立体几何问题转化为平面几何问题方法初探 毕业论文.docx

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立体几何问题转化为平面几何问题方法初探毕业论文

【标题】立体几何问题转化为平面几何问题方法初探

【作者】王天秀

【关键词】 立体几何问题  平面几何问题  类比思想  转换思想  方法

【指导老师】冉彬

【专业】数学与应用数学

【正文】

1.引言

《立体几何》学习在中学数学学习中，占有重要一席。

在培养学生的空间想象能力上，在培养学生逻辑推理能力上，在培养数学的表达能力上，是其他学科不能比拟也不能代替的。

几何学习重要，学生也是承认的，可在实际中，普遍反映：

学生最怕它，最不愿意学它，又因为中、高考都有它，不得不学它。

为怎么造成这种局面，还不值得人深思吗？

客观世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的；事物之间又是在一定条件互相转化的；事物是永远处于运动变化之中的。

客观世界的这些特性，要求我们在观察问题、处理问题时，要有意识地对问题进行转化，把复杂的、难解决的问题转化为简单的或是易解决的问题，这种意识称为化归意识。

化归意识使我们用联系发展的、运动变化的眼光观察问题、认识问题。

化归思想，无论对于实际生活问题还是工作、学习都能给予一定的启示。

对于立体几何的学习，利用化归思的想把立体几何问题转化为平面几何问题常能解决大量复杂的问题。

更为重要的是化归的意识的培养不仅有助于问题的解决，而且对于培养学生思维的灵活性与逆向思维都能起到促进作用。

同学们的思维是否具有灵活性，是与能否迅速、妥善地处理问题有密切关联的。

中学立体几何是研究空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用的科学。

而这些空间图形是由点、线、面构成的。

平面图形是空间图形的一部分，而很多空间图形是由平面图形组成的。

认清平面图形与空间图形的关系，掌握由空间问题转化为平面问题，用平面几何的知识去加以解决。

这种思维方法即为化归意识，是本文的重要指导思想和解决立体几何问题的重要方法 。

2.研究立体几何问题转化为平面几何问题的依据 

人类在漫长的历史长河中，为了生存和发展，就必须对客观世界作描述：

将未知领域转换为已知领域。

客观的世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的；事物之间又是在一定条件下互相转化的；事物是永远处于运动变化之中的。

客观世界的这些特性，要求我们在观察问题、处理问题时，要有意识的对问题进行转化，把复杂、难解决的问题转化为简单的或易解决的问题，之中意识称为化归意识。

回归意识使我们用联系的、发展的、运动变化的眼光观察问题、认识问题。

如：

17世纪，几何学由于法国的数学家笛卡儿在研究点和方法的转换——用代数方法研究几何，从而使几何学走上了一条崭新的道路。

他的核心思想就是要建立一种普遍的数学，使算术、代数、几何统一起来，统一的桥梁是在平面上建立坐标系。

这样将研究代数方程的问题转换为用几何直观的方法去研究处理；把研究几何图形的问题转换为研究代数方程的问题 。

随着几何学的不断发展，人们研究客观世界也是多角度、多层次、多方面的变换，人们自然会提出将复杂 问题转换为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题。

