届高考理科数学知识点题组训练题39.docx
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届高考理科数学知识点题组训练题39
题组层级快练(六十八)
1.关于正态曲线性质的叙述:
①曲线关于直线x=μ对称,这个曲线在x轴上方;
②曲线关于直线x=σ对称,这个曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴上方;
③曲线关于y轴对称,因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数;
④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;
⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定;
⑥σ越大,曲线越“矮胖”,σ越小,曲线越“高瘦”.
上述说法正确的是( )
A.只有①④⑤⑥ B.只有②④⑤
C.只有③④⑤⑥D.只有①⑤⑥
答案 A
2.(2016·衡水调研卷)衡水市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为φμ,σ(x)=
e-
(x∈R),则下列命题不正确的是( )
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学成绩标准差为10
答案 B
解析 由密度函数知,均值(期望)μ=80,标准差σ=10,又曲线关于直线x=80对称,故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同.所以B项是错误的.
3.(2015·湖北理)设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),这两个正态分布密度曲线如下图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(Y≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t)D.对任意正数t,P(X≥t)≥P(Y≥t)
答案 C
解析 由正态分布密度曲线的性质可知,X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22)的密度曲线分别关于直线x=μ1,x=μ2对称,因此结合题中所给图像可得,μ1<μ2,所以P(Y≥μ2)
P(X≤σ1),B错误.对任意正数t,P(X≤t)≥P(Y≤t),P(X≥t)≤P(Y≥t),C正确,D错误.
4.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),则“P(-2≤ξ≤2)=0.9”是“P(ξ>2)>0.04”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 由P(-2≤ξ≤2)=0.9可知P(ξ>2)=
=0.05>0.04;反之不一定成立,因此选A.
5.(2016·广东惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),则a=( )
A.3B.
C.5D.
答案 D
解析 因为ξ服从正态分布N(3,4),P(ξ<2a-3)=P(ξ>a+2),所以2a-3+a+2=6,a=
,故选D.
6.(2016·湖北荆州中学第一次质检)若随机变量X~N(1,4),P(X≤0)=m,则P(0 ( ) A.1-2mB. C. D.1-m 答案 A 解析 因为随机变量X~N(1,4),所以正态曲线的对称轴为x=1,因此P(0 7.(2016·山东聊城重点高中联考)已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ)和(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服,经统计,学生的身高(单位: cm)服从正态分布(165,52),则适合身高在155~175cm范围内的校服大约要定制( ) A.683套B.954套 C.972套D.997套 答案 B 解析 P(155<ξ<175)=P(165-5×2<ξ<165+5×2)=P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.4%. 因此服装大约定制1000×95.4%=954套.故选B. 8.(2016·皖南十校联考)在某市2015年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约9450人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第多少名? ( ) A.1500B.1700 C.4500D.8000 答案 A 解析 因为学生的数学成绩X~N(98,100),所以P(X≥108)= [1-P(88 [1-P(μ-σ (1-0.6826)=0.1587,故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×9450≈1500名,故选A. 9.(2016·南昌调研)某单位1000名青年职员的体重x(单位: kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布的密度曲线如图所示,若体重在58.5~62.5kg属于正常,则这1000名青年职员中体重属于正常的人数约是( ) A.683B.841 C.341D.667 答案 A 解析 ∵P(58.5 10.(2016·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64),则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( ) A.0.3%B.0.23% C.1.5%D.0.15% 答案 D 解析 依题意,得μ=116,σ=8,所以μ-3σ=92,μ+3σ=140.而服从正态分布的随机变量在(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为 =0.15%.故选D. 11.如果随机变量X的概率分布密度函数是φμ,σ(x)= e- (x∈R),那么E(2X-1)=________. 答案 -5 解析 σ=2,μ=-2,E(2X-1)=2E(X)-1=2×(-2)-1=-5. 12.(2016·山东青岛一模)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ>1)=a,a为常数,则P(-1≤ξ≤0)=________. 答案 -a 解析 由正态曲线的对称轴为ξ=0,又P(ξ>1)=a,故P(ξ<-1)=a.所以P(-1≤ξ≤0)= = -a,即答案为 -a. 13.(2016·沧州七校联考)2015年中国汽车销售量达到1700万辆,汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响,各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量,某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况,共抽查了1200名车主,据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升,并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N(8,σ2),已知耗油量ξ∈[7,9]的概率为0.7,那么耗油量大于9升的汽车大约有________辆. 答案 180 思路 首先根据题意确定正态分布的对称轴,利用正态曲线的对称性即可求得ξ>9的概率,利用概率来估计样本中满足条件的汽车数量. 解析 由题意可知ξ~N(8,σ2),故正态分布曲线以μ=8为对称轴.又因为P(7≤ξ≤9)=0.7,故P(7≤ξ≤9)=2P(8≤ξ≤9)=0.7,所以P(8≤ξ≤9)=0.35.