一般解释
轴子午线投影到椭圆柱面上展开为x轴。
以O为投影中心,将赤道上各点投影到椭圆柱面上,为一长度变形直线。
它垂直于x轴,称为y轴。
椭球上任一段大地线S,以O为投影中心在横椭圆柱上投影为s,s≠S。
长度变形m-1恒为正(轴子午线投影除外)。
椭球上大地点P的坐标(B,L),与投影后的坐标(x,y),在B,L和x,y之间建立函数关系,即高斯投影。
将中央子午线东西各一定的经差(6°、3°、1.5°)范围投影到椭圆柱面上,展开后构成高斯平面直角坐标系;每个投影带构成一个独立的坐标系统,各带的计算具有一样性。
4.控制网从椭球面上投影到高斯平面上的投影计算工作
①起算数据投影
椭球面上已知元素:
P1(B1,L1);S;A12;
投影到高斯平面上:
p1(x1,y1);s;A12;
(平面上方位角为:
T12=A12-r-δ;r:
平面子午收敛角;δ:
方向改化)
②观测数据计算:
δ
二、高斯投影正算﹝由大地坐标B、L计算平面坐标x、y﹞
1.高斯正算基本公式
高斯正算公式应满足高斯投影的特性。
首先,应满足正形投影。
取投影基本公式为:
x+iy=f(q+il)
因l在6°带里最大为3°,是微小量,所以,f(q+il)可用台劳级数展开:
(台劳级数一般形式:
f(x+⊿)=f(x)+⊿f′(x)+(1/2)⊿2f″(x)+(1/3!
)⊿3f3(x)…)
故有:
设图中,轴子午线上D投影为d;D的子午线弧长为X;d的纵坐标为x。
若满足高斯投影中央子午线投影为x轴,且长度不变的特性,即:
l=0时,y=0;且x+iy=f(q+il)为:
x=f(q)=X
台劳展开x+iy=f(q+il),并顾及上式:
将上式虚实两部分分开,得高斯正算基本公式:
2.高斯正算实用公式
由基本公式推导实用公式如下:
一阶导数
(因dX=MdB;dq=(
)dB)
二阶导数
继续求各阶导数,将X对q的各阶导数代入基本公式,得高斯正算实用公式
(8-41,8-42)
式中:
t=tanB;η=e′2cos2B
由上式可知:
1)当B=0(X=0)时,x=0(赤道投影为一直线)
2)当l=0时,y=0(轴子午线投影为一直线——x轴)
x=X(轴子午线投影,长度不变)
3)当l=常数,B↑,y↓
B=常数,∣l∣↑,x↑
(8-42式计算精度可达1mm)
三、高斯投影反算(由平面直角坐标x、y反算大地坐标B、L)
有时要跨带计算两点间的距离S,这时根据两点的大地坐标,在椭球上解算更为方便;有时要用反算检核正算的正确性。
故推导反算公式如下。
见图。
过d(x,y)点的纬度为B,对应纬度B,轴子午线弧长为X,有X=f(B);对应d点的纵坐标,即d点在x轴的垂足f,纬度为Bf(称底点纬度或垂足纬度)。
高斯投影反算,必满足x+iy=f(q+il)之反函数式,即
q+il=ϕ(x+iy)
y为小量,上式可在d的底点f处台劳展开
根据高斯投影条件:
中央子午线投影为x轴,且长度保持不变,有y=0,则l=0,即ql=0=ϕ(x),且x=Xf,故ql=0=ϕ(Xf)=qf,于是上式改写成
根据
,推导出各阶导数代入上式,并将虚实分开得
实际应用上式时,还应把q-qf换成B-Bf(过程可参见武测、同济合编《控测》下),经整理得
式中,Bf是底点f的大地纬度,可根据x值(f点的子午弧长)由子午弧长公式反解求得。
﹡子午线弧长反解公式详见朱华统教授著《常用大地坐标系及其变换》第二章,第五节,P47、P48;或教材P18,7.4.2式7-109,7-110。
四、平面子午收敛角γ的计算
平面子午收敛角定义:
通过P点的子午线投影在平面上有一切线,该切线与坐标北的夹角为平面子午线收敛角。
由右图知
又x=f1(B,L)
y=f2(B,L)
有
图中:
B=C·t(常数)≠0,故dB=0
