概率论和数理统计知识点与练习题集.doc
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第一章概率论的基本概念
§1.2概率的定义
一、概率的性质
(1).
(2),.
(3).
(4).
(5).特别地,若,,.
例设为随机事件,,则
解:
§1.4条件概率
一、条件概率
定义设是两个事件,且,称=为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。
二、全概率公式
全概率公式:
为样本空间的一个事件组,且满足:
(1)互不相容,且;
(2).
则对中的任意一个事件都有
A1
A2
…
…
…
…
…
An
B
例设有一仓库有一批产品,已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的,且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为,现从这批产品中任取一件,求取得正品的概率?
解以、、表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”;以表示事件“取得的产品为正品”,于是:
按全概率公式,有:
三、贝叶斯公式
设是样本空间的一个事件,为的一个事件组,且满足:
(1)互不相容,且;
(2).
则
这个公式称为贝叶斯公式。
例:
有甲乙两个袋子,甲袋中有4个白球,5个红球,乙袋中有4个白球,4个红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋,搅匀后再从乙袋中任取一球,
(1)问此球是红球的概率?
(2)若已知取得的是红球,则从甲袋放入乙袋的是红球的概率是多少
?
解:
设A1表示从甲袋放入乙袋的一球是红球,则`A1表示从甲袋放入乙袋的一球是白球,设A2:
表示从乙袋取的一球是红球,则
.
§1.5事件的独立性
一、事件的独立性
定义.若两事件,满足,则称,相互独立。
第二章随机变量及其分布
§2.1一维随机变量
一、随机变量与分布函数
定义设为一随机试验,为的样本空间,若,为单值实函数,则称为随机变量。
S
e
XX
R
X
x
x
o
定义设为一个随机变量,为任意实数,称函数为的分布函数。
分布函数的性质
(1).
(2)是自变量的非降函数,即当时,必有.因为当时有,从而.
(3)对自变量右连续,即对任意实数,
§2.2一维离散型随机变量
一、离散型随机变量
定义离散型随机变量只可能取有限个或可列个值,设可能取的值为.
定义设离散型随机变量可能取的值为,且取这些值的概率为:
(
则称上述一系列等式为随机变量的分布律。
由概率的定义知,离散型随机变量的概率分布具有以下两个性质:
(1)(非负性)
(2)(归一性)
二、几种常用的离散型分布
1.0—1分布
如果随机变量只可能取0和1两个值,且它的分布列为,则称服从0—1分布。
其分布律为:
10
1-
2.二项分布
如果随机变量只可能取的值为0,1,2,…,n,它的分布律为,(其中,则称服从参数为的二项分布,记为
3.泊松分布
如果随机变量所有可能取的值为0,1,2,…,它取各个值的概率为,其中是常数,则称服从参数为的泊松分布,记为.
例:
设,则
例:
设随机变量,则.
§2.3连续型随机变量的概率密度
一、概率密度的概念
定义设随机变量的的分布函数为,如果存在一个非负可积函数,使得对于任意实数,有:
则称为连续型随机变量,而称为的概率密度。
由概率密度的定义及概率的性质可知概率密度必须满足:
(1)0;
(2);
(3)对于任意实数,且有;
(4)若在点处连续,则有.
例设随机变量X具有概率密度
(1)试确定常数;
(2)求;
(3)求.
解
(1)由,即
=
得.于是的概率密度
;
(2)=;
(3)由定义=。
当时,=0;当时,
==
所以
.
二、几个常用的连续型随机变量的分布
1.均匀分布
如果随机变量的概率密度为
则称服从上的均匀分布,记为。
2.指数分布
如果随机变量的概率密度为
则称服从参数为的指数分布。
3.正态分布
如果随机变量的概率密度为
;
其中为常数,则称服从参数为的正态分布,记为.特别的,当时,称服从标准正态分布,即,概率密度为
标准正态分布的分布函数为
对于标准正态分布的分布函数,有下列等式
定理如果则
推论如,则
例设,求;
解=.
例设随机变量,则.
§2.4随机变量函数的分布
一、离散型随机变量的函数的分布
例设的分布律为
X
0.1
0.2
0.3
0.4
求的分布律。
解因为的可能取值为,而且
,,
,
因而,的分布律为
Y
0.1
0.2
0.3
0.4
二、连续型随机变量的函数的分布
设是连续型随机变量,已知为其概率密度,那么应当如何确定随机变量的概率密度呢?
例设连续型随机变量具有概率密度,求随机变量(其中为常数且)的概率密度.
解设的分布函数为,当,则
上式两边对求导数得
当,则
上式两边对y求导数得
于是
第三章二维随机变量及其分布
§3.1二维随机变量及分布函数
定义设为随机试验的样本空间,,是定义在上的随机变量,则称有序数组为二维随机变量或称为二维随机向量。
定义设是二维随机变量,对于任意实数,称二元函数为二维随机变量的分布函数,或称为的联合分布函数。
二维随机变量的分布函数的性质
(1);
(2)是变量的不减函数,即:
对于任意固定的,当时有;对于任意固定的,当时有.