而P(ξ≥8)=0.5,所以P(ξ>9)=0.15.故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15=180辆. 14.已知某种零件的尺寸ξ(单位: mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,且f(80)= . (1)求概率密度函数; (2)估计尺寸在72mm~88mm间的零件大约占总数的百分之几? 答案 (1)φμ,σ(x)= e- (2)68.26% 解析 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值. 因此得μ=80, = ,所以σ=8. 故密度函数解析式是φμ,σ(x)= e- . (2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88. 所以零件尺寸ξ位于区间(72,88)内的概率是0.6826. 因此尺寸在72mm~88mm间的零件大约占总数的68.26%. 15.(2016·湖北武汉模拟)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示: 全市100000名男生的身高服从正态分布N(168,16).现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高,测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间,将测量结果按如下方式分成6组: 第1组[160,164),第2组[164,168),…,第6组[180,184],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身高状况; (2)求这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数; (3)在这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人中任意抽取2人,将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ,求ξ的数学期望. 参考数据: 若ξ~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.6826, P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544, P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.9974. 答案 (1)168cm (2)10人 (3) 解析 (1)由频率分布直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为(162× +166× +170× +174× +178× +182× )×4=168.72,高于全市的平均值168cm. (2)由频率分布直方图知,后3组频率为(0.02+0.02+0.01)×4=0.2,人数为0.2×50=10,即这50名男生身高在172cm以上(含172cm)的人数为10. (3)∵P(168-3×4<ξ≤168+3×4)=0.9974, ∴P(ξ≥180)= =0.0013. ∴0.0013×100000=130. ∴全市前130名男生的身高在180cm以上,这50人中180cm以上的有2人. 随机变量ξ可取0,1,2,于是 P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = , P(ξ=2)= = , ∴E(ξ)=0× +1× +2× = . 16.(2013·湖北理)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0. (1)求p0的值; (参考数据: 若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ (2)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务,每车每天往返一次.A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队,并要求B型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客,且使公司从甲地去乙地的营运成本最小,那么应配备A型车,B型车各多少辆? 答案 (1)0.9772 (2)A型车5辆,B型车12辆 解析 (1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502),故有μ=800,σ=50,P(700 由正态分布的对称性,可得 p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800 + P(700 (2)设A型,B型车辆的数量分别为x,y辆,则相应的劳动成本为1600x+2400y. 依题意,x,y还需满足x+y≤21,y≤x+7,P(X≤36x+60y)≥p0. 由 (1)知,p0=P(X≤900),故P(X≤36x+60y)≥p0等价于36x+60y≥900. 于是问题等价于求满足约束条件 且使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x,y. 作可行域如图所示,可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12),Q(7,14),R(15,6). 由图可知,当直线z=1600x+2400y经过可行域的点P时,直线z=1600x+2400y在y轴上截距 最小,即z取得最小值. 故应配备A型车5辆,B型车12辆. 1.(2015·湖南理)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A.2386B.2718 C.3413D.4772 答案 C 解析 由题意可得,P(0 P(-1 = = ,则n=3413,选C. 2.某省实验中学高三共有学生600人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100,σ2),统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人 数约占总人数的 ,则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人. 答案 100 解析 ∵数学考试成绩ξ~N(100,σ2),作出正态分布图像,可以看出,图像关于直线x=100对称.显然P(80≤ξ≤100)=P(100≤ξ≤120)= ;∴P(ξ≤80)=P(ξ≥120).又∵P(ξ≤80)+P(ξ≥120)=1-P(80≤ξ≤100)-P(100≤ξ≤120)= ,∴P(ξ≥120)= × = ,∴成绩不低于120分的学生约为600× =100(人). 3.某市有210名学生参加一次数学竞赛,随机调阅了60名学生的答卷,成绩列表如下: 成绩(分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 0 0 0 6 15 21 12 3 3 0 (1)求样本的数学平均成绩及标准差; (2)若总体服从正态分布,求此正态曲线近似的密度函数. 解析 (1)平均成绩 = (4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6, S2= [6×(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.5,S=1.22. 即样本平均成绩为6分,标准差为1.22. (2)以 =6,S=1.22作为总体学生的数学平均成绩和标准差估计值,即μ=6,σ=1.22.正态曲线密度函数近似地满足y= e- .
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- 高考 理科 数学知识 点题 组训 39