故
由正算公式
分别对l求导,代入上式得
﹡
为使用方便,变换形式。
令:
tanγ=u,则γ=arctanu,展开得
γ=u-(1/3)u3+(1/5)u5-…
即
将﹡式代入上式,整理得平面子午线收敛角计算公式
8-81
(注:
γ为奇函数,与l符号一致)
五、长度比、长度变形及投影带的划分
1.长度比和长度变形
定义:
投影的长度比为
投影的长度变形为m-1
由右图微分三角形知:
由正算公式
得
①
由子午线收敛角推导知
②
将①、②式代入m2式,则用B,L(l=L-l0)计算长度比的公式为
③
将反算公式
代入上式,得
顾及
,(η=e′cosB是微小值);N4≈R4;则用x、y计算长度比的公式为
④
由③、④式可以表明:
1)长度比m随点的位置而异,但在一点上与方向无关;
2)当l=0,y=0时,m=1,即中央子午线投影的长度不变;
3)±l≠0,±y≠0时,m>1,即s总是大于S(中央子午线除外);
4)变形与l2、y2成比例地增大,即愈远离轴子午线,变形愈迅速增大。
2.投影带的划分
①投影带的划分
长度变形是客观存在的,不能将它完全消除,只能对其合理地加以限制,使其在用图和测图时影响很小,以致可以忽略。
为此采用分带投影,即:
取轴子午线两侧适当范围(两条边缘子午线为界),投影到与轴子午线相切横椭圆柱面上。
而该范围以外地区,另设中央子午线投影。
以此控制投影后长度变形不超过一定限度。
我国国家投影带为六度带和三度带,三度带是六度带的加密,如图:
根据③式,长度变形m-1=(1/2)l2cos2B(取该式主项),算得在我国北纬B=20°以南地区,位于六度带边缘处(l=3°),长度变形可达1/820。
故,只有1/2.5万至1/10万国家基本图才采用六度带。
而1/万地形图在六度带边缘地区图廓长度约5km,则长度变形约6m,引起图上0.6mm变形,这是绝对不允许的,故1/万或更大比例尺地形图规定采用三度带。
北纬B=20°处,三度带边缘地区(l=1.5°),变形约为1/3300,对1/2000地形图,图廓长度约1km,将引起0.3m的变形,图上变形0.15mm,勉强满足1/2000地形测图的要求。
对1/1000、1/500地形图,根据其长度变形情况(测区B、L),往往采用1.5度带或独立投影带。
②高斯投影带带号和中央子午线的关系:
1)已知带号求中央子午线经度:
设中央子午线经度为L0,若已知带号(六度带)N和(三度带)n,则:
六度带:
L0=6N-3
三度带:
L0=3n
2)已知点的经度L求其带号:
六度带:
N=(L+3)/6
三度带:
n=L/3
(按四舍五入取整数确定带号)
③坐标算法的规定:
为避免y值出现负号(我国位于北半球,x均为正),造成抄录成果出错,规定在y值上人为地加上500km;为了区别不同投影带,前面再冠以带号(我国领土经度自东经75°~135°,按6°带,包含13~23带;按3°带,包含了24~46带,相互无重合。
因此,观其带号,不须注明即可知是6°带亦或3°带)
例:
y=20499799.75m,该点在6°带第20带,y=-200.25m。
y=36517148.26m,该点在3°带第36带,y=17148.26m。
④投影带的重叠度
为了拼图和使用方便,规定每六度带向东加宽30′,向西加宽15′或7.5′,从而保证在重叠部分有两套坐标和两套地形图。
练习及作业:
1、阅读:
①、教材§8.1-8.5。
②、《高斯-克吕格投影坐标计算表》
2、思考:
①、高斯投影的几何意义及一般解释。
②、高斯投影的特性。
③、高斯投影的计算工作包括那些?
④、我国投影带采用的幅宽为多少?
如何分带?
⑤、测图时如何选用投影带?
⑥、推导带号和经度的关系。
⑦、坐标写法有何规定?
