沪科版八年级数学下册第十九章 四边形复习训练.docx
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沪科版八年级数学下册第十九章四边形复习训练
第十九章四边形
类型之一 多边形的内角和与外角和
1.一个多边形的每个外角都等于72°,则这个多边形的边数为( )
A.5B.6C.7D.8
2.如图1,在四边形ABCD中,∠A+∠D=α,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P,则∠P等于( )
图1
A.90°-
αB.90°+
αC.
αD.360°-α
类型之二 平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念
3.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A.两组对边分别平行
B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分
D.对角线互相垂直
4.如图2所示,已知四边形ABCD是平行四边形,则下列说法不正确的是( )
图2
A.当AD=CD时,四边形ABCD是菱形
B.当∠ADC=90°时,四边形ABCD是矩形
C.当∠A=∠B=∠C=∠D=90°时,四边形ABCD是正方形
D.当∠A=90°且AB=BC时,四边形ABCD是正方形
5.下列命题中,为假命题的是________(只填序号).
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形,但菱形一定不是矩形;③有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形;④矩形的一组邻边一定不相等.
类型之三 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
6.如图3所示,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,已知△ABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是( )
图3
A.25B.20C.15D.10
7.如图4所示,在矩形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接DE和BF,分别取DE,BF的中点M,N,连接AM,CN,MN.若AB=2
,BC=2
,则图中阴影部分的面积为________.
图4
8.如图5,在矩形ABCD中,点O在边AB上,∠AOC=∠BOD.求证:
AO=BO.
图5
9.如图6,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,连接BE,CE.
(1)求证:
BE=CE;
(2)求∠BEC的度数.
图6
类型之四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
10.如图7,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且DE∥AC,AE∥BD.求证:
四边形AODE是矩形.
图7
11.如图8,在四边形ABCD中,AB∥CD,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F,试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.
图8
12.如图9,在矩形ABCD中,EF为过BD的中点O的一条直线,与边AD,BC分别相交于点E,F,连接BE,DF.
(1)当EF⊥BD时,四边形BEDF是什么特殊四边形?
请说明理由;
(2)在第
(1)问的条件下,若AB=6cm,BC=8cm,求DE的长.
图9
类型之五 四边形中的动点问题及图形变换问题
13.如图10,在矩形ABCD中,BC=20cm,点P和点Q分别从点B和点D同时出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s,则最快经过________s,四边形ABPQ成为矩形.
图10
14.如图11,在△ABC中,D为边BC上的一动点(点D不与B,C两点重合).DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.
(1)试探索AD满足什么条件时,四边形AEDF为菱形,并说明理由;
(2)在
(1)的条件下,△ABC满足什么条件时,四边形AEDF为正方形?
并说明理由.
图11
中考演练
1.2018·云南一个五边形的内角和为( )
A.540°B.450°C.360°D.180°
2.2018·北京若正多边形的一个外角是60°,则该正多边形的内角和为( )
A.360°B.540°C.720°D.900°
3.2018·蜀山区二模如图19-Y-1,在▱ABCD中,∠ABC的平分线交边CD于点E,∠A=130°,则∠BEC的度数是( )
图19-Y-1
A.20°B.25°C.30°D.50°
4.2018·宁波如图19-Y-2,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为( )
图19-Y-2
A.50°B.40°C.30°D.20°
5.2017·眉山如图19-Y-3,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F.若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为( )
图19-Y-3
A.14B.13C.12D.10
6.2018·安徽▱ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( )
A.BE=DFB.AE=CF
C.AF∥CED.∠BAE=∠DCF
7.2018·东营如图19-Y-4,在四边形ABCD中,E是BC边的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,AB=BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形,你认为下面四个条件中可选择的是( )
图19-Y-4
A.AD=BCB.CD=BF
C.∠A=∠CD.∠F=∠CDF
8.2018·上海已知平行四边形ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A.∠A=∠BB.∠A=∠CC.AC=BDD.AB⊥BC
9.2018·安庆一模如图19-Y-5,在▱ABCD中,E,F分别为BC,AD的中点,AE,CF分别交BD于点M,N,则四边形AMCN与▱ABCD的面积比为( )
图19-Y-5
A.