立体几何对于平面几何而言，是比平面几何要复杂、抽象，能否将立体几何的问题转换为平面几何问题来解决呢？

 这又给我们提出了一个研究观念的转换。

一种几何可以用公理化方法来构建，也可以把变换群与几何学联系起来，给几何学以新的定义。

这种用变换群来研究几何学的观点，是由克莱因提出的。

克莱因群论观点：

某一种几何学是研究在相应变换群的一切变换下，保留图形不变性质的科学。

按此观点，我们就找到了将立体几何问题转换为平面几何的理论依据，而立体几何中的三个公理,特别是公理3及其三个推论，又将立体几何转化为平面几何的理论依据进一步加强。

正如实际生活中占有空间的房屋是由一面一面的墙壁组成的那样, 立体几何中的很多空间图形也可以由几个平面图形构成，平面图形是空间图形的组成部分。

例如：

正方体就是由六个不同平面内的正方形围成的（如图1）；两条平行的直线平行移动，可以形成两个平行的平面（如图2）； 

图1   正方体                            图2  两平面直线平行移动示意图

两条垂直的直线平行移动，可以形成两个垂直的平面（如图3）；两条相交直线，当一条绕着交点旋转，另一条不动时，可以形成垂直的直线与平面（如图4）。

因此，我们又找到了将立体几何问题转换为平面几何问题的现实依据。

图3 两垂直直线平行移动示意图                     图4 两相交直线旋转示意图

3. 立体几何平面化的思想方法

立体几何是平面几何的延伸与拓展，两者之间在不断升维与降维的转化中实现内容的补充和问题的解决。

虽然有的平面几何定理不能移到空间，但是在空间的任一平面上，平面几何的结论都是成立的。

因此选取或构造一个恰当的平面，使问题在这个平面上获得突破性进展，甚至全部解决，是一种自然而重要的思考方法，也体现了几何教学的衔接性、统一性。

对这种方法的掌握和运用，一定程度上反映了研究空间问题的水平和质量，特别是对中学生，这种能力的培养和展现，直接体现其数学能力的可塑性程度。

因此，在教学中必须重视和认真研究空间问题平面化方法的教学。

现实空间是三维的，我们在现实生活中遇到的大量问题属于立体几何问题，而解决立体几何问题的基本方法是把它类比或转化为平面几何问题。

因此把平面几何知识与立体几何知识融为一体，用类比与转换思想来理解与解决立体几何问题是最重要的数学思想方法，也是中学生解决现实空间问题的出发点和基本思想方法。

3.1 类比的思想方法

所谓类比的思想方法，就是将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生疏的问题做出猜想，并由此寻求问题的解决途径和结论。

很多数学家，特别是那些有卓越贡献的数学家，他们大多是运用归纳与类比的能手。

正如波利亚在《怎样解题》中指出“类比是一个伟大的引路人”。

康德也提到：

“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进”。

刻卜勒也曾经说过：

“我珍视类比，它是我最可信赖的老师，它知道自然界的一切秘密，在几何学中尤其不能忽视它。

”欧拉是其中的佼佼者，他对类比曾有很高的评价，他说：

“类比就是大胆的创造。

不过，你应该首先找到双方的相似属性 。

” 

类比思想是中学数学教学中的重要思想方法之一。

将未知问题已知化，将多维问题降维化，将复杂问题简单化，都是利用类比方法解决有关问题常用的手段，往往有些百思不得其解的问题由此可瞬时步入豁然开朗的境界。

数学家认为，类比是发现的源泉，是伟大的引路人。

立体几何教学中，类比的思想方法被广泛采用。

如将几何中的点和直线与立体几何中的直线和平面分别对应起来，由平面几何中角的概念可类比出立体几何中二面角的概念，由平面上直线a∥b,b∥c,则a∥c，可类比为空间内平面 ∥ ， ∥ ，则 ∥ ；与平行四边形类比可得到平行六面体的不少类似性质；“面面垂直”与“线线垂直”，四面体与三角形均有较多的类似性质等，都是类比的思想方法获得运用的体现与展示。

教学中，随时注意帮助学生掌握和运用类比的思想方法，可起到巩固旧知识，加速对新知识的形成、理解和记忆，促进知识的正迁移，培养学生思维广阔性的作用。

当然，类比仅仅是一种猜想，其正确性尚须逻辑论证。

又如解题教学中，将空间问题“在平面 同侧有两点A、B，在 内求一点C，使AC+BC最小”和平面问题“在直线 同旁有两点A、B，在 上求一点C，使AC+BC最小”进行类比如图5所示：

图5

极容易发现这一空间问题也可以考虑折线变直线的思想方法予于解决；与平面问题“求证正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”的证明方法类比，很容易得到空间问题“求证正四面体内任意一点到个面的距离之和为定值”的证明方法：