3、作业:
已知:
B=35°04′42.9854″,L=118°22′49.9705″,进行高斯投影正算,并以反算进行检核。
(分别按克氏椭球和IAG-75椭球计算)
§3椭球面上的观测结果化归到高斯平面上
控制网由椭球面归化到高斯平面上的内容有:
起算数据:
P1(L1,B1)→p1(x1,y1)
A12→A12;使用T12=A12-γ1+δ12
S12→s12
观测数据:
lik→Lik=lik+δik
在国家三﹑四等及城市、工程控制网中,往往起算坐标和方位角,均为高斯平面上数值。
实际工作中只遇到大量方向改化δ的计算和一定数量的距离改化计算。
一、方向改化δ的计算
1.球面角超的概念
对于球面闭合三角形
α+β+γ=180°+ε
球面角超
ε=α+β+γ-180°
球面角超数值的概念
a=b=c=2km时,ε=0.009″
a=b=c=10km时,ε=0.22″
a=b=c=50km时,ε=5.48″
球面角超的计算:
由球面三角可知
式中F——球面三角形的面积,R——球面平均曲率半径
由球面三角面积公式
故
﹡
式中R——球面的曲率半径
α′——平面归化角
根据洛戎德尔定理α′=α-ε/3
β′=β-ε/3
γ′=γ-ε/3
在计算ε″时,平面归化角α′还是未知数,故可用α代替α′,两次趋近求ε:
1)用α代替α′计算ε的第一次近似值ε1″,得平面归化角近似值α1′=α-ε1″/3,
2)用α1′代替α′计算ε的第二次近似值。
当ε<17″、边长<90km时,﹡式中第二项为小项,可以忽略不计,且可用α、β、γ代替平面归化角α′、β′、γ′,即:
2.方向改化的计算
方向改化近似公式(推导中有三点近似)如下:
近似①:
设椭球为一直径为R的圆球,则:
球面上四边形(两大圆弧之间)的内角和为:
2×180°+ε1+ε2
投影到平面上四边形的内角和为:
2×180°+δ12+δ21
因为是高斯投影(正形投影)。
故投影后保证
2×180°+ε1+ε2=2×180°+|δ12|+|δ21|
即ε1+ε2=|δ12|+|δ21|
近似②:
设|δ12|=|δ21|=δ
则ε1+ε2=2δ
故:
近似③:
设两球面面积,等于两平面面积,则
(
)
以上讨论的是绝对值。
考虑到符号,(下式可直接加到方向值上)δ的计算公式如下:
(上式适用三等以下网)
详细公式
(上式适用二等网)
由上式可知,大地线在平面上的投影凹向轴子线。
为了对方向改化δ有一个数值的概念,参见p82,表8-5。
3.方向改化的检核
因A′=A+(δ13-δ12)=A+δA
B′=B+(δ21-δ23)=B+δB
C′=C+(δ32-δ31)=C+δC
所以A′+B′+C′=A+B+C+δA+δB+δC
即180°=180°+ε+δA+δB+δC
故δA+δB+δC=-ε
4.计算方向改化δ所需坐标x、y的精度
已知
微分得
若令d(x1-x2)=dym=dP
则
对于二等网,方向值精确到0.1〞,改正数取至0.01〞。
取:
dδ=0.01〞;ym=350km(6°带边缘);R=6370km;(x1-x2)=13km
算得:
dP=10.8m
故:
近似坐标取至10m,计算过程中取至米即可。
对于三、四等网,方向值精确到1〞,近似坐标取至100m,计算过程中取至10m已足够了。
二、距离改化的计算
将椭球面上的大地线长度归化为平面上的弦线长度,此即为距离改化。
1.投影后的曲线s与两点间的直线D的长度关系
取距离的微分段如图:
;dD=cosυds
又:
可知:
υmax=δ(δ——方向改化)
故:
(此项极小)
所以cosυ≈1,即D≈s,亦即:
大地线的投影s可做为弦线长度D。
2.距离改化的计算
由Simpson近似积分公式,将积分区间n等分时
将积分区间二等分时
设有大地线如图
;ds=mdS
利用Simpson积分(积分区间二等分)
将长度比
代入上式得
式中ym=(y1+y2)/2
⊿y=(y2-y1)
故,距离改化
上式当S<70km,ym<350km时,计算误差<1mm,适用一等边长。
二等边长的实用公式,即将上式中ym4项舍去;三、四等边长的实用公式,可进一步将⊿y2项舍去。
3.计算所需近似坐标的精度
由距离改化的主项
微分得
根据《城市测量规范》,取d⊿S=0.1mm(二等);d⊿S=1mm(三等),S=9km(二等);S=5km(三等),取Rm=6371km,ym=350km,则
dym(二等)=1.29m;dym(三等)=23m
故,在计算近似坐标时,二等应正确至米,计算过程中取至分米;三等、四等可正确至10m,计算过程中取至米。
练习及作业:
1、阅读
§8.6,8.7
2、思考
①、椭球面上元素化算到高斯平面上都有哪些?
②、什么是方向改化?
其公式形式?
③、大地线投影在高斯平面上是什么形状?
何以证明?
④、方向改化计算如何检核?
⑤、什么是距离改化?
其公式形式?
⑥、方向、距离改化所用近似坐标精度如何?
如何推算?