B.
C.
D.
10.2018·安徽模拟如图19-Y-6,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F,G分别是AB,CD,AC的中点.若∠DAC=20°,∠ACB=66°,则∠FEG等于( )
图19-Y-6
A.47°B.46°C.11.5°D.23°
11.2018·安徽模拟如图19-Y-7,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点D在BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE的最小值是( )
图19-Y-7
A.2B.4C.6D.8
12.2018·白银若正多边形的内角和是1080°,则该正多边形的边数是________.
13.2018·十堰如图19-Y-8,已知▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,且AC=8,BD=10,AB=5,则△OCD的周长为________.
图19-Y-8
14.2018·青岛如图19-Y-9,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,H为BF的中点,连接GH,则GH的长为________.
图19-Y-9
15.2018·武汉以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是________.
16.2017·菏泽如图19-Y-10,E是▱ABCD的边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.若CD=6,求BF的长.
图19-Y-10
17.2018·白银如图19-Y-11,在矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.
(1)求证:
△BGF≌△FHC;
(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
图19-Y-11
18.2018·盐城在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有E,F两点,且满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图19-Y-12所示.
(1)求证:
△ABE≌△ADF;
(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.
图19-Y-12
19.2017·兰州如图19-Y-13(a),将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.
(1)求证:
△BDF是等腰三角形.
(2)如图(b),过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;
②若AB=6,AD=8,求FG的长.
图19-Y-13
详解
1.A [解析]根据正多边形内角和公式,得五边形的内角和为180°×(5-2)=540°,故选A.
2.C [解析]该正多边形的边数为360°÷60°=6,
该正多边形的内角和为(6-2)×180°=720°.
故选C.
3.B [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠C=∠A=130°,
∴∠ABE=∠BEC.
∵∠ABE=∠CBE,
∴∠BEC=∠CBE,
∴∠BEC=
×(180°-130°)=25°.
故选B.
4.B [解析]∵∠ABC=60°,∠BAC=80°,
∴∠BCA=180°-60°-80°=40°.
∵对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,
∴EO是△DBC的中位线,
∴EO∥BC,
∴∠1=∠BCA=40°.
故选B.
5.C [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,周长为18,
∴AB=CD,BC=AD,OA=OC,AD∥BC,
∴CD+AD=9,∠OAE=∠OCF.
在△AEO和△CFO中,∵
∴△AEO≌△CFO(ASA),
∴OE=OF=1.5,AE=CF,
则四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=(ED+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.
故选C.
6.B [解析]如图,连接AC与BD相交于点O.
在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,
要使四边形AECF为平行四边形,只需证明得到OE=OF即可.
A项,若BE=DF,则OB-BE=OD-DF,即OE=OF,故本选项不符合题意;
B项,若AE=CF,则无法判断OE=OE,故本选项符合题意;
C项,AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等,从而得到OE=OF,故本选项不符合题意;
D项,∠BAE=∠DCF能够利用“角边角”证明△ABE和△CDF全等,从而得到DF=BE,然后同A项可得OE=OF,故本选项不符合题意.
故选B.
7.D [解析]∵∠F=∠CDF,∠CED=∠BEF,EC=EB,
∴CD∥AF,△CDE≌△BFE,∴CD=BF.
∵BF=AB,∴CD=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形.
故选D.
8.B [解析]A项,因为∠A=∠B,∠A+∠B=180°,所以∠A=∠B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形,正确;
B项,由∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形,错误;
C项,由AC=BD,可推出▱ABCD是矩形,故正确;
D项,因为AB⊥BC,所以∠B=90°,可以判定这个平行四边形为矩形,正确.
故选B.
9.B [解析]∵E,F分别为BC,AD的中点,且四边形ABCD是平行四边形,
∴M,N为线段BD的三等分点,
∴S△AMN=
S△ABD,S△CMN=
S△CBD,
∴S四边形AMCN=
S▱ABCD.故选B.