用体积法证明其值等于正四面体的高。

由此可见，在教学中，注意启发和诱导学生将空间问题和数量关系、位置结构与相似的平面几何问题进行类比，可以开拓学生的思路、诱发灵感，增强数学发现的能力，同时还可以沟通知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构 。

3.2 转换的思想方法

研究问题时，将研究对象在一定条件下转化为熟知的、简单的、基本的研究对象的思维方法称为转化思想。

美国数学教育家波利亚在《怎样解题》中强调指出：

“为了辩明哪一条思路正确，哪一种方向可以接近它，我们就要试探各种方向和各种思路，就变更题目”。

他所说的“变更题目”实质上就是转化。

而转换是思想就是我们立体几何学习中的一种十分重要的思想方法。

著名数学家高斯也曾说过“数学中的转换是美的发现。

”这种思想方法是研究立体几何中做重要的思想方法，它贯穿于立体几何教学的始终，而将立体几何问题转化为平面问题是用转换方法解决立体几何问题的基本方法 。

将空间问题转化为熟知的平面问题是研究立体几何问题时最重要的数学思想方法。

将空间问题转化为平面问题就是把立体几何问题中的基本元素转换到一个或几个平面图形中，然后用平面几何的知识上来解决。

事实上，立体几何中由于许多重要概念如：

异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的大小就是用两相交直线的角来定义的。

因此，空间图形中许多基本元素的计算、证明问题就可以转换成平面图形来解决。

如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题；教材中几种多面体和旋转体的侧面积公式的 推导（除球面和球冠外），侧面上最短线路问题也多是通过侧面展开转化为平面问题；旋转体的有关问题也多是通过轴截面而转化为平几问题。

其实，立体几何中三种角（线线角、线面角、面面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从定义到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平面的转换。

故此，教学中的适时揭示与恰当运用，确能强化学生的思维和目标意识，增强思维的敏捷性和灵活性，提高学习效率。

4. 立体几何问题平面化的具体方法和典型例题

4.1 类比的思想方法

众所周知，平面几何与立体几何有许多相似的内容，这种知识内容的相似决定了逻辑方法上的相似。

类比就是先从一个类似的平面几何问题出发，去探求解决立体几何问题的途径。

在立体几何中类比联想的思维方法是解决问题的一把钥匙，它既可以帮助我们确定未知结论，也可以帮助我们寻找解决问题的方法。

正如美国数学教育家G．波利亚说：

“…对平面几何和立体几何作类比，…是提出新问题和获得新发现取之不竭的源泉”。

例1：

如果多面体存在内接球，求证：

这个多面体的体积等于它的表面积与内接球半径乘积的三分之一。

分析：

与平面几何问题：

“求证：

多边形存在内切圆，这个多边形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的二分之一。

”类比，其证题思路就是利用内切圆圆心到各顶点的连线把这个多边形分为若干个以多边形的边为底边的等高三角形，由此推测，这道立体几何题亦可用内切球球心与个顶点的连线，把这个多面体分成若干个以多面体各面为底面的等高锥体来解决。

例2：

空间n个平面最多把空间分成多少个部分?