§4相邻投影带的坐标换算
一、相邻投影带的坐标换算的实质
解决相邻带之间的联系。
即:
已知P点西带坐标x1、y1,求其东带坐标x2、y2;
已知P点东带坐标x2、y2,求其西带坐标x1、y1。
二、相邻带换算的用途
1、A点的坐标换算到第Ⅱ带,统一到第Ⅱ带网中使用。
(6°←→6°、3°←→3°)
2、将较宽带坐标换算到较窄带上,得到较小的长度变形。
(6°←→3°、3°←→1.5°、1.5°←→独立带等)
三、坐标换算方法
1.间接法
坐标换算程序为:
x1,y1→反算→B,l1→B,l2→正算→x2,y2。
此方法经过正、反两次运算,工作量较大。
但目前应用电算,工作量大已不成问题。
2.直接法
直接法公式推导思路如下:
①变“一点两带”问题,为“两点一带”问题
选一与P1对称于边缘子午线的“对称点”P2,如图。
B2=B1;∣+l∣=∣-l∣;P1点东带的坐标为x2,y2;P2点在西带的坐标为x2′,y2′。
由图可知
x2=x2′;∣y2∣=∣y2′∣
故,换带计算求x2,y2,归结为求x2′,y2′。
②变坐标换算为坐标增量计算
在边缘子午线上,选取辅助点M(x0,y0),辅助点是已知的。
因P1、P2对分界子午线对称,所以MP1=MP2=S;AMP1=A1,AMP2=360°-A1;x0,y0及γ0可按半带经差及选定之B0算出。
由图可知:
⊿x1=x1-x0=D1cosT1
⊿y1=y1-y0=D1sinT1
(1)
⊿x2′=x2′-x0=D2cosT2
⊿y2′=y2′-y0=D2sinT2
(2)
式中:
Ti——弦长Di的坐标方位角,为方便,选M点时使T1=270°。
代入
(1)有
⊿x1=x1-x0=0
⊿y1=y1-y0=-D1(3)
又T2=A2-γ0+δ2
=(360°-A1)-γ0+δ2
=(360°-(T1+γ0)-γ0+δ2
=90°-(2γ0-δ2)(4)
至此,求出δ2则由(4)式可求得T2。
若再求得D2,则可由
(2)式求得⊿x2′,⊿y2′,从而求出x2′,y2′,进而求出x2,y2。
由距离改化公式
;
两式相除,忽略四次方以上各项,得
略去
项,得
(5)
将(3)(4)(5)式代入
(2)式,得
(6)
而sin(2γ0-δ2)=sin2γ0-cos2γ0δ2(7)
又
略去
项,得δ2=-(y0/2R2)⊿x2′(8)
将(7)(8)代入(6)得
同理
(9)
(9)式含未知数⊿x2′,⊿y2′不能直接应用,可用逐次趋近法(以(9)右端第一项作为⊿x2′,⊿y2′的近似值代入上式)求解。
由图(a)(c)可知:
x2=x0+⊿x2′
y2=-(y0+⊿y2′)
在上面公式推导中,只推求了公式的主项,实际上公式的系数要复杂得多。
为方便实用,已编制出《高斯-克吕格坐标换带表》,供6°←→6°、6°←→3°、3°←→3°之间换算。
四、应用换带表进行换带计算的实用公式
1.查表法换带计算公式(保证1mm坐标精度)
对3°带换带表,⊿y1>80km;对6°带换带表,⊿y1>60km,采用严密(修正项σ)公式如下
x2=x1+{m+(m1+m2⊿y1)⊿y1}⊿y1+σx
y2=y0+{n+(n1+n2⊿y1)⊿y1}⊿y1+σy
对3°带换带表,⊿y1<80km;对6°带换带表,⊿y1<60km,采用修正项为δ公式如下
x2=x1+(m+m1⊿y1)⊿y1+δx
y2=y0+(n+n1⊿y1)⊿y1+δy
式中x1,y1——已知点P的坐标
x2,y2——待求坐标(P点在相邻带的坐标)
x0,y0——辅助点在西带的坐标,x0=x1,y0永为正值(以x1为引数查表方法见下)
m、m1、m2、n、n1、n2——换带系数,以x1为引数查表
δx、δy、σx、σy——坐标修正项,以x1,⊿y1为引数查表
⊿y1=±y1-y0(y1即P点y坐标自然值)
2.符号说明
西→东,规定:
⊿y1=+y1-y0
东→西,规定:
⊿y1=-y1-y0
西→东,计算得y2应为负值;
东→西,计算得y2应为正值。
3.查表方法
例:
y0=表列y0+⊿Xkm{δy0+d(δy0)}(以x1为引数查表)
式中⊿Xkm——已知点的纵坐标x1,与略小于x1的表列引数之差
δy0——对应每公里⊿Xkm,y0的变化值
d(δy0)——δy0的修正值
参见武测、同济合编教材下册P129:
①⊿y1>80km,采用修正项σ的公式
②以3274km查取表列y0值:
145353.1538;δy0=-12.9244(m)
③⊿X=1.110535km=1110.535m,以⊿Xm引数查右边小表得:
d(δy0)=0.0020m
代入上式得:
y0=145338.7986
⊿y1=y1-y0=90.0984344km(>80km)
至此,根据⊿y1是否大于80km,确定用修正项(δ或σ)公式。
练习及作业:
1、阅读
①、参考阅读:
教材§8.8
②、孔
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