10.D [解析]∵E,F,G分别是AB,CD,AC的中点,
∴GF是△ACD的中位线,GE是△ACB的中位线,
∴GF∥AD,GF=
AD,GE∥BC,GE=
BC.
又∵AD=BC,
∴GF=GE,∠FGC=∠DAC=20°,∠AGE=∠ACB=66°,
∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+(180°-66°)=134°,
∴∠FEG=
(180°-∠FGE)=23°.
故选D.
11.B [解析]∵在Rt△ABC中,∠B=90°,
∴BC⊥AB.
∵四边形ADCE是平行四边形,
∴OD=OE,OA=OC,
∴当OD取最小值时,线段DE最短,此时OD⊥BC,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD=
AB=2,
∴DE=2OD=4,
∴DE的最小值是4.
故选B.
12.8 [解析]根据n边形的内角和公式,得
(n-2)·180°=1080°,
解得n=8.
∴这个多边形的边数是8.
故答案为8.
13.14 [解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=5,OA=OC=4,OB=OD=5,
∴△OCD的周长为5+4+5=14.
故答案为14.
14.
[解析]∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAE=∠D=90°,AB=DA.
在△ABE和△DAF中,
∵
∴△ABE≌△DAF(SAS),
∴∠ABE=∠DAF.
∵∠ABE+∠BEA=90°,
∴∠DAF+∠BEA=90°,
∴∠BGF=∠AGE=90°.
∵H为BF的中点,
∴GH=
BF.
∵BC=5,CF=CD-DF=5-2=3,
∴BF=
=
,
∴GH=
BF=
.
故答案为
.
15.30°或150° [解析]有两种情况:
(1)当点E在正方形ABCD外部时,如图①.
∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,
∴∠BAE=∠CDE=150°.
又∵AB=AE,DC=DE,
∴∠AEB=∠CED=15°,
则∠BEC=∠AED-∠AEB-∠CED=30°.
(2)当点E在正方形ABCD内部时,如图②.
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=DE,∠ADE=∠AED=60°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,
∴DE=DC,
∴∠CED=∠ECD.
∵∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°,
∴∠CED=∠ECD=
×(180°-30°)=75°.
同理,∠ABE=∠AEB=75°,
∴∠BEC=360°-75°×2-60°=150°.
故答案为30°或150°.
16.解:
∵E是▱ABCD的边AD的中点,
∴AE=DE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD=6,AB∥CD,
∴∠F=∠DCE.
在△AEF和△DEC中,∵
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=CD=6,
∴BF=AB+AF=12.
17.解:
(1)证明:
∵F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,
∴FH∥BE,FH=
BE,BG=
BE,BF=FC,
∴FH=BG,∠CBG=∠CFH,
∴△BGF≌△FHC.
(2)连接EF,GH.当四边形EGFH是正方形时,EF⊥GH且EF=GH.
∵在△BEC中,G,H分别是BE,CE的中点,
∴GH=
BC=
AD=
a,且GH∥BC,
∴EF⊥BC.
∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴AB=EF=GH=
a,
∴矩形ABCD的面积=AB·AD=
a·a=
a2.
18.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB,
∴∠ABE=∠ADF.
在△ABE与△ADF中,
∵
∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)四边形AECF是菱形.理由:
如图,连接AC,交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF,
∴OB+BE=OD+DF,
即OE=OF.
∵OA=OC,OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.
19.解:
(1)证明:
由折叠的性质知∠DBC=∠DBE.
∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB,
∴∠DBE=∠ADB,∴DF=BF,
∴△BDF是等腰三角形.
(2)①四边形BFDG是菱形.
理由:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴FD∥BG.
又∵DG∥BE,
∴四边形BFDG是平行四边形.
又∵DF=BF,∴四边形BFDG是菱形.
②∵AB=6,AD=8,∴BD=10,
∴OB=
BD=5.
设DF=BF=x,则AF=AD-DF=8-x.
在Rt△ABF中,AB2+AF2=BF2,
即62+(8-x)2=x2,
解得x=
,即BF=
.
∵四边形BFDG是菱形,∴BD⊥FG,
∴FO=
=
=
,
∴FG=2FO=
.
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