    解：

“最多”需任意两个平面不平行，任意三个平面不交于一直线。

       平面之于空间低一维，恰似直线之于平面低一维。

所以我们可以类比直线分平面的个数使问题获解。

分割元素的个数直线分平面的个数平面分空间的个数

        1      2

        2        2      4

        4        3      7

        8        4      11

        15        5      16        26

       ……       ……        ……

当直线分平面时，第k条直线与前k –1条直线有k –1个交点，这k –1个交点把直线分成k段，每一段把原所在平面分成2部分。

记k条直线分平面的个数为P（k）=P（k –1）+k

类比上述直线分平面的关系可知，第k个平面与前k–1个平面有k–1条直线，这k–1条直线把平面分P（k –1） 个平面，每一平面分原所在空间2部分。

记k个平面分空间的个数为W（k）=W（k –1）+P（k –1）

由2，4，7，11，16……可得

P（n）=P（n –1）+n

      =P（n –2）+（n –1）+n

       =……

      =P

（1）+2+3+……+（n –1）+n

      = 

P

（1）+P

（2）+……+P（n –1）= = 

W（n）=W（n –1）+P（n –1）

       =W（n –2）+P（n –2）+P（n –1）

       =……

       =W

（1）+P

（1）+……+P（n –1）

       = 

另解：

由P（n）=       类比之，猜想W（n）=     （a，b，c，d为待定系数）。

当n=1，2，3，4时，求出a，b，c，d的值，即a=1/2，b=0，c=5/2，d=3，

所以猜测W（n）=    ，这用数学归纳法证之即可使原问题获解。

例3：

已知：

G是 的重心，平面 过点G，使A点与B，C两点分别在平面 的两侧。

作 于F，作 于H，试猜想AE与BF，CH的关系， 并证明你得到的结论。

简析：

显然，此题的困难在于猜想未知结论和寻找证题方法。

下面运用类比的思维方法将它转换为平面几何问题去思考。

首先，构造一个类似的平面几何问题（三维化为二维）：

已知：

G是 的重心，直线l过点G，使A与B，C两点分别在l的两侧 。

作 于E，作 于F，作 于H，试猜想AE与BF，CH的关系，并证明你的结论。

其次，由平面几何问题的结论猜想立体几何的结论。

图6

平几：

AE=BF+CH。

立几（猜想）：

AE=BF+CH。

最后，类比联想证明方法

平几：

如图6，作 于M，则BF+CH=2DM=AE。

立几：

如图7，延长EG交FH于N，则平面AEGND和平面BCHF交于DN，

∵  ，

∴ 交线 

∴  

∴BF+CH=2DN=AE。

图7

以上三步，在解决立体几何问题时有比较广泛的应用。

运用类比的思想方法指导教学，常常体现在双向联想的结合。

即由平面几何问题类比联想推广到立体几何问题中去，又运用类比的思想方法将立体几何问题化归为平面几何问题去思考。

例如，三角形有四心，因此类比联想四面体也有四心。

即

（1）四面体各棱的垂直平分线交于一点，这点到四面体各顶点的距离相等，是四面体的外接球的球心，简称四面体的外心。

（2）四面体的各二面角的平分面相交于一点，这点到四面体各面的距离相等，是四面体内切球的球心，简称四面体的内心。

（3）在四面体中，连结一个顶点和对面重心的四条线段相交于一点。

这点到顶点的距离与这点到对面重心的距离的比是3:

1，这点称为四面面体的重心，

上述三个结论是成立的。

通过类比联想，发现第（3）个命题证明如下：

如图8四面体D-ABC，设 分别是 , , , 的重心。

图8

取BC的中点E，则 在AE上， 在DE上， :

 :

 =2:

1，设 交于G，∴  ∥DA，∴DG:

 =AG:

 =DE:

 =3:

1.

类似可证 必过G点，且BG:

 =CG:

 =3:

1

还可类比得到：

四面体的四条高交于一点。

虽然这个结论不成立，但却有下述三个结论成立（证明略）

四面体对棱均垂直的充要条件是：

各面的重心与对顶的连线共点；

在四面体中，如果有两条高相交，那么另外两条高也相交；

如果四面体的三条高相交于一点，那么第四条高也必过这一点 。

类比法还可以用来探求某一类立体几何问题的内在规律，使我们获得解决一类立体几何问题的一般方法和结论。

总之,类比是一种重要的数学方法,是某种类型的相似形，特别是未完全说清楚的类比可能是含糊的。

类比，不只一个特殊的类比，在平面几何与立体几何之间有若干类比关系，比如：

怎样从一个三角形出发可以通过一般化步骤上升到多边形，通过特殊化步骤下达为等边三角形，或者通过类比化为不同的立体图形，使左右两边都有类比。

类比不仅仅是特殊的，或某一方面的而是多方面，全方位的，多渠道的，都可以类比。

因此，指导学生用类比方法去分析和解决立体几何问题,会丰富他们的想象,提高他们的空间思维能力。

4.2 转换的思想方法 

立体几何是平面几何的推广和发展.因此解决立体几何问题的基本思考方法是：

寻找正确的手段和方法。

将它转化为平面几何去解决。

转换思想是理解和解决立体几何问题的最重要的数学思想方法。

为了实现这种转化，又产生了许多数学方法。

如平移法、射影法、展开法、辅助平面（截面）法等。

4.2.1 平移法

例4：

如图9，在正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD，的中点，求AE与CF所成的角 。

分析：

求异面直线所成的角，通常是利用平移，转化成相交直线所成的角，怎样转换方便，这是首先要考虑的问题。

如果将E移到C，A点就到了四面体的外面，显然不好。

对于几何体中的一条线段，平移时应选定一个面（或截面），让线段在这个平面内移动。

如选定截面AED，过F作AE的平行线，也可选定平面BCF，平移CF，使C与E重合。

图9

解：

连接DE，作FG∥AE，交DE于G，连接CG，则∠CFG为AE与CF所成的角。

设四面体的棱长为a，则：

AE=CF=DE= ,FG= ， 

在△CFG中，由余弦定理得：

∴AE与CF所成的角为 

以上例题是用平移法将异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角，从而实现了立体几何平面化，使问题得以解决。

4.2.2 射影法

在立体几何中许多问题都与射影有关，如各种角度，各种距离及有关定理等。

准确找到点、线、面的射影往往是解题的突破口。

而合理的构造射影面，对空间中的点线面进行投影是将空间问题转化为平面问题的一条重要途径，同时也是处理更广泛空间问题的通法。

例5：

在正方体 中，E，F分别是AB， 的中点，K，H分别在DC，BC上，且 ， ， 求证：

 。

分析：

作 交于G，则 平面AC，且G为BC的中点。

连接EG（如图10），欲证 ，只需证 。

这样问题就转化为同一平面内的线线垂直问题。

                 图10

证明：

作 交BC于G

∴  平面AC

连接EG、AC、BD

∵  ， 

∴KH∥DB,同理可证EG∥AC

在正方体 中有 

∴  

∴  

例6：

已知MN、PQ是空间异面直线，A、B、C是PQ上的三点，且B在A、C之间， 是A、B、C在MN上的射影（如图11），求证：

  。

                 图11

分析与简解：

作垂直于MN的投影面 ，设 

 ，

 B在A、C之间，∴  之间

∴ 在 中有 

∴  

命题得证。

注意：

在进行投影过程中，也需要形与形、量与量、形与量的变化，在变化中找出它们之间的衔接点。

4.2.3 展开法

例7：

半径为8的球O内有一内接圆台，圆台上、下底面半径分别为4，8。

若AB是圆台下底面上的一条直径，试求由A到B沿球买内的距离及沿圆台侧面的最短线。

分析与简解：

显然，由A到B沿球面的距离即是A、B的大圆上AB的长，为⊙O的半圆周长8 。

作圆台的轴截面（如图12

（1）），将圆台侧面展开得一扇环（如图12

（2）），在图13

（1）中，

图2

（1）                                        图12

（2）

由已知，CM=4，OA=OC=8，∴  ，从而 ，故AC=8，由此可计算得扇环的中心角为 。

设截得圆台的圆锥的顶点S，因AB是圆台底面上一条直径，故在展开图中，有  ，且有SC:

SA=SC:

（SC+CA）=4:

8,由此可求得SC=8,故SA=16,连接AB,则线段AB的长即为A点到B点沿圆台的最短距离.