(3)对于任意固定的,;对于任意固定的,,并且,.
二维离散型随机变量
定义如果二维随机变量可能取的值只有有限个或可列个,则称为二维离散型随机变量。
定义设二维随机变量所有可能取的值为,则称为的联合分布律。
二维离散型随机变量的联合分布有时也用如下的概率分布表来表示:
…...
.
.
......
......
...............
......
...............
显然,具有以下性质:
(1)1,2,…);
(2);
二维连续型随机变量
定义设是二维随机变量,如果存在一个非负函数,使得对于任意实数,都有
则称是二维连续型随机变量,函数称为二维连续型随机变量的概率密度。
二维分布密度具有以下性质:
(1);
(2);
(3),其中D为XOY平面上的任意一个区域;
(4)如果二维连续型随机变量的密度连续,的分布函数为,则
用性质的题在后面
§3.2边缘分布与随机变量的独立性
一、边缘分布
称分量的概率分布为关于的边缘分布;分量的概率分布为关于的边缘分布。
它们的分布函数与密度函数分别记作与。
先看离散情况:
若已知,则随机变量的分布律为:
同样得到关于的分布律:
,.
记,所以关于的边缘分布律为:
......
......
关于的边缘分布列为:
......
......
下面看连续型的情形:
定理设是的联合概率密度,则
分别是关于的边缘概率密度函数。
1
X
离散型随机变量的边缘分布律列表
Y
§3.4随机变量的独立性
定义设是二维随机变量,如果对于任意有,则称随机变量与是相互独立的。
即用该式可用来判断的相互独立性。
定理设是二维离散型随机变量,,依次是,的概率分布,则相互独立的充要条件是:
对所有的,都有.
定理设是二维连续型随机变量,分别是联合密度函数与边缘密度函数,则相互独立的充要条件是:
对任意的实数,都有。
Y
X
0
1
2
3
0
1
0
2
0
0
3
0
0
0
例设(X,Y)的联合分布律为
试求关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立?
解由表中可按行加得,按列加得得关于X的边缘分布
及关于Y的边缘分布
由于,而,所以互不独立。
例设二维随机变量具有密度函数
试求:
(1)常数;
(2)落在如图2—4所示的三角区域内的概率;
(3)关于和关于的边缘分布,并判断是否相互独立。
图2-4
解
(1)=
所以;
(2);
(3)关于的边缘概率密度函数为
当时,=0.
当时,
故有=;
同理可求得关于的边缘概率密度函数为
=.
因为对任意的实数,都有,所以相互独立。
第四章随机变量的数字特征
§4.1数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
定义设离散型随机变量的分布律为
则称其为随机变量的数学期望,记为.
二、连续型随机变量的数学期望
定义设连续型随机变量的分布密度函数为,若积分绝对收敛,则称其为的数学期望或均值.记为,.
例设随机变量服从上的均匀分布,求.
解由于均匀分布的密度函数为
因而.
记住:
0-1分布,二项分布,泊松分布的数学期望
均匀分布,指数分布,正态分布的数学期望。
三、随机变量的函数的数学期望
定理设为随机变量的函数:
(g是连续函数),
(1)是离散型随机变量,分布律为;若级数绝对收敛,则有.
(2)是连续型随机变量,它的分布密度为,若积分绝对收敛,则有.
定理设是随机变量的连续函数,
(1)是二维离散型随机变量,联合分布律为;则有 .
(2)是二维连续型随机变量,联合分布密度为,则有.
例设的概率密度函数为
求.
解,
四、数学期望的性质
1.设是常数,则有.
2.设是随机变量,设是常数,则有.
3.设,是随机变量,则有.
4.设,是相互独立的随机变量,则有.
§4.2方差
一、方差的概念
定义设是随机变量,存在,就称其为的方差,记为即=,称为标准差.
二、方差的计算
1.=
例设随机变量服从上的均匀分布,求.
解由于均匀分布的密度函数为
,
故
三、方差的性质
1、设是常数,则有;
2、设,是相互独立的随机变量,则有;
3、设是相互独立的随机变量,则.
§4.3协方差及相关系数、矩
一、协方差及相关系数的定义
定义设有二维随机变量,如果存在,则称为随机变量与的协方差.记为,即
称为随机变量与的相关系数.若,称与不相关.
二、协方差与相关系数的性质
1.协方差的性质
(1);
(2)----计算公式
(3);
(4);
(5);
(6)若与相互独立,则,即与不相关.反之,若与不相关,与不一定相互独立.
2.相关系数的性质
(1);
(2)若
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