在RTASB中,SA=SB=16（SA、SB是截得圆台的圆锥的 母线）,由勾股定理求得 。

与上题类似，如（图13）所示，AB是圆台的母线，其上、下底买内的半径分别为2.5cm和5cm，AB=10cm，从AB中点开始，把一条绳子沿着圆台侧面绕到A点。

求绕一圈时，绳子的最短长度是多少，绳上的点与上底圆周上的点的最短距离当中最短的距离是多少 ？

                         图13

分析：

此题直接按立体图形求解会让你一筹莫展，如果画出侧面展开图，转化为平面图形，就会助你走出困境。

沿圆台母线AB切开，然后展开成上图，AB和 分别表示切口处两条重合的母线，O为圆弧 的圆心，M是 的中点。

连接AM，则线段AM的长即是所求的最短绳长。

自O作 于H，交 于P，PH就是绳上的点与上底圆周上的点之间的最短距离。

容易求得:

AM=25cm，PH=2cm.

利用展开发将立体结合问题转化为平面几何问题，多是用在求空间中的最值问题，在用立体几何知道直接求解这类问题比较困难时，用展开侧面（或截面）法便可迎刃而解。

4.2.4 辅助平面法

立体几何的知识结构告诉我们，线面的垂直平行关系是内容的核心。

而它们又是通过判定定理、性质定理相互转换的，定理的运用过程就是下述关系的联系与转化过程：

点点——点线——点面（线线）——线面——面面。

而在运用定理的过程中，恰当作好辅助平面是一个不容忽视的重要环节，它为立体问题的解决铺平了道路。

例8：

如图14

（1），设正方体 的棱长为a，M是面对角线 的中点，N为对角线 上的分点，  。

试求：

（1） 顶点D到平面BMN的距离；     

（2） 面对角线BD与平面BMN所成的角

                                   图14

（1）

分析：

首先找出 所在的平面与正方体相截的截面。

将对角面 另画一平面如图15

（2），不难证明 与BN重合且BN与 垂直，

∴ 所在的平面与正方体相截的截面就是正 ，运用三垂线定理与“线面垂直”定理可证 ，垂足是N，从而把立体问题转化为对角面 内的平面问题求解（如图14

（2）），

                             图14

（2）

线段DN为顶点D到平面BMN的距离； 是直线DB与平面BMN所成的角，易计算得：

 ， 

本例题需要恰当选择已知的点、线，构造辅助平面，使立体几何问题集中的反映到平面上，转化为平面几何问题。

4.2.5 组合截面法

平面截几何体所在几何体内部的部分，即为几何体的截面。

通过截面去暴露“组合体”中的相切与相接的关系是立体几何中常见的一类问题，有时我们也可以利用截面去分析单个几何体的内部结构与特征，以达到管中窥豹的目的。

例9：

在正方体 中，求二面角 的大小。

                   图15

简析：

找、证、求是处理角度问题和距离问题的主要过程，找是关键。

如图15，注意到 所在的平面即为截面 ，则过A作BD的垂线，交 于M、N，连接CM，由正方体的对称性知 ，故 即为所求。

如果我们将视角放大，事实上 所在平面即为截面 ，在 中M为中心，AN为中线，所以 。

注意：

上述解法中，我们利用截面使局部与整体很好地结合起来，通过整体来反馈局部特征，避免了求解角的繁琐过程。

当然截面问题的难点在于如何作截面，在要求学生有扎实的基本功。

4.2.6 旋转开发新平面法 

思维是数学的灵魂，每一种具体的数学知识都包含深刻的思想方法。

每一中思想方法都同摄若干问题。

立体几何的平面化思想正是化归思想的具体体现，能够主动自觉到运用化归思想处理立体几何问题，为寻求在新平面下的问题解决大开了广阔的思维空间。

例10：

正方体 的棱长为1，P∈AC，过 的平面与底面所成 角，过 的平面与底面成 角，求 的最小值 。

简析：

如图16

（1），作出平面角 ，为了求 ，可将 作为某一三角形的两个角，故将 绕PO旋转到面 上得 ，将 绕PO旋转到面 上得 ，如图16

（2），只需